1 在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球，已知白球有60个. 同学们通过多次试验后发现摸到红球的频率在0.25左右，则袋中红球的个数可能为 （）

A.15
B.20
C.25
D.30

1. B 【解析】设红球有 x 个. 根据题意得$\frac{x}{x+60}= 0.25$,解得 x=20. 经检验,x=20 是原方程的解,则袋中红球个数可能为 20. 故选 B.
思路分析
通过多次试验后发现摸到红球的频率稳定在 0.25 左右,说明摸到红球的概率约为0.25,设红球有 x 个,则$\frac{x}{x+60}= 0.25$,解方程可求得x 的值.

2 对一批口罩进行抽检,统计合格口罩的个数,得到合格口罩的频率如下:

估计从该批次口罩中任抽一个口罩是合格品的概率为.

2. 0.84 【解析】随着抽取个数的增多,合格频率稳定在 0.84,
∴ 估计从该批次口罩中任抽一个口罩是合格品的概率为 0.84.

3[2026浙江杭州质检]某农科所在相同条件下做某作物种子发芽频率的试验，结果如下表所示：

(1)根据表中数据求出各个频率，并填入表中；
(2)一般地，20 000颗该作物种子中大约有多少是不能发芽的？

3.【解】(1)$\frac{94}{100}= 0.940,\frac{187}{200}= 0.935,\frac{282}{300}= 0.940$,$\frac{338}{400}= 0.845,\frac{435}{500}= 0.870,\frac{530}{600}≈ 0.883,\frac{624}{700}≈ 0.891$,$\frac{718}{800}≈ 0.898,\frac{814}{900}≈ 0.904,\frac{901}{1000}= 0.901$,
∴ 表中从上到下依次填入 0.940, 0.935, 0.940, 0.845,0.870,0.883,0.891,0.898,0.904,0.901.
(2)由(1)可知该作物种子发芽的概率大约为0.90,
∴ 一般地,20 000 颗该作物种子中大约有$20\ 000×(1-0.90)= 2\ 000$(颗)不能发芽.
关键点拨
(2)根据(1)中求出的频率估计出该作物种子发芽的概率是解题的关键.

1[2026山东烟台期中,中]某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能是（）


A.在“石头、剪刀、布”游戏中,小明出布
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.投掷一枚图钉,钉尖朝上
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是偶数

1. D 【解析】由题图可估计这一结果出现的概率为0.5. 在“石头、剪刀、布”游戏中,小明出布的概率为$\frac{1}{3}$,故 A 选项不符合题意;一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是$\frac{1}{4}$,故 B 选项不符合题意;投掷一枚图钉,钉尖朝上的概率无法直接判断,故 C 选项不符合题意;掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是偶数的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,故 D 选项符合题意. 故选 D.

2[中]根据频率估计概率原理,可以用随机模拟的方法对圆周率$π$进行估计.用计算机随机产生$m$个有序数对$(x,y)(0≤ x≤ 1,0≤ y≤ 1)$,它们对应的点全部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部.若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有$n$个,则可估计$π$的值是.

2. $\frac{4n}{m}$ 【解析】
根据题意知有 n 个有序数对(x,y)对应的点落在图中的阴影部分,
∴ 每个点落在阴影部分的频率为$\frac{n}{m}$.
∵ 每个点落在阴影部分的概率为$\frac{\frac{1}{4}π}{1}$,当试验次数足够多时,可用频率估计概率,
∴ $\frac{\frac{1}{4}π}{1}≈\frac{n}{m}$,解得$π=\frac{4n}{m}$,则可估计 π 的值为$\frac{4n}{m}$.

3 新考向跨学科综合 [2025 江苏南京调研,较难]《卖油翁》中,翁曰:"无他,但手熟尔."如图,已知铜钱圆面的直径为 3 cm,厚度为 0.2 cm,一枚铜钱的平均密度约为 9 $ \mathrm{g/cm}^3 $.为计算铜钱的质量,做如下试验:将一滴油随机滴在铜钱上,重复 m 次,记录下油恰好穿过中心孔的次数 n.由此可以估计,一枚铜钱的质量约为g(用含 m,n,π 的式子表示).

3. $\frac{81(m-n)π}{20m}$ 【解析】由题意得中心孔的面积约占整个铜钱圆面面积的$\frac{n}{m}$,
∴ 铜钱圆面的实际面积为$π×(\frac{3}{2})^2×(1-\frac{n}{m})=\frac{9(m-n)π}{4m}(cm^2)$,
∴ 铜钱的体积为$\frac{9(m-n)π}{4m}×0.2=\frac{9(m-n)π}{20m}(cm^3)$,
∴ 一枚铜钱的质量约为$\frac{9(m-n)π}{20m}×9=\frac{81(m-n)π}{20m}(g)$,故答案为$\frac{81(m-n)π}{20m}$.