1[2026广东佛山调研，中]如图，将一枚棋子依次沿正方形ABCD的四个顶点A,B,C,D,A,B,C,…移动.开始时，棋子位于点A处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点B处，掷得3点就移动3步到点D处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作.在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

1. C 【解析】随机地掷一枚质地均匀的骰子两次,所有可能出现的结果如下:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 |
| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 | 4,5 | 4,6 |
| 5 | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 |
| 6 | 6,1 | 6,2 | 6,3 | 6,4 | 6,5 | 6,6 |
由表可知,共有36种等可能的结果. 要使棋子回到点A处,两次掷得的点数之和必须为4或8或12.
两次掷得的点数之和为4的结果有3种:(1,3),(2,2),(3,1);两次掷得的点数之和为8的结果有5种:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2);两次掷得的点数之和为12的结果有1种:(6,6),
∴使棋子回到点A处的结果共有3+5+1=9(种),
∴在第二次掷骰子后,棋子回到点A处的概率为$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$. 故选 C.

2[中]从①$AB=CD$；②$AD=BC$；③$AB// CD$；④$AD// BC$四个关系中，如果任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形$ABCD$是平行四边形的概率是。

2. $\frac{2}{3}$ 【解析】列表如下:
| | ① | ② | ③ | ④ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ① | | ②,① | ③,① | ④,① |
| ② | ①,② | | ③,② | ④,② |
| ③ | ①,③ | ②,③ | | ④,③ |
| ④ | ①,④ | ②,④ | ③,④ | |
共有12种等可能的结果,其中选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的结果有8种,
∴选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. 故答案为$\frac{2}{3}$.

3[2025贵州六盘水期中,中]一个不透明的盒子里装有4张相同的卡片,上面分别标有数字0,1,-2,3.
(1) 放回 从中任意抽取一张,将卡片上的数字记录下来后放回盒中,再从盒中任意抽取一张,同样将卡片上的数字记录下来. 则第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率 $P_1 =$ ;
(2) 不放回 从中任意抽取一张,将卡片上的数字记录下来,再从余下的3张卡片中任意抽取一张,同样将卡片上的数字记录下来. 则第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率 $P_2 =$ .

3. (1)$\frac{5}{8}$ (2)$\frac{1}{2}$ 【解析】(1)第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果如下表:
| 二\一 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| 1 | -1 | 0 | -3 | 2 |
| -2 | 2 | 3 | 0 | 5 |
| 3 | -3 | -2 | -5 | 0 |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中结果为非负数的有10种,
∴第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率$P_1=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$.
(2)第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果如下表:
| 二\一 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | | 1 | -2 | 3 |
| 1 | -1 | | -3 | 2 |
| -2 | 2 | 3 | | 5 |
| 3 | -3 | -2 | -5 | |
由表可知,共有12种等可能的结果,其中结果为非负数的有6种,
∴第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率$P_2=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

4[中]体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次。若踢了三次后，要使球踢到小强处的概率最小，应该从开始踢。

4. 小强 【解析】设从小强开始踢,则画树状图如下:从小强开始踢,$P($踢了三次后,球踢到小强处$)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$,同理,若从小东开始踢,$P($踢了三次后,球踢到小强处$)=\frac{3}{8}$,若从小智开始踢,$P($踢了三次后,球踢到小强处$)=\frac{3}{8}$,
∴若踢了三次后,要使球踢到小强处的概率最小,应该从小强开始踢. 故答案为小强.

5[中]小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人在1至4层的任意一层楼出电梯.
(1)用列表法或画树状图法求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
(2)小南和小铭做游戏，规则是若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小南胜，否则小铭胜.该游戏是否公平？请说明理由.

5.【解】(1)列表如下:
| 乙\甲 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1,1 | 2,1 | 3,1 | 4,1 |
| 2 | 1,2 | 2,2 | 3,2 | 4,2 |
| 3 | 1,3 | 2,3 | 3,3 | 4,3 |
| 4 | 1,4 | 2,4 | 3,4 | 4,4 |
一共有16种等可能的结果,其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有4种结果,则$P($甲、乙二人在同一层楼出电梯$)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(2)游戏不公平. 理由:由(1)知,甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯有10种结果,故$P($小南胜$)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$,$P($小铭胜$)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.
∵$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$,
∴游戏不公平.

6[2025河北唐山期末,中]某校在“推普周”组织了“说普通话,写规范字”测试,包括项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”.规定:每名学生测试三项,其中项目A和B为必测项目,第三项从项目C、D、E中随机抽取一项,每项满分10分(成绩均为整数且不低于0分).
(1)下表是完成项目C和D的6名学生的成绩(单位:分)统计表.

①$d=$;
②如果$a=c$,且$x$不是这组中的最高成绩,求$x$的值.
(2)甲、乙两名同学完成必测项目A、B后,请用列表或画树状图的方法求甲和乙第三项选不同项目的概率.

6.【解】(1)①观察表格可知 d=8. 故答案为 8.
②当$x≤7$且为整数时,$c=\frac{7+8}{2}=7.5$.
∵$a=c$,
∴$a=\frac{(x+6+7+8+8+9)}{6}=7.5$,解得$x=7$.
当$x＞7$且为整数时,
∵x不是这组中的最高成绩,
∴$x=8$,
∴$c=\frac{8+8}{2}=8$,
∴$a=\frac{(8+6+7+8+8+9)}{6}=\frac{23}{3}≠8$,故$x=8$舍去.
综上所述,x的值为7.
(2)列表如下:
| 乙\甲 | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- |
| C | C,C | C,D | C,E |
| D | D,C | D,D | D,E |
| E | E,C | E,D | E,E |
由表格可知共有9种等可能的结果,其中甲和乙第三项选不同项目的结果有6种,
∴甲和乙第三项选不同项目的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.