1 [2026 浙江杭州质检]若$x$是$a,b$的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（）

A.$x^2=ab$
B.$\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}$
C.$\dfrac{b}{x}=\dfrac{x}{a}$
D.$ab=\sqrt{x}$

1. D 【解析】$\because x$ 是 $a,b$ 的比例中项, $\therefore x^2=ab, \frac{a}{x}=\frac{x}{b}, \frac{b}{x}=\frac{x}{a}. \because$ 不知道 $x$ 的符号, 且被开方数为非负数, $\therefore ab=\sqrt{x}$ 不一定成立, 故选 D.

2 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ BAC=108°$,点$P$在$BC$边上,若$AP$是$∠ BAC$的三等分线,则$BP$的长度为 ()

A.$\sqrt{5}-1$或5
B.$\sqrt{5}+1$或$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}-1$或2
D.$\sqrt{5}+1$或2

（第2题图）
（第3题图）

2. C 【解析】$\because AB=AC=2, ∠ BAC=108°, \therefore ∠ B=∠ C=36°. \because AP$ 是 $∠ BAC$ 的三等分线, $\therefore ∠ BAP=36°$ 或 $72°$. 当 $∠ BAP=72°$ 时, $∠ BPA=72°, \therefore BP=AB=2$. 当 $∠ BAP=36°$ 时, $∠ CAP=72°, \therefore ∠ CPA=72°, \therefore AC=PC=2. \because ∠ B=∠ B, ∠ BAP=∠ C, \therefore △ BAP ∽ △ BCA, \therefore \frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA}, \therefore \frac{2}{2+BP}=\frac{BP}{2}, \therefore BP^2+2BP-4=0, \therefore BP=\sqrt{5}-1$. 故选 C.
关键点拨
根据 $AP$ 是 $∠ BAC$ 的三等分线, 得出 $∠ BAP=36°$ 或 $72°$, 然后分类讨论求出 $BP$ 的长度即可.

3[2026浙江湖州期末]如图,已知A,B,C三点在半径为2的$\odot O$上,OB与AC相交于点D,若$∠ ACB=∠ OAC$,则$\frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=$ ()

A.1
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

3. C 【解析】设 $BD=x$, 则 $OD=2-x. \because ∠ ACB=∠ OAC, \therefore AO// BC, \therefore △ AOD ∽ △ CBD, \therefore \frac{BD}{OD}=\frac{BC}{AO}, \therefore \frac{x}{2-x}=\frac{BC}{2}, \therefore BC=\frac{2x}{2-x}, \therefore \frac{1}{BD}-\frac{1}{BC}=\frac{1}{x}-\frac{2-x}{2x}=\frac{2-2+x}{2x}=\frac{1}{2}$, 故选 C.
关键点拨
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

4[2026浙江宁波质检]如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E.若P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，PQ长为1.5，则BC的长为（）

A.6
B.8
C.9
D.12

（第4题图）
（第5题图）

4. C 【解析】如图, 连结 $DE$, 连结 $EP,DQ$ 并延长交于点 $F$, 由题易知, 点 $F$ 在 $BC$ 上, 且 $BF=CF$. $\because G$ 是 $△ ABC$ 的重心, $\therefore AE=BE, AD=DC, \therefore ED// BC, ED=\frac{1}{2}BC. \because P,Q$ 分别是 $△ BCE$ 和 $△ BCD$ 的重心, $\therefore \frac{EP}{PF}=\frac{DQ}{QF}=2, \therefore \frac{EF}{PF}=\frac{DF}{QF}=3. \because ∠ EFD=∠ EFD, \therefore △ EFD ∽ △ PFQ, \therefore ∠ DEP=∠ QPF, \frac{PQ}{ED}=\frac{1}{3}, \therefore PQ=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC=1.5, \therefore BC=9$. 故选 C.

5[2025浙江宁波调研]如图,在平面直角坐标系中,E,F,C三点的坐标分别为$(\dfrac{1}{4},1),(3,1),(3,0)$,点A为线段EF上的一个动点,连结AC,过点A作$AB ⊥ AC$交y轴于点B,点A从E运动到F的过程中,点B也随之运动.设点B的坐标为$(0,b)$,则b的最小值为 ()

A.$-\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{9}{4}$
C.$-\dfrac{5}{4}$
D.$\dfrac{5}{4}$

5. C 【解析】如图, 延长 $FE$ 交 $y$ 轴于点 $P$, 则 $EF ⊥ y$ 轴, 连结 $CF. \because E(\frac{1}{4},1), F(3,1), C(3,0), \therefore FC ⊥ x$ 轴, $\therefore ∠ APB = ∠ CFA = 90°$. 又 $\because BA ⊥ CA, \therefore ∠ BAC=90°, \therefore ∠ PAB = ∠ FCA = 90° - ∠ CAF, \therefore △ PAB ∽ △ FCA, \therefore \frac{PB}{PA}=\frac{PA}{FC}$. 设 $PA=x$, 则易得 $FA=PF-PA=3-x$. 设 $PB=y, \therefore \frac{y}{3-x}=\frac{x}{1}, \therefore y=3x-x^2=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}(\frac{1}{4}≤ x≤3). \because -1＜0, \frac{1}{4}≤ x≤3, \therefore x=\frac{3}{2}$ 时, $y$ 有最大值 $\frac{9}{4}$, 此时 $b=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$; $x=3$ 时, $y$ 有最小值 $0$, 此时 $b=1, \therefore b$ 的取值范围是 $-\frac{5}{4}≤ b≤1, \therefore b$ 的最小值是 $-\frac{5}{4}$. 故选 C.

6[2025湖北武汉调研]顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图所示，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，其中$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。作$∠ ABC$的平分线$BC_1$，交$AC$于$C_1$，得到黄金三角形$△ BCC_1$；作$C_1B_1// BC$交$AB$于$B_1$，$B_1C_2// BC_1$交$AC$于$C_2$，得到黄金三角形$△ B_1C_1C_2$；作$C_2B_2// BC$交$AB$于$B_2$，$B_2C_3// BC_1$交$AC$于$C_3$，得到黄金三角形$△ B_2C_2C_3$，依次类推，我们可以得到无数个黄金三角形。若$BC$的长为1，那么$C_5C_6$的长为（）


A.$\sqrt{5}-2$
B.$9-4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}-4$
D.$\frac{13\sqrt{5}-29}{2}$

6. B 【解析】$\because △ ABC$ 中, $AB=AC, ∠ A=36°, \therefore ∠ ABC=∠ ACB=72°. \because BC_1$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ C_1BC=∠ ABC_1=36°, \therefore AC_1=BC_1, △ ABC ∽ △ BCC_1, ∠ CC_1B=72°=∠ ACB, \therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CC_1}, BC=BC_1, \therefore AC_1=BC_1=BC=1$. 设 $CC_1=x$, 则 $AB=AC=1+x, \therefore \frac{1+x}{1}=\frac{1}{x}, \therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}. \because x＞0, \therefore CC_1=x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\because B_1C_2// BC_1, \therefore ∠ C_2B_1C_1=∠ B_1C_1B$. 又 $\because C_1B_1// BC, \therefore ∠ B_1C_1B = ∠ C_1BC, ∠ B_1C_1C_2 = ∠ BCC_1, \therefore ∠ C_2B_1C_1 = ∠ C_1BC, \therefore △ BCC_1 ∽ △ B_1C_1C_2, △ ABC ∽ △ AB_1C_1, \therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{B_1C_1}{BC}, \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{AC_1}{AC}$.
$\because AC_1=BC_1=BC=1, \therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{AC_1}{AC}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \therefore C_1C_2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, 同理得 $C_2C_3=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\sqrt{5}-2, \dots, \therefore C_5C_6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=(\sqrt{5}-2)^2=9-4\sqrt{5}$. 故选 B.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7[2025浙江杭州期中]点C是线段AB的黄金分割点,且AC ＞ BC,AB = 4,则AC的长为.

7. $2\sqrt{5}-2$ 【解析】$\because$ 点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点, $AC＞BC, AB=4, \therefore$ 设 $AC=x, BC=4-x, \therefore x^2=4(4-x), \therefore x^2+4x-16=0. \because b^2-4ac=16+64=80＞0, \therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{80}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}, \therefore x_1=2\sqrt{5}-2, x_2=-2\sqrt{5}-2$(舍去), $\therefore AC=2\sqrt{5}-2$. 故答案为 $2\sqrt{5}-2$.

8[2026浙江金华质检]如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，点$O$为位似中心，且$△ DEF$的面积是$△ ABC$面积的9倍，则$\frac{OC}{CF}$的值为。

8. $\frac{1}{2}$ 【解析】$\because △ ABC$ 与 $△ DEF$ 位似, $\therefore △ ABC ∽ △ DEF, BC// EF, \therefore ∠ OBC = ∠ OEF, ∠ OCB = ∠ OFE, \therefore △ OBC ∽ △ OEF, \therefore \frac{OC}{OF}=\frac{BC}{EF}. \because △ DEF$ 的面积是 $△ ABC$ 面积的 9 倍, $\therefore △ ABC$ 与 $△ DEF$ 的相似比为 $1:3, \therefore \frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}, \therefore \frac{OC}{OF}=\frac{1}{3}, \therefore \frac{OC}{CF}=\frac{1}{2}$. 故答案为 $\frac{1}{2}$.