9 [2025 浙江温州调研]
如图, 在等腰直角△ABC 中, ∠ACB = 90°,D 为射线 CB 上的动点,连结 AD,作 AF ⊥ AD,且$\frac{AD}{AF}=\frac{3}{4}$,连结 BF 与 AC 所在直线交于点 P. 若$\frac{CP}{AC}=\frac{1}{3}$,则$\frac{BD}{BC}=$.

9. $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{6}$ 【解析】当点 $D$ 位于线段 $CB$ 延长线上时, 如图(1), 过点 $F$ 作 $AP$ 的垂线, 交 $AP$ 延长线于点 $M$. $\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore AC=BC, ∠ BCP=∠ ACD=∠ AMF=90°, \therefore ∠ ADC+∠ DAC=90°. \because AF ⊥ AD, \therefore ∠ DAF=90°, \therefore ∠ DAC + ∠ FAM = 90°, \therefore ∠ ADC = ∠ FAM, \therefore △ ADC ∽ △ FAM$. 又 $\because \frac{AD}{AF}=\frac{3}{4}, \therefore \frac{DC}{AM}=\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{FM}=\frac{3}{4}$. 设 $AC=BC=3m$, 则 $FM=4m. \because \frac{CP}{AC}=\frac{1}{3}, \therefore CP=m. \because ∠ BCP=∠ PMF=90°, ∠ BPC=∠ FPM, \therefore △ BCP ∽ △ FMP, \therefore \frac{BC}{FM}=\frac{CP}{PM}=\frac{3m}{4m}=\frac{3}{4}, \therefore PM=\frac{4}{3}m, \therefore AM=AC+PC+PM=3m+m+\frac{4}{3}m=\frac{16}{3}m, \therefore \frac{DC}{\frac{16}{3}m}=\frac{3}{4}, \therefore DC=4m, \therefore BD=m, \therefore \frac{BD}{BC}=\frac{m}{3m}=\frac{1}{3}$.
当点 $D$ 位于线段 $CB$ 上时, 如图(2), 过点 $F$ 作 $AP$ 的垂线, 交 $AP$ 于点 $N$. $\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore$ 设 $AC=BC=3m. \because \frac{CP}{AC}=\frac{1}{3}, \therefore CP=m, AP=2m$. 易证 $△ BCP ∽ △ FNP, △ ADC ∽ △ FAN, \therefore \frac{DC}{AN}=\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{FN}=\frac{3}{4}, \therefore FN=4m, \therefore \frac{BC}{FN}=\frac{CP}{PN}=\frac{3m}{4m}=\frac{3}{4}, \therefore PN=\frac{4}{3}m, \therefore AN=AC-CP-PN=3m-m-\frac{4}{3}m=\frac{2}{3}m, \therefore \frac{CD}{\frac{2}{3}m}=\frac{3}{4}, \therefore CD=\frac{1}{2}m, \therefore BD=3m-\frac{1}{2}m=\frac{5}{2}m, \therefore \frac{BD}{BC}=\frac{\frac{5}{2}m}{3m}=\frac{5}{6}$. 故答案为 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{6}$.

10[2025浙江金华期中]小明为了充分利用房子的空间，他计划在过道上放置一张可折叠的桌子(如图(1))。如图(2)所示为小明初步的设计方案，已知厨房门口和过道的宽度分别为70 cm和90 cm，其中96 cm×24 cm的矩形为固定餐桌，左侧紧靠墙壁，右侧是宽为x cm的可翻折矩形，右边缘是拱高为16 cm的圆弧形，点O为圆弧所在圆的圆心，点D对准厨房门口的中央(C为厨房门框点，B为厨房门口中央，A,D为桌边中央两点)。

(1)圆弧所在圆的半径为 cm.
(2)为了保证餐桌在展开时，一个人还能挤得过去，CE的长不少于45 cm，则x的最大值为.

10. (1)80 (2)10 【解析】(1)如图, 补全 $\odot O$, 延长 $DO$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 则 $DF$ 为 $\odot O$ 直径, 连结 $GD,FH$.
根据题意可得 $GH=96$ cm, $MD=16$ cm. 设 $\odot O$ 的半径为 $R$ cm, 则 $FD=2R$ cm, $FM=(2R-16)$ cm. 由题意得 $OD ⊥ GH, OD$ 是半径, $\therefore GM=MH=96÷2=48(\mathrm{cm}). \because \overset{\frown}{DH}=\overset{\frown}{DH}, \therefore ∠ F = ∠ DGH$. 又 $\because ∠ GMD = ∠ FMH=90°, \therefore △ GMD ∽ △ FMH, \therefore \frac{GM}{FM}=\frac{MD}{MH}, \therefore GM · MH=MD · FM, \therefore 48^2=16×(2R-16)$, 解得 $R=80$, 故圆弧所在圆的半径为 80 cm. 故答案为 80.
(2)$\because AD=24+x+16=(40+x)\mathrm{cm}, OD=80$ cm, $AB=90$ cm, $CB=70×\frac{1}{2}=35(\mathrm{cm}), \therefore OB=OD+AB-AD=80+90-(40+x)=(130-x)\mathrm{cm}, \therefore OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{(130-x)^2+35^2}. \because CE$ 的长不少于 45 cm, $\therefore OC≥(R+45)\mathrm{cm}$, 故 $(130-x)^2+35^2≥125^2$, 解得 $x≤10$ 或 $x≥250$(舍去), $\therefore x$ 的最大值为 10. 故答案为 10.
思路分析
(1)如图, 补全 $\odot O$, 延长 $DO$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 则 $DF$ 为直径, 连结 $GD, FH$, 设 $\odot O$ 的半径为 $R$ cm, 则 $FD=2R$ cm, $FM=(2R-16)$ cm, 根据垂径定理得 $GM=MH=48$ cm, 证明 $△ GMD ∽ △ FMH$, 得出 $GM · MH = MD · FM$, 代入数值即可求出半径;
(2)根据题意可得出 $AD, OD, AB, CB, OB$ 的长, 根据勾股定理表示出 $OC$ 的长, 根据 $CE$ 的长不少于 45 cm, 即可求出 $x$ 的取值范围.

三、解答题(本大题共5小题,共50分)
11 如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C均在格点上.请按要求在网格中画图,所画图形的顶点均需在格点上.
(1)在图中以线段AB为边画一个△ABD,使其与△ABC相似,但不全等.
(2)在图中画一个△EFG,使其与△ABC相似,且面积为8.

11.【解】(1)如图, $△ ABD$ 即为所求(画法不唯一).
(2)如图, $△ EFG$ 即为所求(画法不唯一).

12[2026江苏苏州质检]小李和小王去公园玩跷跷板游戏，跷跷板两边长度一样，即$OA=OB$，如图(1)，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我最高只能将你翘到1米，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！”
（1）请你根据他们的对话，借助图(2)，计算出跷跷板的支点O与地面的距离$OP$；
（2）你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由。

12.【解】(1)由题意得 $OP ⊥ BC, AC ⊥ BC, \therefore ∠ OPB = ∠ ACB = 90°. \because ∠ OBP = ∠ ABC, \therefore △ OBP ∽ △ ABC, \therefore \frac{BO}{BA}=\frac{OP}{AC}. \because BO=OA, \therefore \frac{BO}{BA}=\frac{1}{2}. \because AC=1$ 米, $\frac{OP}{1}=\frac{1}{2}, \therefore OP=0.5$ 米.
(2)小李的话不对. 理由:
若将跷跷板两端都伸长相同的长度 $a(a＞0)$ 米, 如图所示, 则 $BD=AE=a$ 米. $\because BO=OA, \therefore BO+a=OA+a$, 即 $DO=OE, \therefore \frac{DO}{DE}=\frac{1}{2}$. 易得 $△ DOP ∽ △ DEF, \therefore \frac{DO}{DE}=\frac{OP}{EF}$. 由(1)得 $OP=0.5$ 米, $\therefore EF=1$ 米. 综上所述, 跷跷板两边同时都伸长相同的长度, 跷跷板能翘到的最高高度始终为 $OP$ 长度的两倍, $\therefore$ 不可能翘得更高.

13[2026浙江宁波质检]如图,在四边形ABCD中,BC//AD,BC=5,AD=9.点E在线段AC上,EF//BC交AB于点F,EG//CD交AD于点G,FG交AC于点H,连结BD.
(1)试判断FG与BD的位置关系,并说明理由.
(2)求$\frac{FH}{HG}$的值.
(3)若E为AC的中点,BD=12,求FG的长.

13.【解】(1)$FG// BD$. 理由如下:
$\because EF// BC, \therefore △ AFE ∽ △ ABC, \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}. \because EG// CD, \therefore △ AEG ∽ △ ACD, \therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AG}{AD}, \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AD}. \because ∠ FAG = ∠ BAD, \therefore △ FAG ∽ △ BAD, \therefore ∠ AFG = ∠ ABD, \therefore FG// BD$.
(2)由(1)得 $△ AFE ∽ △ ABC, △ AEG ∽ △ ACD, \therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AC}, \frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AC}, \therefore \frac{AG}{AD}=\frac{EF}{BC}, \therefore \frac{EF}{AG}=\frac{BC}{AD}=\frac{5}{9}$.
$\because EF// BC, BC// AD, \therefore EF// AD, \therefore △ EFH ∽ △ AGH, \therefore \frac{FH}{HG}=\frac{EF}{AG}, \therefore \frac{FH}{HG}=\frac{5}{9}$.
(3)由(1)知 $\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}. \because E$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AC, \therefore \frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}. \because △ FAG ∽ △ BAD, \therefore \frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB}$, 即 $\frac{FG}{12}=\frac{1}{2}$, 解得 $FG=6, \therefore FG$ 的长为 6.