8[2025 浙江中考]如图, 五边形 ABCDE, A'B'C'D'E'是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,已知点 A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若 DE 的长为 3,则 D'E'的长为 ()

A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5

(第8题图) (第9题图)

8. C 【解析】$\because$ 点 $A,A'$ 的坐标分别为 $(2,0),(3,0)$, $\therefore OA=2, OA'=3. \because$ 五边形 $ABCDE$, 五边形 $A'B'C'D'E'$ 是以坐标原点 $O$ 为位似中心的位似图形, $\therefore OA:OA'=DE:D'E'=2:3. \because DE=3, \therefore D'E'=\frac{9}{2}$, 故选 C.

9[2025山东烟台中考]如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$,$△ ABC$的顶点A的坐标为$(4,3)$.以点P为位似中心作$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$位似,位似比为2,且与$△ ABC$位于点P同侧;以点P为位似中心作$△ A_{2}B_{2}C_{2}$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$位似,位似比为2,且与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$位于点P同侧……按照以上规律作图,点$A_{3}$的坐标为.

9. $(-10,\dfrac{27}{2})$ 【解析】$\because △ A_1B_1C_1$ 与 $△ ABC$ 位似, 位似比为 2, 且在点 $P$ 同侧, $\therefore PA_1=2PA, \therefore A$ 为 $PA_1$ 的中点. 设 $A_1(x,y)$, 可得 $\frac{x+6}{2}=4, \frac{y+\frac{3}{2}}{2}=3$, 解得 $x=2, y=\frac{9}{2}, \therefore A_1(2,\frac{9}{2})$. 同理可得 $A_2(-2,\frac{15}{2}), A_3(-10,\frac{27}{2})$.

10[2025江苏无锡中考]【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究:以△ABC内部任意一点O为中心,画出与△ABC成中心对称的△A'B'C'.当点O处于不同位置时,从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况:如图(1)所示的平行四边形,如图(2)所示的有三组对边分别平行的六边形(称为“平行六边形”);从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化.

【问题解决】
组员小明选择面积为1的△ABC,以其内部任意一点O为中心,画出与之成中心对称的△A'B'C',探究了下列问题,请你帮他解答.
(1)如图(3),BC=2,当点A关于点O的对称点A'落在边BC上时,两个三角形重叠部分为□AQA'P.
①若AA'⊥BC,求AO的长;(请直接写出答案)
②若□AQA'P的面积为$\frac{1}{4}$,求A'C的长.
(2)如图(4),点D为BC的中点,点O在AD上,若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN,求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值,并指出此时点O的位置.


小菜一碟鸭

10.【解】(1)①$AO=\frac{1}{2}$. $\because AA' ⊥ BC, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AA'=1. \because BC=2, \therefore AA'=1. \because$ 点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点为 $A', \therefore AO=\frac{1}{2}AA'=\frac{1}{2}$.
②$\because$ 四边形 $AQA'P$ 为平行四边形, $\therefore AB// A'B', AC// A'C', AP=A'Q, AQ=A'P, \therefore ∠ QA'B = ∠ C, ∠ B = ∠ PA'C, \therefore △ PA'C ∽ △ QBA'$, 设 $\frac{A'C}{A'B}=\frac{A'P}{QB}=\frac{PC}{A'Q}=\frac{1}{k}, \therefore \frac{PC}{AP}=\frac{AQ}{BQ}=\frac{1}{k}$. 连结 $AA'$.
$\because □ AQA'P$ 的面积为 $\frac{1}{4}, \therefore S_{△ AA'P}=\frac{1}{8}, \therefore \frac{S_{△ A'PC}}{S_{△ AA'P}}=\frac{PC}{AP}=\frac{1}{k}, \therefore S_{△ A'PC}=\frac{1}{8k}. \because △ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 关于点 $O$ 成中心对称, 且点 $A'$ 在 $BC$ 上, $\therefore AB=A'B', AB'=A'B, \therefore$ 四边形 $ABA'B'$ 为平行四边形, $\therefore BC// B'C'$, 同理可得 $\frac{S_{△ BQA'}}{S_{△ AQA'}}=\frac{BQ}{AQ}=k, \therefore S_{△ BQA'}=\frac{k}{8}$.
$\because S_{△ A'PC}+S_{△ BQA'}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}, \therefore \frac{1}{8k}+\frac{k}{8}=\frac{3}{4}$, 解得 $k=3\pm2\sqrt{2}. \because \frac{A'C}{A'B}=\frac{1}{k}, \therefore \frac{A'C}{BC}=\frac{1}{k+1}, \therefore A'C=\frac{2}{k+1}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$.
(2)设 $OD=m, AD=1$, $AD$ 交 $B'C'$ 于 $L$, 则 $\frac{OD}{AD}=m, \therefore$ 易得 $OD=OL=m, \therefore AL=AD-DL=1-2m. \because MH// BC, \therefore △ AMH ∽ △ ABC, △ ALH ∽ △ ADC, \therefore \frac{AH}{AC}=\frac{MH}{BC}=\frac{AL}{AD}=\frac{LH}{CD}=\frac{1-2m}{1}, \therefore \frac{S_{△ AMH}}{S_{△ ABC}}=(\frac{MH}{BC})^2=(1-2m)^2. \because S_{△ ABC}=1, \therefore S_{△ AMH}=(1-2m)^2. \because D$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore CD=\frac{1}{2}BC, \therefore$ 易得 $LH=ML=\frac{1}{2}MH$. 由中心对称性可知, $LH=ML=ED=DF$. 连结 $ME$, 如图. $\because ML// ED, \therefore$ 四边形 $MLDE$ 是平行四边形, $\therefore LD=ME=2m, ME// AD, \therefore △ BEM ∽ △ BDA, \therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BM}{AB}=\frac{ME}{AD}=2m. \because BC=2BD, \therefore \frac{BE}{BC}=m. \because A'C'// AC, \therefore △ BNE ∽ △ BAC, \therefore \frac{S_{△ BNE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{BE}{BC})^2=m^2, \therefore S_{△ BNE}=m^2$, 同理可得 $S_{△ FGC}=S_{△ BNE}=m^2, \therefore S_{\mathrm{平行六边形}EFGHMN}=S_{△ ABC}-S_{△ AMH}-S_{△ BNE}-S_{△ FGC}=1-(1-2m)^2-m^2-m^2=-6m^2+4m=-6(m-\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}$, 故当 $m=\frac{1}{3}$ 时, 平行六边形 $EFGHMN$ 面积有最大值, 为 $\frac{2}{3}$, 此时 $\frac{OD}{AD}=\frac{1}{3}$, 则点 $O$ 为 $△ ABC$ 的重心.
思路分析
(2)设 $OD=m$, $AD = 1$, 利用相似三角形的判定和性质分别用含 $m$ 的式子表示出 $S_{△ AMH}$, $S_{△ BNE}$, $S_{△ FGC}$, 利用割补法可得重叠部分面积, 进而利用二次函数的性质求最值即可.