1. 在平面直角坐标系中，点$P(2,-3)$关于$x$轴对称的点$P'$的坐标是（）

A.$(-2,-3)$
B.$(-2,3)$
C.$(2,-3)$
D.$(2,3)$

1.D

【分析】
解决这道题首先要回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。解题时先提取已知点P的横、纵坐标，横坐标保留不变，将纵坐标替换为它的相反数，就能得到对称点P'的坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点$P$的坐标为$(2,-3)$，因此对称点$P'$的横坐标与$P$一致，为2；纵坐标为$-3$的相反数，即$-(-3)=3$。
所以点$P'$的坐标是$(2,3)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
x轴对称的点的坐标特征，平面直角坐标系坐标表示
【点评】
本题是基础题型，主要考查对称点的坐标变化规律的应用，牢记不同对称类型对应的坐标变化规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

2. 在直角坐标系中，$△ ABC$各点的坐标分别为$A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4)$.先作$△ ABC$关于$x$轴成轴对称的$△ A_1B_1C_1$，再把$△ A_1B_1C_1$平移后得到$△ A_2B_2C_2$.若$B_2(2,1)$，则点$A_2$的坐标为.

2.(1,3)

【分析】
解决这道题需要分两步推导：首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律，求出△A₁B₁C₁中对应点的坐标；再根据平移的性质，即图形平移时所有点的平移方向和距离完全相同，通过已知的B₁到B₂的坐标变化确定平移规则，最后将该规则应用到A₁上即可求出A₂的坐标。
【解析】
1. 求关于x轴对称的点的坐标
关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数：
已知点B坐标为(-1,3)，则对称点B₁的坐标为$(-1, -3)$；
已知点A坐标为(-2,1)，则对称点A₁的坐标为$(-2, -1)$。
2. 确定平移规律
已知平移后B₂的坐标为(2,1)，对比B₁(-1,-3)的坐标变化：
横坐标变化：$2 - (-1) = 3$，即整体向右平移3个单位；
纵坐标变化：$1 - (-3) = 4$，即整体向上平移4个单位。
3. 计算A₂的坐标
将A₁(-2,-1)按上述规律平移：
平移后横坐标：$-2 + 3 = 1$，平移后纵坐标：$-1 + 4 = 3$，因此A₂的坐标为$(1,3)$。
【答案】
(1,3)
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化-平移
【点评】
本题是坐标变换的基础综合题，解题核心是熟练掌握轴对称和平移对应的坐标变化规则，明确平移变换中图形上所有点的变换规律一致，易错点是混淆轴对称的坐标变化规则。
【难度系数】
0.7

3. 如图，一次函数$y=2x-3$的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（）

A.$(-\dfrac{3}{2},0)$
B.$(\dfrac{3}{2},0)$
C.$(0,3)$
D.$(0,-3)$

3.A

【分析】
解题分两步进行：第一步先求点A的坐标，点A是一次函数图象与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标为0，因此将y=0代入一次函数解析式就能求出点A的横坐标，得到A的坐标；第二步根据关于y轴对称的点的坐标特征计算对称点坐标：关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，代入A的坐标即可得到最终结果。
【解析】
1. 求点A的坐标：
点A是一次函数$y=2x-3$与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，将$y=0$代入解析式得：
$0=2x-3$
解得$x=\dfrac{3}{2}$，因此点A的坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$。
2. 求点A关于y轴的对称点坐标：
关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标变为原坐标的相反数，因此对称点的横坐标为$-\dfrac{3}{2}$，纵坐标为0，即对称点坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与x轴交点求法；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，结合一次函数与平面直角坐标系轴对称的知识点出题，只要熟练掌握坐标轴上点的坐标特点、轴对称点的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.如图,四盏相同的灯笼(看成点)放置在平面直角坐标系中,坐标分别是$A(-3.5,b),B(-2,b),C(-1,b),D(1,b)$,将其中一盏灯笼向右平移$m$个单位长度,使得$y$轴两侧的灯笼对称,则$m$的值是（）

A.3
B.4
C.4.5
D.5.5

4.D 【点拨】
∵A,B,C,D这四个点的纵坐标都是b,
∴这四个点在一条直线上,这条直线平行于x轴.
∵C(-1,b),D(1,b),
∴C,D关于y轴对称,
∴平移只需使A,B关于y轴对称即可.
∵A(-3.5,b),B(-2,b),
∴可以将点A(-3.5,b)向右平移到(2,b),平移5.5个单位长度,也可以将B(-2,b)向右平移到(3.5,b),平移5.5个单位长度.
点方法 由题可知点C,D关于y轴对称,所以要使y轴两侧灯笼对称,需平移A或B,进而可求解.

【分析】
解题时先观察四个点的坐标特征：纵坐标均为b，说明四点在平行于x轴的同一条直线上。要使y轴两侧的灯笼对称，即y轴两侧的点都关于y轴对称。首先发现C(-1,b)和D(1,b)横坐标互为相反数、纵坐标相同，已经关于y轴对称，因此只需处理剩余的A、B两点即可。由于仅允许平移1盏灯笼，因此只需将其中一个点平移到另一个点关于y轴的对称点位置，计算平移距离即可得到m的值。
【解析】
解：
∵点A、B、C、D的纵坐标均为b，
∴四点在平行于x轴的同一条直线上。
∵C(-1,b)，D(1,b)，两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴C、D已经关于y轴对称，满足对称要求。
要使y轴两侧灯笼对称，只需让剩余的A、B两点形成对称关系即可：
关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变。
①若平移点A：B(-2,b)关于y轴的对称点为(2,b)，则将A(-3.5,b)向右平移到(2,b)，平移距离m=2-(-3.5)=5.5；
②若平移点B：A(-3.5,b)关于y轴的对称点为(3.5,b)，则将B(-2,b)向右平移到(3.5,b)，平移距离m=3.5-(-2)=5.5。
两种情况所得m值均为5.5，因此m的值为5.5。
【答案】
D
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征；点的平移规律；轴对称的性质
【点评】
本题结合生活场景考查平面直角坐标系中对称与平移的相关知识，解题关键是先找到已满足对称关系的点，再确定需要平移的对象，结合对称点坐标特征和平移规律计算即可，易错点是计算平移距离时容易出错。
【难度系数】
0.7

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$与点$A_1$关于$x$轴对称，点$A$与点$A_2$关于$y$轴对称.已知$A_1(1,2)$，则点$A_2$的坐标是.

5.(-1,-2)

【分析】
解题时可先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点A₂的坐标。第一步：回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标互为相反数，结合已知A₁的坐标即可得到点A的坐标；第二步：回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，代入点A的坐标就能算出A₂的坐标。
【解析】
∵ 点A与点A₁关于x轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，且A₁(1,2)
∴ 点A的坐标为(1, -2)
又
∵ 点A与点A₂关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数
∴ 点A₂的坐标为(-1, -2)
【答案】
(-1,-2)
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律；关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题是基础题型，主要考查平面直角坐标系中轴对称变换对应的坐标变化规律，牢记两种轴对称的坐标变化特点即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.9

6. 如图,在$3×3$的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是

()

A.点 A
B.点 B
C.点 C
D.点 D

6.B

【分析】
解题时可采用逐一验证法：依次假设选项中的点为坐标原点，规定网格线向右为x轴正方向、向上为y轴正方向，每个小网格边长为1，写出其余三个点的坐标，再根据“关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数”的特征，判断是否存在两个点关于坐标轴对称即可。
【解析】
设每个小网格的边长为1，规定向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，逐一验证：
1. 若原点为点A：其余三点坐标为$B(2,2)$，$C(4,0)$，$D(4,-2)$，不存在两个点关于坐标轴对称，不符合要求；
2. 若原点为点B：其余三点坐标为$A(-2,-2)$，$C(2,-2)$，$D(2,-4)$，其中点$A(-2,-2)$和点$C(2,-2)$纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，符合要求；
3. 若原点为点C：其余三点坐标为$A(-4,0)$，$B(-2,2)$，$D(0,-2)$，不存在两个点关于坐标轴对称，不符合要求；
4. 若原点为点D：其余三点坐标为$A(-4,2)$，$B(-2,4)$，$C(0,2)$，不存在两个点关于坐标轴对称，不符合要求。
综上，原点应为点B。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系的建立；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础应用类题目，通过逐一验证的方法即可快速得出结论，解题时要注意坐标正负与坐标轴方向的对应关系，牢记轴对称点的坐标规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7

7. 新考法探究循环规律法 如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2026次变换后,点A的对应点的坐标为.

7.(-a,-b) 【点拨】A(a,b)第1次变换后的坐标为(a,-b),第2次变换后的坐标为(-a,-b),第3次变换后的坐标为(-a,b),第4次变换后的坐标为(a,b),…,
∴每4次一个循环.
∵2026÷4=506……2,
∴经过第2026次变换后点A的对应点的坐标是(-a,-b).

【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，先依次计算前几次变换后点A的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期得到余数，根据余数确定第2026次变换后点A的坐标对应循环中的第几个结果即可。
【解析】
已知初始点A坐标为$(a,b)$：
1. 第1次关于x轴对称：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，可得对应点坐标为$(a, -b)$；
2. 第2次关于y轴对称：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为相反数，可得对应点坐标为$(-a, -b)$；
3. 第3次关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可得对应点坐标为$(-a, b)$；
4. 第4次关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可得对应点坐标为$(a, b)$，与初始点坐标一致。
由此可知每4次变换为一个循环，每次循环结束后点A回到原位置。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026次变换后点A的坐标与第2次变换后的坐标相同，为$(-a,-b)$。
【答案】
$(-a,-b)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征，关于y轴对称的坐标特征，循环规律探究
【点评】
本题将轴对称的坐标变换与循环规律结合，解题核心是先通过枚举前几次变换结果确定循环周期，再结合余数定位对应坐标，要求熟练掌握轴对称的坐标变化规律，具备基本的规律探究能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l$是第一、三象限的角平分线.
【实验与探究】
(1)观察图易知$A(0,2)$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标为$(2,0)$,请在图中分别标明$B(5,3),C(-2,5)$关于直线$l$的对称点$B',C'$的位置,并写出他们的坐标:$B'$,$C'$.
【归纳与发现】
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点$P(a,b)$关于第一、三象限的角平分线$l$的对称点$P'$的坐标为.
【运用与拓广】
(3)已知两点$D(1,-3),E(-1,-4)$,试在直线$l$上确定一点$Q$,使点$Q$到$D,E$两点的距离之和最小,则点$Q$的坐标为.

8.【解】(1)(3,5);(5,-2)
点$B',C'$的位置如图.
(2)$(b,a)$
(3)$(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{13}{7})$ 【点拨】作点$D$关于直线$l$的对称点$D'$,连接$ED'$交直线$l$于点$Q$,连接$QD$,点$Q$即为所求.
$D(1,-3)$关于直线$l$的对称点为$D'(-3,1)$.设直线$ED'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把$E(-1,-4)$,$D'(-3,1)$的坐标分别代入,得
$\begin{cases}-k+b=-4,\\-3k+b=1,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2},\\b=-\dfrac{13}{2},\end{cases}$
$\therefore$直线$ED'$的表达式为$y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{2}$.
联立得$\begin{cases}y=x,\\y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-\dfrac{13}{7},\\y=-\dfrac{13}{7},\end{cases}$
$\therefore Q(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{13}{7}).$

【分析】
(1) 直线l是第一、三象限的角平分线，对应函数表达式为$y=x$，关于该直线对称的点横纵坐标互换位置。已知$B(5,3)$、$C(-2,5)$，将两点横纵坐标互换即可得到对称点坐标，再对应标注位置即可。
(2) 观察A、B、C三组点与其对称点的坐标规律：原坐标$(a,b)$的对称点横、纵坐标为原坐标的纵坐标、横坐标，由此归纳出通用规律。
(3) 要在直线l上找Q使$QD+QE$最小，属于最短路径问题：两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求的Q。先求出D关于直线l的对称点$D'$，再用待定系数法求出直线$ED'$的解析式，与$y=x$联立求解，得到的解就是Q的坐标。
【解析】
(1) 因为点关于第一、三象限角平分线对称时横纵坐标互换，所以$B(5,3)$的对称点$B'$坐标为$(3,5)$，$C(-2,5)$的对称点$C'$坐标为$(5,-2)$，位置如图所示。
(2) 观察$A(0,2)$的对称点为$(2,0)$，$B(5,3)$的对称点为$(3,5)$，$C(-2,5)$的对称点为$(5,-2)$，可得坐标平面内任一点$P(a,b)$关于直线l的对称点$P'$的坐标为$(b,a)$。
(3) 作点D关于直线l的对称点$D'$，连接$ED'$交直线l于点Q，此时$QD+QE$最小。
$D(1,-3)$关于$y=x$的对称点$D'$坐标为$(-3,1)$，设直线$ED'$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$E(-1,-4)$、$D'(-3,1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-4\\-3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2}\\b=-\dfrac{13}{2}\end{cases}$，因此直线$ED'$的解析式为$y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{2}$。
联立直线$l$的解析式$y=x$，得：
$\begin{cases}y=x\\y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{13}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\dfrac{13}{7}\\y=-\dfrac{13}{7}\end{cases}$，即Q点坐标为$(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{13}{7})$。
【答案】
(1) $(3,5)$；$(5,-2)$，点$B',C'$的位置如图
(2) $(b,a)$
(3) $(-\dfrac{13}{7},-\dfrac{13}{7})$
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 最短路径问题
3. 一次函数解析式求解
【点评】
本题从具体点的对称坐标探究入手，逐步归纳出通用规律，再结合最短路径原理和一次函数知识解决问题，层级清晰，既考查了归纳推理能力，也考查了知识的综合运用能力，是典型的坐标与几何结合的基础应用题。
【难度系数】
0.65