1. 如图，$△ ABC$与$△ ADE$关于直线$MN$对称，$BC$与$DE$的交点$F$在直线$MN$上.
(1)指出图中的对应顶点；
(2)指出图中三对相等的线段；
(3)指出图中其他关于直线$MN$对称的三角形.

(1)点B和点D，点C和点E，点A和点A。
(2)AC和AE，AB和AD，BC和DE(答案不唯一)。
(3)$△ AFB$和$△ AFD$，$△ AEF$和$△ ACF$。

【分析】
解题时先回忆轴对称的核心性质：①成轴对称的两个图形全等，对应顶点、对应线段、对应角分别相等；②对称轴上的点的对应点是其本身，对应点的连线被对称轴垂直平分。
(1)找对应顶点：直接定位两个成轴对称的△ABC和△ADE，重合时互相重合的点就是对应顶点，注意在对称轴上的公共点A的对应点是自身。
(2)找相等线段：利用轴对称“对应线段相等”的性质，找两个三角形的对应边即可，也可找小对称三角形的对应边，答案不唯一。
(3)找其他对称三角形：除已知的两个大三角形外，只要三角形的三个顶点分别关于MN对称，该三角形就关于MN对称，结合对称轴上的点A、F是自身对称点，搭配剩余的对应点B和D、C和E组合即可。
【解析】
(1) 已知△ABC与△ADE关于直线MN对称，两个图形重合时互相重合的顶点为对应顶点，其中点A在对称轴MN上，对应点为自身，因此对应顶点为点A和点A，点B和点D，点C和点E。
(2) 根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应线段相等，可得对应边相等：AB和AD是对应边，故AB=AD；AC和AE是对应边，故AC=AE；BC和DE是对应边，故BC=DE（也可写BF=DF、CF=EF等，任选三对即可）。
(3) 对称轴MN上的点A、F的对应点为自身，点B与点D是对应点，因此由A、F、B和A、F、D组成的△AFB和△AFD关于直线MN对称；点C与点E是对应点，因此由A、E、F和A、C、F组成的△AEF和△ACF关于直线MN对称。
【答案】
(1)点B和点D，点C和点E，点A和点A。
(2)AC和AE，AB和AD，BC和DE(答案不唯一)。
(3)$△ AFB$和$△ AFD$，$△ AEF$和$△ ACF$。
【知识点】
轴对称的对应元素；轴对称的性质；对称三角形判定
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题，解题核心是明确成轴对称的两个图形的对应关系，注意不要忽略对称轴上的点的对应点是其本身的特点，避免漏解。
【难度系数】
0.85

2. 新题型 结论开放题 在下面的三个网格中均有三个阴影小正方形,请你在这三个网格图中各补涂一个阴影小正方形,使补涂后的图形(阴影部分)为轴对称图形.

补涂后符合要求的图形如下：

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。解题时，我们可以先为每个网格设想一条可能的对称轴（可以是水平直线、竖直直线、斜向直线），再观察现有三个阴影小正方形的位置，找到缺少的、和已有阴影关于对称轴对称的空白小正方形，补涂即可，每个网格的补涂位置不唯一，只要符合要求即可。
【解析】
步骤1：回忆轴对称图形的判定规则：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形。
步骤2：对第一个网格：选取竖直方向、位于第2列和第3列之间的直线为对称轴，现有第二行第1列的阴影的对称点为第二行第4列，将该位置补涂后，阴影部分沿该直线折叠可完全重合，符合要求。
步骤3：对第二个网格：选取斜向、从网格左上角到右下角的对角线为对称轴，补涂第一行第1列后，阴影部分沿该对角线折叠可完全重合，符合要求。
步骤4：对第三个网格：选取水平方向、位于第2行和第3行之间的直线为对称轴，补涂第四行第1列后，阴影部分沿该水平直线折叠可完全重合，符合要求。
（注：每个网格的补涂方法不唯一，只要满足轴对称图形的要求均可）
【答案】
补涂后符合要求的图形如下：
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称的性质
【点评】
本题是结论开放类题目，答案不唯一，主要考查对轴对称图形概念的灵活应用，能有效锻炼空间想象能力和发散思维。
【难度系数】
0.7

3. 图①、图②、图③都是$3×3$的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点，在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M,N为格点；
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P,Q为格点；
(3)在图③中，画一个$△ DEF$，使$△ DEF$与$△ ABC$关于某条直线对称，且D,E,F为格点.

(1)如图①，MN即为所求。(答案不唯一)
(2)如图②，PQ即为所求。(答案不唯一)
(3)如图③，$△ DEF$即为所求。(答案不唯一)

【分析】
本题考查网格中的轴对称作图，解题思路如下：首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，且两图形全等。①先选择合适的对称轴，优先选网格的横向中线、纵向中线、对角线等易找到格点对称点的直线；②分别找到已知线段/三角形各顶点关于该对称轴的对称格点；③连接对称点得到所求图形，验证是否满足题目要求（不与原图形重合、顶点均为格点）即可，答案不唯一。
【解析】
(1)在图①中：
第一步：选择合适的对称轴，例如可选择网格的某条竖直线、水平线或斜线作为对称轴；
第二步：找到点A、点B关于所选对称轴的对称格点，记为M、N；
第三步：连接MN，所得MN不与AB重合，且与AB关于所选直线对称，符合要求。
(2)在图②中：
第一步：选择合适的对称轴；
第二步：找到点A、点C关于所选对称轴的对称格点，记为P、Q；
第三步：连接PQ，所得PQ不与AC重合，且与AC关于所选直线对称，符合要求。
(3)在图③中：
第一步：选择合适的对称轴；
第二步：找到点A、B、C关于所选对称轴的对称格点，记为D、E、F；
第三步：顺次连接D、E、F，所得△DEF与△ABC关于所选直线对称，且顶点均为格点，符合要求。
【答案】
(1)如图①，MN即为所求。(答案不唯一)
(2)如图②，PQ即为所求。(答案不唯一)
(3)如图③，$△ DEF$即为所求。(答案不唯一)

【知识点】
轴对称的性质；轴对称作图；网格作图
【点评】
本题是开放性的网格作图题，核心考查轴对称性质的应用，解题的关键是合理选择对称轴，准确找到对应顶点的对称格点，这类题目能很好地锻炼动手操作能力与空间想象能力。
【难度系数】
0.8

4. 如图,点 P 在∠AOB 的内部,点 C 和点 P 关于直线 OA 对称,点 D 和点 P 关于直线 OB 对称,连接 CD 交 OA 于点 M,交 OB 于点 N.
(1)①若∠AOB=60°,则∠COD=;
②若∠AOB=α,求∠COD 的度数;
(2)若 CD=4,求△PMN 的周长.

(1)①$120°$
②
∵点C和点P关于直线OA对称，
∴$∠ AOC=∠ AOP$。
∵点D和点P关于直线OB对称，
∴$∠ BOD=∠ BOP$，
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOP + ∠ BOP + ∠ BOD = 2(∠ AOP+∠ BOP)=2∠ AOB=2α$。
(2)根据轴对称的性质，可知$CM = PM$，$DN = PN$，
∴$△ PMN$的周长为$PM + PN + MN=CM+ DN+ MN=CD=4$。

【分析】
本题可结合轴对称的性质逐步推导求解：
1. 角度求解部分：轴对称图形的对应角相等，点C和P关于OA对称可推出∠AOC=∠AOP，点D和P关于OB对称可推出∠BOD=∠BOP，将∠COD拆分为多个角的和后，通过等量代换即可得到∠COD与∠AOB的数量关系，代入已知角度就能得到结果。
2. 周长求解部分：轴对称图形的对应线段相等，可得到CM=PM、DN=PN，将△PMN的周长的三条边通过等量代换转化为CD的长度，即可直接求出周长。
【解析】
(1)①已知∠AOB=60°，根据轴对称性质可得∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，因此：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOP+∠ BOP+∠ BOD=2(∠ AOP+∠ BOP)=2∠ AOB=2×60°=120°$
②
∵点C和点P关于直线OA对称，
∴$∠ AOC=∠ AOP$。
∵点D和点P关于直线OB对称，
∴$∠ BOD=∠ BOP$，
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOP + ∠ BOP + ∠ BOD = 2(∠ AOP+∠ BOP)=2∠ AOB=2α$。
(2)根据轴对称的性质，可知$CM = PM$，$DN = PN$，
∴$△ PMN$的周长为$PM + PN + MN=CM+ DN+ MN=CD=4$。
【答案】
(1)①$120°$；②$2α$；(2)$4$
【知识点】
轴对称的性质，角的和差运算，三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题核心是利用轴对称得到相等的角、相等的线段，通过等量代换将未知量转化为已知条件求解，解题时要掌握拆分角度、转化周长线段的技巧。
【难度系数】
0.7