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5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$是$BC$边上的点,连接$AD$,$AE$,以$△ ADE$的边$AE$所在直线为对称轴作与$△ ADE$成轴对称的图形$△ AD'E$,连接$D'C$,$BD=CD'$.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACD'$;
(2)若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACD'$;
(2)若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
(1)【证明】由对称可得$AD=AD'$。
在$△ ABD$与$△ ACD'$中，$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD', \\ AD=AD', \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD'(\mathrm{SSS})$。
(2)【解】
∵$△ ABD≌△ ACD'$，
∴$∠ BAD=∠ CAD'$，
∴$∠ DAD'=∠ BAC=100°$。
∵$△ ADE$与$△ AD'E$关于AE所在直线成轴对称，
∴$∠ DAE=∠ D'AE=\frac{1}{2}∠ DAD'=\frac{1}{2}×100°=50°$。
在$△ ABD$与$△ ACD'$中，$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD', \\ AD=AD', \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD'(\mathrm{SSS})$。
(2)【解】
∵$△ ABD≌△ ACD'$，
∴$∠ BAD=∠ CAD'$，
∴$∠ DAD'=∠ BAC=100°$。
∵$△ ADE$与$△ AD'E$关于AE所在直线成轴对称，
∴$∠ DAE=∠ D'AE=\frac{1}{2}∠ DAD'=\frac{1}{2}×100°=50°$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACD'，先梳理已知条件：题目已给出AB=AC、BD=CD'，还缺一组对应边相等的条件；结合△ADE和△AD'E关于AE对称，根据轴对称的性质可得对应边AD=AD'，此时三组对应边均相等，即可用SSS判定全等。
（2）求∠DAE的度数，先利用第一问全等的结论，得对应角∠BAD=∠CAD'，推导可得∠DAD'=∠BAC=100°；再结合轴对称的性质，可知AE是∠DAD'的角平分线，因此∠DAE为∠DAD'的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：根据轴对称的性质，△ADE与△AD'E关于AE所在直线成轴对称，可得$AD=AD'$。
在$△ ABD$和$△ ACD'$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD', \\ AD=AD', \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD'(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：
∵$△ ABD≌△ ACD'$，
∴$∠BAD=∠CAD'$，
∴$∠BAD+∠DAC=∠CAD'+∠DAC$，即$∠DAD'=∠BAC=100°$。
又
∵$△ ADE$与$△ AD'E$关于AE所在直线成轴对称，
∴$∠DAE=∠D'AE$，
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAD'=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACD'$得证；
(2) $∠DAE=50°$
【知识点】
全等三角形的判定，轴对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先从轴对称性质中获取相等的边、角关系，再结合已知条件证明全等，同时要注意利用前一问的结论解决后一问，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABD≌△ACD'，先梳理已知条件：题目已给出AB=AC、BD=CD'，还缺一组对应边相等的条件；结合△ADE和△AD'E关于AE对称，根据轴对称的性质可得对应边AD=AD'，此时三组对应边均相等，即可用SSS判定全等。
（2）求∠DAE的度数，先利用第一问全等的结论，得对应角∠BAD=∠CAD'，推导可得∠DAD'=∠BAC=100°；再结合轴对称的性质，可知AE是∠DAD'的角平分线，因此∠DAE为∠DAD'的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：根据轴对称的性质，△ADE与△AD'E关于AE所在直线成轴对称，可得$AD=AD'$。
在$△ ABD$和$△ ACD'$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD', \\ AD=AD', \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD'(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：
∵$△ ABD≌△ ACD'$，
∴$∠BAD=∠CAD'$，
∴$∠BAD+∠DAC=∠CAD'+∠DAC$，即$∠DAD'=∠BAC=100°$。
又
∵$△ ADE$与$△ AD'E$关于AE所在直线成轴对称，
∴$∠DAE=∠D'AE$，
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAD'=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACD'$得证；
(2) $∠DAE=50°$
【知识点】
全等三角形的判定，轴对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先从轴对称性质中获取相等的边、角关系，再结合已知条件证明全等，同时要注意利用前一问的结论解决后一问，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD=CB。
求证：AE=$\frac{1}{2}(AB+AD)$。
求证：AE=$\frac{1}{2}(AB+AD)$。
答案
【证明】如图，过点C作$CF⊥ AD$，交AD的延长线于点F。
由题意得$∠ F=∠ CEA=∠ CEB=90°$，$∠ FAC=∠ EAC$。
又
∵$AC=AC$，
∴$△ AFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$。
∴$CF=CE$，$AF=AE$。
又
∵$CD=CB$，
∴$\mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL})$。
∴$DF=BE$。
又
∵$DF = AF - AD = AE - AD$，$BE=AB-AE$，
∴$AE-AD=AB-AE$。
∴$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
解析
【分析】
要证明$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$，可先转化为证明$2AE=AB+AD$。首先观察已知条件：$AC$平分$∠ BAD$，且$CE⊥ AB$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点$C$作$AD$延长线的垂线$CF$，构造全等三角形；先证$△ AFC$和$△ AEC$全等，得到$AF=AE$、$CF=CE$，再结合已知$CD=CB$，证$\mathrm{Rt}△ CFD$和$\mathrm{Rt}△ CEB$全等，得到$DF=BE$，最后通过线段的和差关系代换，即可推导出结论。
【解析】
证明：如图，过点$C$作$CF⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
由题意得$∠ F=∠ CEA=∠ CEB=90°$，$∠ FAC=∠ EAC$。
又$\because AC=AC$，
$\therefore △ AFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore CF=CE$，$AF=AE$。
又$\because CD=CB$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL})$。
$\therefore DF=BE$。
又$\because DF = AF - AD = AE - AD$，$BE=AB-AE$，
$\therefore AE-AD=AB-AE$，
整理得$2AE=AB+AD$，即$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【答案】
【证明】如图，过点C作$CF⊥ AD$，交AD的延长线于点F。
由题意得$∠ F=∠ CEA=∠ CEB=90°$，$∠ FAC=∠ EAC$。
又
∵$AC=AC$，
∴$△ AFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$。
∴$CF=CE$，$AF=AE$。
又
∵$CD=CB$，
∴$\mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL})$。
∴$DF=BE$。
又
∵$DF = AF - AD = AE - AD$，$BE=AB-AE$，
∴$AE-AD=AB-AE$。
∴$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，解题关键是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将分散的线段转化为具有数量关联的线段，再通过和差代换完成证明，掌握角平分线常见的辅助线做法能大大降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.6
要证明$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$，可先转化为证明$2AE=AB+AD$。首先观察已知条件：$AC$平分$∠ BAD$，且$CE⊥ AB$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点$C$作$AD$延长线的垂线$CF$，构造全等三角形；先证$△ AFC$和$△ AEC$全等，得到$AF=AE$、$CF=CE$，再结合已知$CD=CB$，证$\mathrm{Rt}△ CFD$和$\mathrm{Rt}△ CEB$全等，得到$DF=BE$，最后通过线段的和差关系代换，即可推导出结论。
【解析】
证明：如图，过点$C$作$CF⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
由题意得$∠ F=∠ CEA=∠ CEB=90°$，$∠ FAC=∠ EAC$。
又$\because AC=AC$，
$\therefore △ AFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore CF=CE$，$AF=AE$。
又$\because CD=CB$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL})$。
$\therefore DF=BE$。
又$\because DF = AF - AD = AE - AD$，$BE=AB-AE$，
$\therefore AE-AD=AB-AE$，
整理得$2AE=AB+AD$，即$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【答案】
【证明】如图，过点C作$CF⊥ AD$，交AD的延长线于点F。
由题意得$∠ F=∠ CEA=∠ CEB=90°$，$∠ FAC=∠ EAC$。
又
∵$AC=AC$，
∴$△ AFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$。
∴$CF=CE$，$AF=AE$。
又
∵$CD=CB$，
∴$\mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL})$。
∴$DF=BE$。
又
∵$DF = AF - AD = AE - AD$，$BE=AB-AE$，
∴$AE-AD=AB-AE$。
∴$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，解题关键是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将分散的线段转化为具有数量关联的线段，再通过和差代换完成证明，掌握角平分线常见的辅助线做法能大大降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.6
7.如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C,G,D在同一直线上，点E,H,F也在同一直线上，则下列判断正确的是（
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
D
）A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
答案
D 【点拨】对于纸带①，如图。
∵$∠ 1=59°$，
∴$∠ AMB=59°$。又
∵$∠ 2=59°$，
∴$∠ MBA=180°-59°-59°=62°$。由折叠的性质得，$∠ ABN = ∠ MBA = 62°$，
∴$∠ 2 ≠ ∠ ABN$，
∴AM与BN不平行；对于纸带②，由折叠的性质得，$∠ CGH=∠ DGH$，$∠ EHG=∠ FHG$。又
∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴$∠ CGH+∠ DGH=180°$，$∠ EHG+∠ FHG=180°$，
∴$∠ CGH=∠ DGH=90°$，$∠ EHG=∠ FHG = 90°$，
∴$∠ EHG+∠ CGH=180°$，
∴$CD// EF$。综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行。
解析
【分析】
解题时需结合折叠的性质和平行线的判定定理，分别对两个纸带分析：
1. 分析纸带①：先利用对顶角相等得到∠AMB的度数，再通过三角形内角和算出∠MBA的度数，结合折叠性质得到∠ABN的度数，对比∠2和∠ABN是否相等，根据内错角相等两直线平行判断边线是否平行；
2. 分析纸带②：根据折叠后对应边重合得到两组角分别相等，结合平角为180°算出∠CGH和∠EHG的度数，判断同旁内角是否互补，进而判定边线是否平行。
【解析】
分析纸带①：
∵∠1=59°，∠1与∠AMB是对顶角，
∴∠AMB=59°，
又
∵∠2=59°，△AMB内角和为180°，
∴∠MBA=180°-59°-59°=62°，
由折叠的性质得∠ABN=∠MBA=62°，
∵∠2=59°≠∠ABN=62°，内错角不相等，
∴纸带①的上下边线不平行。
分析纸带②：
由折叠的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，
∵点C、G、D共线，点E、H、F共线，
∴∠CGH+∠DGH=180°，∠EHG+∠FHG=180°，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，同旁内角互补，
∴CD//EF，即纸带②的上下边线平行。
综上，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，平行线的判定，对顶角相等
【点评】
本题结合实践操作场景，将折叠的性质与平行线的判定相结合，需要通过角度计算推导角的数量关系，进而判断直线的位置关系，能较好地考查几何推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时需结合折叠的性质和平行线的判定定理，分别对两个纸带分析：
1. 分析纸带①：先利用对顶角相等得到∠AMB的度数，再通过三角形内角和算出∠MBA的度数，结合折叠性质得到∠ABN的度数，对比∠2和∠ABN是否相等，根据内错角相等两直线平行判断边线是否平行；
2. 分析纸带②：根据折叠后对应边重合得到两组角分别相等，结合平角为180°算出∠CGH和∠EHG的度数，判断同旁内角是否互补，进而判定边线是否平行。
【解析】
分析纸带①：
∵∠1=59°，∠1与∠AMB是对顶角，
∴∠AMB=59°，
又
∵∠2=59°，△AMB内角和为180°，
∴∠MBA=180°-59°-59°=62°，
由折叠的性质得∠ABN=∠MBA=62°，
∵∠2=59°≠∠ABN=62°，内错角不相等，
∴纸带①的上下边线不平行。
分析纸带②：
由折叠的性质得∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，
∵点C、G、D共线，点E、H、F共线，
∴∠CGH+∠DGH=180°，∠EHG+∠FHG=180°，
∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，
∴∠CGH+∠EHG=180°，同旁内角互补，
∴CD//EF，即纸带②的上下边线平行。
综上，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，平行线的判定，对顶角相等
【点评】
本题结合实践操作场景，将折叠的性质与平行线的判定相结合，需要通过角度计算推导角的数量关系，进而判断直线的位置关系，能较好地考查几何推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
8. ★★ 新考法逆向思维法 如图，O为$△ ABC$内部一点，$OB=3$，$P$，$R$分别为点$O$关于直线$AB$，$BC$的对称点.
(1)请指出当$∠ ABC$的度数为多少时，会使得$PR$的长度等于$6$，并说明理由；
(2)根据第(1)问，请判断当$∠ ABC$不是你指出的角度时，$PR$的长度是小于$6$还是大于$6$，并说明理由.
(1)请指出当$∠ ABC$的度数为多少时，会使得$PR$的长度等于$6$，并说明理由；
(2)根据第(1)问，请判断当$∠ ABC$不是你指出的角度时，$PR$的长度是小于$6$还是大于$6$，并说明理由.
答案
(1)当$∠ ABC=90°$时，$PR=6$。
理由：如图，连接OP，OR，PB，RB。
∵P，R分别为点O关于直线AB，BC的对称点，
∴$PB=OB=3$，$RB=OB=3$，
$∠ ABP=∠ ABO$，$∠ CBR=∠ CBO$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABP+∠ CBR=∠ ABO+∠ CBO=∠ ABC=90°$，
∴$∠ PBR=180°$，
∴点P，B，R共线，
∴$PR=PB+RB=6$。
(2)$PR$的长度小于6。
理由：
∵$∠ ABC≠90°$，
∴点P，B，R不在同一条直线上，
∴$PR＜PB+BR$。
∵$PB+BR=3+3=6$，
∴$PR＜6$。
解析
【分析】
本题结合轴对称性质与三角形三边关系求解，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先回忆轴对称的性质，对称点到对称轴上对应点的距离相等、对应角相等。已知OB=3，若PR=6，结合对称性质可推得PB=RB=OB=3，要使两段和为6，需P、B、R三点共线，即∠PBR=180°，再通过角的等量代换即可推出∠ABC的度数。
2. 第(2)问：若∠ABC≠90°，则P、B、R三点不共线，构成三角形，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”即可判断PR与6的大小关系。
【解析】
(1) 当$∠ ABC=90°$时，$PR=6$，理由如下：
连接$OP$，$OR$，$PB$，$RB$。
∵$P$，$R$分别为点$O$关于直线$AB$，$BC$的对称点，
∴$PB=OB=3$，$RB=OB=3$，$∠ ABP=∠ ABO$，$∠ CBR=∠ CBO$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABP+∠ CBR=∠ ABO+∠ CBO=∠ ABC=90°$，
∴$∠ PBR=∠ ABP+∠ ABC+∠ CBR=180°$，
∴点$P$，$B$，$R$共线，
∴$PR=PB+RB=3+3=6$。
(2) $PR$的长度小于6，理由如下：
当$∠ ABC\ne90°$时，点$P$，$B$，$R$不在同一条直线上，三点构成$△ PBR$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$PR＜PB+BR$。
∵$PB+BR=3+3=6$，
∴$PR＜6$。
【答案】
(1)当$∠ ABC=90°$时，$PR=6$，理由见解析；
(2)$PR$的长度小于6，理由见解析。
【知识点】
轴对称的性质、三角形三边关系、平角的定义
【点评】
本题采用逆向思维的考法，从结论倒推所需条件，既考查了轴对称的基本性质，又结合了三角形三边关系的应用，有助于提升几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.7
本题结合轴对称性质与三角形三边关系求解，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先回忆轴对称的性质，对称点到对称轴上对应点的距离相等、对应角相等。已知OB=3，若PR=6，结合对称性质可推得PB=RB=OB=3，要使两段和为6，需P、B、R三点共线，即∠PBR=180°，再通过角的等量代换即可推出∠ABC的度数。
2. 第(2)问：若∠ABC≠90°，则P、B、R三点不共线，构成三角形，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”即可判断PR与6的大小关系。
【解析】
(1) 当$∠ ABC=90°$时，$PR=6$，理由如下：
连接$OP$，$OR$，$PB$，$RB$。
∵$P$，$R$分别为点$O$关于直线$AB$，$BC$的对称点，
∴$PB=OB=3$，$RB=OB=3$，$∠ ABP=∠ ABO$，$∠ CBR=∠ CBO$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABP+∠ CBR=∠ ABO+∠ CBO=∠ ABC=90°$，
∴$∠ PBR=∠ ABP+∠ ABC+∠ CBR=180°$，
∴点$P$，$B$，$R$共线，
∴$PR=PB+RB=3+3=6$。
(2) $PR$的长度小于6，理由如下：
当$∠ ABC\ne90°$时，点$P$，$B$，$R$不在同一条直线上，三点构成$△ PBR$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$PR＜PB+BR$。
∵$PB+BR=3+3=6$，
∴$PR＜6$。
【答案】
(1)当$∠ ABC=90°$时，$PR=6$，理由见解析；
(2)$PR$的长度小于6，理由见解析。
【知识点】
轴对称的性质、三角形三边关系、平角的定义
【点评】
本题采用逆向思维的考法，从结论倒推所需条件，既考查了轴对称的基本性质，又结合了三角形三边关系的应用，有助于提升几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.7
