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11. 如图，$△ ABC$的内部有一点$P$，且$D$，$E$，$F$是点$P$分别以直线$AB$，$BC$，$AC$为对称轴的对称点，则$∠ ADB+∠ BEC+∠ CFA=$
（第11题）
360°
.（第11题）答案
11.360° 【点拨】连接AP,PB,PC.
∵D,E,F是点P分别以直线AB,BC,AC为对称轴的对称点,
∴∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC,
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°.
∵D,E,F是点P分别以直线AB,BC,AC为对称轴的对称点,
∴∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC,
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°.
解析
【分析】
遇到轴对称相关的角度求和问题，首先考虑利用轴对称的性质转化角度。本题中要求三个分散角的和，可先连接AP、PB、PC，借助轴对称的性质，将∠ADB、∠BEC、∠CFA分别转化为点P处的∠APB、∠BPC、∠APC，这三个角共同组成周角，直接求和即可得到结果。
【解析】
解：连接AP、PB、PC。
∵D，E，F是点P分别以直线AB，BC，AC为对称轴的对称点，
根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应角相等，可得：
∠ADB=∠APB，∠BEC=∠BPC，∠CFA=∠APC，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC，
又
∵∠APB+∠BPC+∠APC是围绕点P的周角，和为360°，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=360°。
【答案】
360°
【知识点】
轴对称的性质；周角的定义；角的和差计算
【点评】
本题解题核心是利用轴对称的性质将分散的未知角转化为同一点处的角，结合周角的特征求解，体现了转化的数学思想，解题时要注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.7
遇到轴对称相关的角度求和问题，首先考虑利用轴对称的性质转化角度。本题中要求三个分散角的和，可先连接AP、PB、PC，借助轴对称的性质，将∠ADB、∠BEC、∠CFA分别转化为点P处的∠APB、∠BPC、∠APC，这三个角共同组成周角，直接求和即可得到结果。
【解析】
解：连接AP、PB、PC。
∵D，E，F是点P分别以直线AB，BC，AC为对称轴的对称点，
根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应角相等，可得：
∠ADB=∠APB，∠BEC=∠BPC，∠CFA=∠APC，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC，
又
∵∠APB+∠BPC+∠APC是围绕点P的周角，和为360°，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=360°。
【答案】
360°
【知识点】
轴对称的性质；周角的定义；角的和差计算
【点评】
本题解题核心是利用轴对称的性质将分散的未知角转化为同一点处的角，结合周角的特征求解，体现了转化的数学思想，解题时要注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.7
12. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，则这个最小值为
6
。答案
12.6 【点拨】连接BP.
∵点B与点D关于直线AC对称,
∴PB=PD.
∴PD+PE=PB+PE≥BE.
∴PD+PE的最小值即为BE的长.
∵四边形ABCD是边长为6的正方形,
∴AB=6.
∵△ABE为等边三角形,
∴BE=AB=6.
∴PD+PE的最小值为6.
点方法 求两条线段和的最小值时,可以利用轴对称的性质,将其中一条线段转化到该直线的另一侧,利用两点之间线段最短或垂线段最短求两条线段和的最小值.
∵点B与点D关于直线AC对称,
∴PB=PD.
∴PD+PE=PB+PE≥BE.
∴PD+PE的最小值即为BE的长.
∵四边形ABCD是边长为6的正方形,
∴AB=6.
∵△ABE为等边三角形,
∴BE=AB=6.
∴PD+PE的最小值为6.
点方法 求两条线段和的最小值时,可以利用轴对称的性质,将其中一条线段转化到该直线的另一侧,利用两点之间线段最短或垂线段最短求两条线段和的最小值.
解析
【分析】
遇到求两条线段和的最小值问题，可按照轴对称最短路径（将军饮马）模型的思路求解：第一步找其中一个定点关于动点所在直线的对称点，将两条待求线段转化到动点所在直线的同侧；第二步利用“两点之间线段最短”确定线段和取最小值时动点的位置，此时最小值为两个定点之间的距离；第三步结合已知图形的性质计算对应长度。本题中动点P在AC上，首先根据正方形的性质可得点D关于AC的对称点是点B，因此可将PD转化为PB，PD+PE就转化为PB+PE，最小值就是BE的长度，再结合等边三角形的性质求BE即可。
【解析】
解：连接BP，
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC是正方形的一条对称轴，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴PB=PD，
∴PD+PE=PB+PE，
根据“两点之间线段最短”可得PB+PE≥BE，即PD+PE的最小值为BE的长度，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=6，
又
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，
因此PD+PE的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型应用，解题核心是利用正方形的轴对称性完成线段的转化，再结合等边三角形的性质直接得到最短长度，能够锻炼学生几何最值问题的转化思维。
【难度系数】
0.6
遇到求两条线段和的最小值问题，可按照轴对称最短路径（将军饮马）模型的思路求解：第一步找其中一个定点关于动点所在直线的对称点，将两条待求线段转化到动点所在直线的同侧；第二步利用“两点之间线段最短”确定线段和取最小值时动点的位置，此时最小值为两个定点之间的距离；第三步结合已知图形的性质计算对应长度。本题中动点P在AC上，首先根据正方形的性质可得点D关于AC的对称点是点B，因此可将PD转化为PB，PD+PE就转化为PB+PE，最小值就是BE的长度，再结合等边三角形的性质求BE即可。
【解析】
解：连接BP，
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC是正方形的一条对称轴，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴PB=PD，
∴PD+PE=PB+PE，
根据“两点之间线段最短”可得PB+PE≥BE，即PD+PE的最小值为BE的长度，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=6，
又
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，
因此PD+PE的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型应用，解题核心是利用正方形的轴对称性完成线段的转化，再结合等边三角形的性质直接得到最短长度，能够锻炼学生几何最值问题的转化思维。
【难度系数】
0.6
13. ★★ 新考法翻折法 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在点A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠FEH=12°，则∠AEF=
116°
。答案
13.116° 【点拨】根据折叠的性质可得∠AEF=∠A'EF，∠A'EG=∠HEG. 设∠AEF = ∠A' EF = x°, 则∠A'EH=∠A'EF−∠FEH=(x−12)°,
∴∠A'EG=∠HEG = 1/2 ∠A'EH = ((x−12)/2)°. 由∠AEF + ∠FEH + ∠HEG=180°,可得x+12+(x−12)/2=180,解得x=116,即∠AEF=116°.
∴∠A'EG=∠HEG = 1/2 ∠A'EH = ((x−12)/2)°. 由∠AEF + ∠FEH + ∠HEG=180°,可得x+12+(x−12)/2=180,解得x=116,即∠AEF=116°.
解析
【分析】
本题是折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质梳理各角的数量关系，再结合平角为180°的性质列方程求解。思考步骤：1.先明确两次折叠对应的相等角：第一次沿EF折叠，可得∠AEF=∠A'EF；第二次沿AD折叠∠A'到∠H，可得∠A'EG=∠HEG。2.设∠AEF为未知数，用未知数表示出平角AD上的所有角，根据平角和为180°列方程求解即可。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$∠ AEF = ∠ A'EF$，$∠ A'EG = ∠ HEG$
设$∠ AEF = ∠ A'EF = x°$，
已知$∠ FEH=12°$，则$∠ A'EH = ∠ A'EF - ∠ FEH = (x - 12)°$，
$\therefore ∠ A'EG = ∠ HEG = \frac{1}{2}∠ A'EH = \frac{x-12}{2}°$
∵点E在AD边上，根据平角的定义可得$∠ AEF + ∠ FEH + ∠ HEG = 180°$
代入角度表达式得：
$x + 12 + \frac{x-12}{2} = 180$
去分母得：$2x + 24 + x - 12 = 360$
合并同类项得：$3x + 12 = 360$
解得：$x=116$
【答案】
$116°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于折叠类常规几何计算题，将几何图形的折叠性质和代数方程思想结合考查，解题关键是准确对应两次折叠产生的相等角，理清各角的和差关系，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.6
本题是折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质梳理各角的数量关系，再结合平角为180°的性质列方程求解。思考步骤：1.先明确两次折叠对应的相等角：第一次沿EF折叠，可得∠AEF=∠A'EF；第二次沿AD折叠∠A'到∠H，可得∠A'EG=∠HEG。2.设∠AEF为未知数，用未知数表示出平角AD上的所有角，根据平角和为180°列方程求解即可。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$∠ AEF = ∠ A'EF$，$∠ A'EG = ∠ HEG$
设$∠ AEF = ∠ A'EF = x°$，
已知$∠ FEH=12°$，则$∠ A'EH = ∠ A'EF - ∠ FEH = (x - 12)°$，
$\therefore ∠ A'EG = ∠ HEG = \frac{1}{2}∠ A'EH = \frac{x-12}{2}°$
∵点E在AD边上，根据平角的定义可得$∠ AEF + ∠ FEH + ∠ HEG = 180°$
代入角度表达式得：
$x + 12 + \frac{x-12}{2} = 180$
去分母得：$2x + 24 + x - 12 = 360$
合并同类项得：$3x + 12 = 360$
解得：$x=116$
【答案】
$116°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于折叠类常规几何计算题，将几何图形的折叠性质和代数方程思想结合考查，解题关键是准确对应两次折叠产生的相等角，理清各角的和差关系，避免角度关系混淆。
【难度系数】
0.6
14. 如图,点 P 在∠AOB 的内部,点 M,N 分别是点 P 关于直线 OA,OB 的对称点,线段 MN 分别交 OA,OB 于点 E,F.
(1)若 MN=20 cm,求△PEF 的周长;
(2)若∠AOB=35°,求∠EPF 的度数.
(3)连接 OM,ON,OP,若∠AOB=45°,OP=18 cm,求△OMN 的面积.
(1)若 MN=20 cm,求△PEF 的周长;
(2)若∠AOB=35°,求∠EPF 的度数.
(3)连接 OM,ON,OP,若∠AOB=45°,OP=18 cm,求△OMN 的面积.
答案
14.【解】(1)设MP与OA相交于点R,PN与OB相交于点T.
∵点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,
∴易证△MER≌△PER,△NFT≌△PFT,
∴ME=PE,NF=PF.
∴PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN=20 cm,即△PEF的周长是20 cm.
(2)由(1)易知∠M=∠EPM,∠N=∠FPN.
∴∠PEF=2∠M,∠PFE=2∠N.
由题知∠PRE=∠PTF=90°,
∴在四边形OTPR中,∠MPN+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠M+∠N=180°,
∴∠M+∠N=∠AOB=35°.
∴∠EPF = 180°−(∠PEF + ∠PFE) = 180°−2(∠M+∠N)=180°−35°×2=110°.
(3)由轴对称的性质可知∠MON=2∠AOB=90°,OM=ON=OP=18 cm,
∴S△OMN = 1/2 OM·ON=162 cm².
∵点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,
∴易证△MER≌△PER,△NFT≌△PFT,
∴ME=PE,NF=PF.
∴PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN=20 cm,即△PEF的周长是20 cm.
(2)由(1)易知∠M=∠EPM,∠N=∠FPN.
∴∠PEF=2∠M,∠PFE=2∠N.
由题知∠PRE=∠PTF=90°,
∴在四边形OTPR中,∠MPN+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠M+∠N=180°,
∴∠M+∠N=∠AOB=35°.
∴∠EPF = 180°−(∠PEF + ∠PFE) = 180°−2(∠M+∠N)=180°−35°×2=110°.
(3)由轴对称的性质可知∠MON=2∠AOB=90°,OM=ON=OP=18 cm,
∴S△OMN = 1/2 OM·ON=162 cm².
解析
【分析】
(1) 要求△PEF的周长，已知MN的长度，结合点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称性质可得对应线段ME=PE、NF=PF，即可将△PEF的周长转化为MN的长度求解。
(2) 要求∠EPF的度数，先由轴对称性质得到等边对等角，即∠M=∠EPM、∠N=∠FPN，再结合四边形内角和得到∠MPN与∠AOB的关系，结合三角形内角和推导得到∠M+∠N=∠AOB，最后利用三角形内角和即可求出∠EPF的度数。
(3) 要求△OMN的面积，根据轴对称性质可得OM=ON=OP，且∠MON=2∠AOB，已知∠AOB=45°可判断△OMN是等腰直角三角形，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T。
∵点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，
∴△MER≌△PER，△NFT≌△PFT，
∴ME=PE，NF=PF。
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN，
∵MN=20 cm，
∴△PEF的周长是20 cm。
(2) 由(1)可知∠M=∠EPM，∠N=∠FPN，
∴∠PEF=∠M+∠EPM=2∠M，∠PFE=∠N+∠FPN=2∠N。
由轴对称性质可知∠PRE=∠PTF=90°，
在四边形OTPR中，内角和为360°，
∴∠MPN+∠AOB+∠PRE+∠PTF=360°，即∠MPN+∠AOB=180°，
在△MPN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，
∴∠M+∠N=∠AOB=35°，
在△PEF中，∠EPF = 180°−(∠PEF + ∠PFE) = 180°−2(∠M+∠N)=180°−35°×2=110°。
(3) 由轴对称的性质可知：OM=OP，ON=OP，∠MOA=∠AOP，∠BON=∠BOP，
∴OM=ON=OP=18 cm，
∠MON=∠MOA+∠AOP+∠BOP+∠BON=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠MON=2×45°=90°，即△OMN是等腰直角三角形，
∴$S_{△ OMN} = \frac{1}{2} OM·ON = \frac{1}{2}×18×18 = 162\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{20\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{110°}$；(3) $\boxed{162\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
轴对称的性质；三角形内角和定理；三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称性质的综合应用题，解题核心是利用轴对称的性质实现线段、角度的等量转化，将待求量转化为与已知条件关联的量进行求解，是轴对称应用的经典题型，需要熟练掌握性质并灵活运用转化思想。
【难度系数】
0.6
(1) 要求△PEF的周长，已知MN的长度，结合点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称性质可得对应线段ME=PE、NF=PF，即可将△PEF的周长转化为MN的长度求解。
(2) 要求∠EPF的度数，先由轴对称性质得到等边对等角，即∠M=∠EPM、∠N=∠FPN，再结合四边形内角和得到∠MPN与∠AOB的关系，结合三角形内角和推导得到∠M+∠N=∠AOB，最后利用三角形内角和即可求出∠EPF的度数。
(3) 要求△OMN的面积，根据轴对称性质可得OM=ON=OP，且∠MON=2∠AOB，已知∠AOB=45°可判断△OMN是等腰直角三角形，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T。
∵点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，
∴△MER≌△PER，△NFT≌△PFT，
∴ME=PE，NF=PF。
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN，
∵MN=20 cm，
∴△PEF的周长是20 cm。
(2) 由(1)可知∠M=∠EPM，∠N=∠FPN，
∴∠PEF=∠M+∠EPM=2∠M，∠PFE=∠N+∠FPN=2∠N。
由轴对称性质可知∠PRE=∠PTF=90°，
在四边形OTPR中，内角和为360°，
∴∠MPN+∠AOB+∠PRE+∠PTF=360°，即∠MPN+∠AOB=180°，
在△MPN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，
∴∠M+∠N=∠AOB=35°，
在△PEF中，∠EPF = 180°−(∠PEF + ∠PFE) = 180°−2(∠M+∠N)=180°−35°×2=110°。
(3) 由轴对称的性质可知：OM=OP，ON=OP，∠MOA=∠AOP，∠BON=∠BOP，
∴OM=ON=OP=18 cm，
∠MON=∠MOA+∠AOP+∠BOP+∠BON=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠MON=2×45°=90°，即△OMN是等腰直角三角形，
∴$S_{△ OMN} = \frac{1}{2} OM·ON = \frac{1}{2}×18×18 = 162\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{20\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{110°}$；(3) $\boxed{162\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
轴对称的性质；三角形内角和定理；三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称性质的综合应用题，解题核心是利用轴对称的性质实现线段、角度的等量转化，将待求量转化为与已知条件关联的量进行求解，是轴对称应用的经典题型，需要熟练掌握性质并灵活运用转化思想。
【难度系数】
0.6
15. ★★★ 新考法新定义阅读法 如图①，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称.
(1)如图①，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB=45°，则∠AOM=
(2)如图②，∠AOB=45°，OP在∠AOB内部，若OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(3)如图③，∠AOB=45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，若OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(4)如图④，∠AOB=45°，若OP，OP₁关于∠AOB的OB边对称，∠AOP₁=4∠BOP₁，求∠AOP的度数.(直接写出答案)
(1)如图①，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB=45°，则∠AOM=
22.5°
；(2)如图②，∠AOB=45°，OP在∠AOB内部，若OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(3)如图③，∠AOB=45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，若OP，OP₁关于OB对称，OP，OP₂关于OA对称，求∠P₁OP₂的度数；
(4)如图④，∠AOB=45°，若OP，OP₁关于∠AOB的OB边对称，∠AOP₁=4∠BOP₁，求∠AOP的度数.(直接写出答案)
答案
15.【解】(1)22.5°
(2)如图①
.∵OP 和 OP₁ 关于 OB 对称,
∴∠POP₁=2∠BOP.
∵OP 和 OP₂ 关于 OA 对称,
∴∠POP₂=2∠AOP.
∵∠P₁OP₂=∠POP₁+∠POP₂,
∴∠P₁OP₂=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°.
(3)如图②
.∵OP 和 OP₁ 关于 OB 对称,
∴∠POP₁=2∠BOP.
∵OP 和 OP₂ 关于 OA 对称,
∴∠POP₂=2∠AOP.
∵∠P₁OP₂=∠POP₁−∠POP₂,
∴∠P₁OP₂=2∠BOP−2∠AOP=2∠AOB=90°.
(4)∠AOP=30°或54°. 【点拨】①当OP在∠AOB内部时,如图③
.∵OP,OP₁关于OB对称,
∴∠BOP=∠BOP₁.
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,
∴∠AOB=∠AOP₁−∠BOP₁=3∠BOP₁=45°.
∴∠BOP₁=15°.
∴∠BOP=∠BOP₁=15°.
∴∠AOP=∠AOB−∠BOP=30°.②当OP在∠AOB外部时,
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,
∴射线OP在射线OB的上面,如图④
.∵OP,OP₁关于OB对称,
∴∠BOP=∠BOP₁.
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,
∴∠AOB=∠BOP₁+∠AOP₁=5∠BOP₁=45°.
∴∠BOP₁=9°.
∴∠BOP=∠BOP₁=9°.
∴∠AOP=45°+9°=54°.综上所述,∠AOP=30°或54°.
解析
【分析】
(1)根据题中给出的新定义，射线OB、OA关于OM对称说明OM是∠AOB的角平分线，利用角平分线平分对应角的性质，直接计算∠AOM的度数即可。
(2)利用轴对称的性质：关于某条射线对称的两条射线与该射线的夹角相等，可推出∠POP₁=2∠BOP、∠POP₂=2∠AOP，结合图形可知∠P₁OP₂为上述两个角的和，整理后可转化为2倍的∠AOB，代入数值计算即可。
(3)依旧根据轴对称性质得到∠POP₁=2∠BOP、∠POP₂=2∠AOP，此时OP在∠AOB外部，观察图形可知∠P₁OP₂为上述两个角的差，整理后仍为2倍的∠AOB，代入数值计算即可。
(4)需要分两种情况讨论：①OP在∠AOB内部；②OP在∠AOB外部。两种情况均先根据轴对称性质得∠BOP=∠BOP₁，再结合∠AOP₁=4∠BOP₁、∠AOB=45°的条件求出∠BOP₁的度数，最终计算得到∠AOP的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵射线OB，OA关于OM对称，
∴OM平分∠AOB，
∴$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
(2)如图①
∵OP 和 $OP_1$ 关于 OB 对称，
∴$∠ POP_1=2∠ BOP$，
∵OP 和 $OP_2$ 关于 OA 对称，
∴$∠ POP_2=2∠ AOP$，
∵$∠ P_1OP_2=∠ POP_1+∠ POP_2$，
∴$∠ P_1OP_2=2∠ BOP+2∠ AOP=2(∠ BOP+∠ AOP)=2∠ AOB=2×45°=90°$。
(3)如图②
∵OP 和 $OP_1$ 关于 OB 对称，
∴$∠ POP_1=2∠ BOP$，
∵OP 和 $OP_2$ 关于 OA 对称，
∴$∠ POP_2=2∠ AOP$，
∵$∠ P_1OP_2=∠ POP_1-∠ POP_2$，
∴$∠ P_1OP_2=2∠ BOP-2∠ AOP=2(∠ BOP-∠ AOP)=2∠ AOB=2×45°=90°$。
(4)分两种情况讨论：
①当OP在∠AOB内部时，如图③
∵OP，$OP_1$关于OB对称，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1$，
∵$∠ AOP_1=4∠ BOP_1$，
∴$∠ AOB=∠ AOP_1-∠ BOP_1=3∠ BOP_1=45°$，
解得$∠ BOP_1=15°$，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1=15°$，
∴$∠ AOP=∠ AOB-∠ BOP=45°-15°=30°$。
②当OP在∠AOB外部时，如图④
∵OP，$OP_1$关于OB对称，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1$，
∵$∠ AOP_1=4∠ BOP_1$，
∴$∠ AOB=∠ BOP_1+∠ AOP_1=5∠ BOP_1=45°$，
解得$∠ BOP_1=9°$，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1=9°$，
∴$∠ AOP=45°+9°=54°$。
综上所述，$∠ AOP=30°$或$54°$。
【答案】
(1)$22.5°$
(2)$∠ P_1OP_2=90°$
(3)$∠ P_1OP_2=90°$
(4)$∠ AOP=30°$或$54°$
【知识点】
角平分线的定义、轴对称的性质、角度和差计算
【点评】
本题属于新定义类几何题，结合轴对称性质考查角度计算，解题的核心是准确理解新定义，掌握轴对称对应角相等的性质。第(4)问需要结合射线OP的位置分类讨论，能有效锻炼思维的严谨性和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.6
(1)根据题中给出的新定义，射线OB、OA关于OM对称说明OM是∠AOB的角平分线，利用角平分线平分对应角的性质，直接计算∠AOM的度数即可。
(2)利用轴对称的性质：关于某条射线对称的两条射线与该射线的夹角相等，可推出∠POP₁=2∠BOP、∠POP₂=2∠AOP，结合图形可知∠P₁OP₂为上述两个角的和，整理后可转化为2倍的∠AOB，代入数值计算即可。
(3)依旧根据轴对称性质得到∠POP₁=2∠BOP、∠POP₂=2∠AOP，此时OP在∠AOB外部，观察图形可知∠P₁OP₂为上述两个角的差，整理后仍为2倍的∠AOB，代入数值计算即可。
(4)需要分两种情况讨论：①OP在∠AOB内部；②OP在∠AOB外部。两种情况均先根据轴对称性质得∠BOP=∠BOP₁，再结合∠AOP₁=4∠BOP₁、∠AOB=45°的条件求出∠BOP₁的度数，最终计算得到∠AOP的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵射线OB，OA关于OM对称，
∴OM平分∠AOB，
∴$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
(2)如图①
∵OP 和 $OP_1$ 关于 OB 对称，
∴$∠ POP_1=2∠ BOP$，
∵OP 和 $OP_2$ 关于 OA 对称，
∴$∠ POP_2=2∠ AOP$，
∵$∠ P_1OP_2=∠ POP_1+∠ POP_2$，
∴$∠ P_1OP_2=2∠ BOP+2∠ AOP=2(∠ BOP+∠ AOP)=2∠ AOB=2×45°=90°$。
(3)如图②
∵OP 和 $OP_1$ 关于 OB 对称，
∴$∠ POP_1=2∠ BOP$，
∵OP 和 $OP_2$ 关于 OA 对称，
∴$∠ POP_2=2∠ AOP$，
∵$∠ P_1OP_2=∠ POP_1-∠ POP_2$，
∴$∠ P_1OP_2=2∠ BOP-2∠ AOP=2(∠ BOP-∠ AOP)=2∠ AOB=2×45°=90°$。
(4)分两种情况讨论：
①当OP在∠AOB内部时，如图③
∵OP，$OP_1$关于OB对称，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1$，
∵$∠ AOP_1=4∠ BOP_1$，
∴$∠ AOB=∠ AOP_1-∠ BOP_1=3∠ BOP_1=45°$，
解得$∠ BOP_1=15°$，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1=15°$，
∴$∠ AOP=∠ AOB-∠ BOP=45°-15°=30°$。
②当OP在∠AOB外部时，如图④
∵OP，$OP_1$关于OB对称，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1$，
∵$∠ AOP_1=4∠ BOP_1$，
∴$∠ AOB=∠ BOP_1+∠ AOP_1=5∠ BOP_1=45°$，
解得$∠ BOP_1=9°$，
∴$∠ BOP=∠ BOP_1=9°$，
∴$∠ AOP=45°+9°=54°$。
综上所述，$∠ AOP=30°$或$54°$。
【答案】
(1)$22.5°$
(2)$∠ P_1OP_2=90°$
(3)$∠ P_1OP_2=90°$
(4)$∠ AOP=30°$或$54°$
【知识点】
角平分线的定义、轴对称的性质、角度和差计算
【点评】
本题属于新定义类几何题，结合轴对称性质考查角度计算，解题的核心是准确理解新定义，掌握轴对称对应角相等的性质。第(4)问需要结合射线OP的位置分类讨论，能有效锻炼思维的严谨性和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.6
