19.如图，在$□ ABCD$中，$BD$是它的一条对角线，过$A,C$两点作$AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，垂足分别为$E,F$，延长$AE$，$CF$分别交$CD$，$AB$于点$M$，$N$。
(1)求证:四边形$CMAN$是平行四边形；
(2)已知$DE=4$，$FN=3$，求$BN$的长。

19.(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴$CD// AB$.
∵$AM⊥ BD$,$CN⊥ BD$,
∴$AM// CN$.
∴$CM// AN$,$AM// CN$.
∴四边形 AMCN 是平行四边形.
(2)解:
∵ 四边形 AMCN 是平行四边形,
∴$CM=AN$.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴$CD=AB$,$CD// AB$.
∴$DM=BN$,$∠ MDE=∠ NBF$.
在$△ MDE$和$△ NBF$中,
$\begin{cases}∠ MDE=∠ NBF,\\∠ DEM=∠ NFB=90°,\\DM=BN,\end{cases}$
∴$△ MDE≌△ NBF(\mathrm{AAS})$.
∴$ME=NF=3$.
在$\mathrm{Rt}△ DME$中,
∵$∠ DEM=90°$,$DE=4$,$ME=3$,
∴$DM=\sqrt{DE^2+ME^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∴$BN=DM=5$.

【分析】
(1) 要证四边形CMAN是平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先由平行四边形ABCD的性质得CD//AB，即CM//AN；再由AE、CF都垂直于BD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得AM//CN，两组对边分别平行即可得证。
(2) 求BN的长时，首先结合平行四边形的性质可推导出DM=BN，将求BN转化为求DM的长；再通过角角边证明△MDE和△NBF全等，得到ME=FN=3，最后在Rt△DME中用勾股定理计算DM的长度，即可得到BN的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $CD// AB$。
∵ $AM⊥ BD$，$CN⊥ BD$，
∴ $AM// CN$。
∴ $CM// AN$，$AM// CN$，
∴ 四边形AMCN是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AMCN是平行四边形，
∴ $CM=AN$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $CD=AB$，$CD// AB$，
∴ $CD-CM=AB-AN$，即$DM=BN$，且$∠MDE=∠NBF$。
在$△MDE$和$△NBF$中，
$\begin{cases}∠MDE=∠NBF,\\∠DEM=∠NFB=90°,\\DM=BN,\end{cases}$
∴ $△MDE≌△NBF(\mathrm{AAS})$，
∴ $ME=NF=3$。
在$\mathrm{Rt}△DME$中，$∠DEM=90°$，$DE=4$，$ME=3$，
由勾股定理得$DM=\sqrt{DE^2+ME^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $BN=DM=5$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形CMAN是平行四边形；
(2) $BN=5$

【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用平行四边形的性质推导边、角的等量关系，结合全等三角形和勾股定理求解线段长度，侧重考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7