20.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,CE//AD且CE=AD.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若△ABC是边长为4的等边三角形,AC,DE相交于点O,在CE上截取CF=CO,连接OF,求线段FC的长及四边形AOFE的面积.

20.(1)证明:
∵$CE// AD$ 且 $CE=AD$,
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
∵在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$ 平分$∠ BAC$,
∴$AD⊥ BC$(等腰三角形三线合一性质).
∴$∠ ADC=90°$.
∴四边形 ADCE 是矩形.
(2)解:
∵$△ ABC$ 是等边三角形,边长为 4,
∴$AC=4$,$∠ DAC=30°$.
∴$∠ ACE=30°$,$AE=2$,$CE=2\sqrt{3}$.
∵四边形 ADCE 为矩形,
∴$OC=OA=2$.
∵$CF=CO$,
∴$CF=2$.
过点 O 作 $OH⊥ CE$ 于点 H,
∴$OH=\dfrac{1}{2}OC=1$,
∴$S_{\mathrm{四边形}AOFE}=S_{△ AEC}-S_{△ COF}$
$=\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}×2×1=2\sqrt{3}-1$.

【分析】
(1) 证明四边形ADCE是矩形可按“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先由CE与AD平行且相等，可直接判定四边形ADCE是平行四边形；再结合等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADC=90°，即可判定该平行四边形是矩形。
(2) 先利用等边三角形的性质得到AC边长和∠DAC的度数，结合平行线性质得∠ACE=30°，再根据矩形对角线互相平分的性质可得OC长度，即可求出FC的长；求四边形AOFE的面积时，采用割补法，用△AEC的面积减去△COF的面积即可，其中△COF的高可通过30°角所对直角边是斜边一半的性质求出。
【解析】
(1) 证明：
∵$CE// AD$ 且 $CE=AD$，
∴四边形ADCE是平行四边形。
∵在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴$AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
∴$∠ ADC=90°$，
∴四边形ADCE是矩形。
(2) 解：
∵$△ ABC$是边长为4的等边三角形，
∴$AC=4$，$∠ BAC=60°$，
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ DAC=30°$，
∵$AD// CE$，
∴$∠ ACE=∠ DAC=30°$，
在$Rt△ ACE$中，$AE=AC·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$，$CE=AC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
∵四边形ADCE是矩形，矩形对角线互相平分，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AC=2$，
∵$CF=CO$，
∴$CF=2$。
过点O作$OH⊥ CE$于点H，
在$Rt△ OHC$中，$∠ OCH=30°$，
∴$OH=\frac{1}{2}OC=1$，
则$S_{四边形AOFE}=S_{△ AEC}-S_{△ COF}$
$=\frac{1}{2}× AE× CE-\frac{1}{2}× CF× OH$
$=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{1}{2}×2×1=2\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 四边形ADCE是矩形，证明成立；
(2) $FC=2$，四边形AOFE的面积为$2\sqrt{3}-1$。

【知识点】
1. 矩形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合特殊三角形和特殊四边形的知识点进行考查，第一问为基础证明题，核心考查矩形的判定逻辑；第二问需要结合特殊三角形的边角性质、矩形的对角线性质，用割补法求解不规则图形面积，能有效检验学生的几何推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65