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21.如图,点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 在直线$y=2x-4$上运动.
(1)若点 B 的坐标是$(1,-2)$,把直线 AB 向上平移 m 个单位,平移后的直线与直线$y=2x-4$的交点在第一象限,求 m 的取值范围;
(2)当线段 AB 最短时,求点 B 的坐标.
(1)若点 B 的坐标是$(1,-2)$,把直线 AB 向上平移 m 个单位,平移后的直线与直线$y=2x-4$的交点在第一象限,求 m 的取值范围;
(2)当线段 AB 最短时,求点 B 的坐标.
答案
21.解:(1)设直线 AB 的解析式为 $y=kx+b$.
∵点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标是$(1,-2)$,
∴$\begin{cases}-k+b=0,\\k+b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$
∴直线 AB 的解析式为 $y=-x-1$.
把直线 AB 向上平移 $m$ 个单位后得 $y=-x+m-1$.
由$\begin{cases}y=-x+m-1,\\y=2x-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{m+3}{3},\\y=\dfrac{2m-6}{3},\end{cases}$
即交点为$(\dfrac{m+3}{3},\dfrac{2m-6}{3})$.
由题意,得$\begin{cases}\dfrac{m+3}{3}＞0,\\\dfrac{2m-6}{3}＞0,\end{cases}$ 解得 $m＞3$.
(2)线段 AB 最短时有 $AB⊥ CD$,设此时直线 AB 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+n$,
将 $A(-1,0)$代入,得 $0=-\dfrac{1}{2}×(-1)+n$,
解得 $n=-\dfrac{1}{2}$.
即直线 AB 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
由$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2},\\y=2x-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{7}{5},\\y=-\dfrac{6}{5},\end{cases}$
所以点 B 的坐标为$(\dfrac{7}{5},-\dfrac{6}{5})$.
∵点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标是$(1,-2)$,
∴$\begin{cases}-k+b=0,\\k+b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$
∴直线 AB 的解析式为 $y=-x-1$.
把直线 AB 向上平移 $m$ 个单位后得 $y=-x+m-1$.
由$\begin{cases}y=-x+m-1,\\y=2x-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{m+3}{3},\\y=\dfrac{2m-6}{3},\end{cases}$
即交点为$(\dfrac{m+3}{3},\dfrac{2m-6}{3})$.
由题意,得$\begin{cases}\dfrac{m+3}{3}＞0,\\\dfrac{2m-6}{3}＞0,\end{cases}$ 解得 $m＞3$.
(2)线段 AB 最短时有 $AB⊥ CD$,设此时直线 AB 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+n$,
将 $A(-1,0)$代入,得 $0=-\dfrac{1}{2}×(-1)+n$,
解得 $n=-\dfrac{1}{2}$.
即直线 AB 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.
由$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2},\\y=2x-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{7}{5},\\y=-\dfrac{6}{5},\end{cases}$
所以点 B 的坐标为$(\dfrac{7}{5},-\dfrac{6}{5})$.
解析
【分析】
(1) 首先利用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式；再根据一次函数“上加下减”的平移规律，写出向上平移m个单位后的直线解析式；接着联立平移后直线与已知直线的方程，求出交点坐标；最后结合第一象限内点的横、纵坐标都大于0的特征，列不等式组求解即可得到m的取值范围。
(2) 根据“垂线段最短”的性质，当AB垂直于直线$y=2x-4$时，线段AB最短；结合互相垂直的一次函数一次项系数乘积为-1，设出此时直线AB的解析式，代入点A坐标求出解析式后，联立直线$y=2x-4$的方程，解方程组即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为 $y=kx+b$。
将$A(-1,0)$、$B(1,-2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}-k+b=0\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$
∴直线AB的解析式为 $y=-x-1$。
根据平移规律，向上平移m个单位后所得直线解析式为 $y=-x+m-1$。
联立平移后的直线与$y=2x-4$，得：
$\begin{cases}y=-x+m-1\\y=2x-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{m+3}{3}\\y=\dfrac{2m-6}{3}\end{cases}$，即两直线交点为$(\dfrac{m+3}{3},\dfrac{2m-6}{3})$。
∵交点在第一象限，
∴：
$\begin{cases}\dfrac{m+3}{3}＞0\\\dfrac{2m-6}{3}＞0\end{cases}$
解不等式组得$m＞3$。
(2) 当$AB⊥$直线$y=2x-4$时，线段AB长度最短。
设此时直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+n$，将$A(-1,0)$代入得：
$0=-\dfrac{1}{2}×(-1)+n$，解得$n=-\dfrac{1}{2}$。
∴直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
联立方程$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\\y=2x-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{7}{5}\\y=-\dfrac{6}{5}\end{cases}$。
【答案】
(1) $m＞3$
(2) $B(\dfrac{7}{5},-\dfrac{6}{5})$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数平移；垂线段最短
【点评】
本题属于一次函数综合常考题，融合了一次函数的代数性质与几何的最短路径结论，解题核心是熟练掌握一次函数解析式求解、平移规则、交点求法，能结合坐标的符号特征或几何性质列式求解。
【难度系数】
0.65
(1) 首先利用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式；再根据一次函数“上加下减”的平移规律，写出向上平移m个单位后的直线解析式；接着联立平移后直线与已知直线的方程，求出交点坐标；最后结合第一象限内点的横、纵坐标都大于0的特征，列不等式组求解即可得到m的取值范围。
(2) 根据“垂线段最短”的性质，当AB垂直于直线$y=2x-4$时，线段AB最短；结合互相垂直的一次函数一次项系数乘积为-1，设出此时直线AB的解析式，代入点A坐标求出解析式后，联立直线$y=2x-4$的方程，解方程组即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为 $y=kx+b$。
将$A(-1,0)$、$B(1,-2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}-k+b=0\\k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$
∴直线AB的解析式为 $y=-x-1$。
根据平移规律，向上平移m个单位后所得直线解析式为 $y=-x+m-1$。
联立平移后的直线与$y=2x-4$，得：
$\begin{cases}y=-x+m-1\\y=2x-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{m+3}{3}\\y=\dfrac{2m-6}{3}\end{cases}$，即两直线交点为$(\dfrac{m+3}{3},\dfrac{2m-6}{3})$。
∵交点在第一象限，
∴：
$\begin{cases}\dfrac{m+3}{3}＞0\\\dfrac{2m-6}{3}＞0\end{cases}$
解不等式组得$m＞3$。
(2) 当$AB⊥$直线$y=2x-4$时，线段AB长度最短。
设此时直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+n$，将$A(-1,0)$代入得：
$0=-\dfrac{1}{2}×(-1)+n$，解得$n=-\dfrac{1}{2}$。
∴直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
联立方程$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\\y=2x-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\dfrac{7}{5}\\y=-\dfrac{6}{5}\end{cases}$。
【答案】
(1) $m＞3$
(2) $B(\dfrac{7}{5},-\dfrac{6}{5})$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数平移；垂线段最短
【点评】
本题属于一次函数综合常考题，融合了一次函数的代数性质与几何的最短路径结论，解题核心是熟练掌握一次函数解析式求解、平移规则、交点求法，能结合坐标的符号特征或几何性质列式求解。
【难度系数】
0.65
