20.在$□ ABCD$中，$∠ DAB$与$∠ DCB$的平分线$AE$，$CF$分别与对角线$BD$交于点$E$，$F$，连接$AF$，$CE$。求证：四边形$AECF$是平行四边形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，$∠ DAB=∠ DCB$，
∴ $∠ ADE=∠ CBF$。
∵ AE平分$∠ DAB$，CF平分$∠ DCB$，
∴ $∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ DCB$，
∴ $∠ DAE=∠ BCF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB \\∠ DAE=∠ BCF\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（ASA），
∴ $AE=CF$，$∠ AED=∠ CFB$，
∴ $AE// CF$。
又∵ $AE=CF$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

【分析】
要证明四边形AECF是平行四边形，可优先选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC相等且平行、∠DAB和∠DCB相等，进而得到内错角∠ADE=∠CBF；再结合角平分线的定义，推出∠DAE=∠BCF，即可证明△ADE和△CBF全等；通过全等得到AE=CF，同时由对应角相等推出AE和CF平行，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，$∠DAB=∠DCB$，
∴ $∠ADE=∠CBF$。
∵ AE平分$∠DAB$，CF平分$∠DCB$，
∴ $∠DAE=\frac{1}{2}∠DAB$，$∠BCF=\frac{1}{2}∠DCB$，
∴ $∠DAE=∠BCF$。
在$△ADE$和$△CBF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠CBF \\AD=CB \\∠DAE=∠BCF\end{array} $
∴ $△ADE ≌ △CBF$（ASA），
∴ $AE=CF$，$∠AED=∠CFB$，
∴ $AE// CF$。
又
∵ $AE=CF$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形AECF是平行四边形
【知识点】
1. 平行四边形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考察平行四边形相关性质和判定的应用，解题时通过结合角平分线定义构造全等三角形，得到边的平行及相等关系即可完成证明，对夯实几何定理的应用能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7

21. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,点$D$在边$AC$上,将射线$BD$绕点$B$逆时针旋转$45°$得到射线$BM$,过点$D$作$DE ⊥ BM$于点$E$,延长$CB$到点$F$,使$BF=AD$,连接$EF$.
(1)依题意,补全图形,判断线段$AE$与$EF$的位置关系与数量关系,并证明;
(2)若$H$为线段$BD$的中点,连接$AH$,请用等式表示线段$AE$与$AH$之间的数量关系,并证明.

21.解:(1)补全图形如答图1,$AE=EF$,且$AE⊥EF$.证明如下:
∵将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM,
过点D作$DE⊥BM$于点E,
∴$△BDE$是等腰直角三角形,
∴$DE=BE$.
设BC与DE相交于点G.
∵$∠DCG=∠BEG=90°$,$∠DGC=∠BGE$,
∴$∠CDG=∠EBG$,
∴$∠ADE=∠FBE$.
又
∵$DE=BE$,$AD=BF$,
∴$△ADE≌△FBE(SAS)$,
∴$AE=EF$,$∠AED=∠FEB$.
∵$∠AED+∠AEB=90°$,
∴$∠FEB+∠AEB=∠AEF=90°$,
∴$AE=EF$,且$AE⊥EF$.
(2)$AE=\sqrt{2}AH$.证明如下:
如答图2,延长AH到点T,使$HT=AH$,与BE交于点I,连接BT,ET,FT,AF.
∵H为线段BD的中点,$HT=AH$,$∠AHD=∠THB$,
∴$△AHD≌△THB(SAS)$,
∴$AD=BT$,$∠CAT=∠BTI$.
∵$∠AIC=∠TIB$,
∴$∠ACI=∠TBI=90°$,
∴$∠TBF=90°$,
∴$BF=AD=BT$.
∵$∠ABT=45°+90°=135°$,$∠ABF=360°-90°-135°=135°$,
∴$∠ABT=∠ABF=135°$.
又
∵$BT=BF$,$AB=AB$,
∴$△ABT≌△ABF(SAS)$,
∴$AT=AF$,
∴$AF=2AH$.
由(1)得$△AEF$是等腰直角三角形,
∴$AF=\sqrt{2}AE$,
∴$AE=\sqrt{2}AH$.

【分析】
(1) 首先按题干要求补全图形，先结合旋转45°和DE⊥BM的条件，可推出△BDE是等腰直角三角形，得到DE=BE；再通过直角、对顶角相等推导角相等，结合已知AD=BF的条件，用SAS证明△ADE与△FBE全等，即可得到AE与EF的数量关系，再通过角的代换推导∠AEF的度数，得到二者的位置关系。
(2) 遇到线段中点可采用倍长中线的辅助线构造全等三角形，延长AH到T使HT=AH，先证明△AHD≌△THB，得到对应边、对应角相等，再证明△ABT≌△ABF，得到AF=2AH，最后结合第一问得到的等腰直角△AEF的边长关系，即可推出AE与AH的数量关系。
【解析】
(1) 补全图形如答图1，$AE=EF$，且$AE⊥EF$，证明如下：
∵将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作$DE⊥BM$于点E，
∴$△BDE$是等腰直角三角形，
∴$DE=BE$。
设BC与DE相交于点G，
∵$∠DCG=∠BEG=90°$，$∠DGC=∠BGE$，
∴$∠CDG=∠EBG$，
∴$∠ADE=∠FBE$。
又
∵$DE=BE$，$AD=BF$，
∴$△ADE≌△FBE(SAS)$，
∴$AE=EF$，$∠AED=∠FEB$。
∵$∠AED+∠AEB=90°$，
∴$∠FEB+∠AEB=∠AEF=90°$，
∴$AE=EF$，且$AE⊥EF$。
(2) 线段$AE$与$AH$的数量关系为$AE=\sqrt{2}AH$，证明如下：
如答图2，延长AH到点T，使$HT=AH$，与BE交于点I，连接BT,ET,FT,AF。
∵H为线段BD的中点，$HT=AH$，$∠AHD=∠THB$，
∴$△AHD≌△THB(SAS)$，
∴$AD=BT$，$∠CAT=∠BTI$。
∵$∠AIC=∠TIB$，
∴$∠ACI=∠TBI=90°$，
∴$∠TBF=90°$，
∴$BF=AD=BT$。
∵$∠ABT=45°+90°=135°$，$∠ABF=360°-90°-135°=135°$，
∴$∠ABT=∠ABF=135°$。
又
∵$BT=BF$，$AB=AB$，
∴$△ABT≌△ABF(SAS)$，
∴$AT=AF$，
∴$AF=2AH$。
由(1)得$△AEF$是等腰直角三角形，
∴$AF=\sqrt{2}AE$，
∴$AE=\sqrt{2}AH$。
【答案】
(1) 补全图形如答图1，$AE=EF$且$AE⊥EF$；
(2) $AE=\sqrt{2}AH$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了图形旋转、全等证明、特殊三角形性质等考点，需要学生熟练掌握全等三角形的证明方法，以及中点相关的辅助线构造思路，对几何逻辑推理和图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4