登录
18.学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节,现有甲、乙两家旅行社提供的优惠方案,设参加文化节的老师有$x$人,甲、乙两家旅行社实际收费为$y_1,y_2$,且它们的函数图象如图所示,请你根据图象信息,回答下列问题:
(1)当参加老师的人数为多少时,两家旅行社收费相同?
(2)求出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(3)如果共有50人参加,选择哪家旅行社更划算?
(1)当参加老师的人数为多少时,两家旅行社收费相同?
(2)求出$y_1,y_2$关于$x$的函数关系式.
(3)如果共有50人参加,选择哪家旅行社更划算?
答案
18.解:(1)由图象可得,当参加老师的人数为30时,两家旅行社收费相同.
(2)设$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=ax$,$30a=1800$,得$a=60$,即$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=60x$;
设$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=kx+b$.
由题意,得$\begin{cases}b=600,\\30k+b=1800,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=40,\\b=600,\end{cases}$
即$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=40x+600$.
(3)由图象可得,当$x＞30$时,乙旅行社比较划算,故如果共有50人参加时,选择乙旅行社更划算.
(2)设$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=ax$,$30a=1800$,得$a=60$,即$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=60x$;
设$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=kx+b$.
由题意,得$\begin{cases}b=600,\\30k+b=1800,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=40,\\b=600,\end{cases}$
即$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=40x+600$.
(3)由图象可得,当$x＞30$时,乙旅行社比较划算,故如果共有50人参加时,选择乙旅行社更划算.
解析
【分析】
（1）两个函数图象的交点代表两家旅行社收费相同，直接读取交点对应的横坐标即可得到人数。
（2）求函数解析式使用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=ax$，代入交点坐标$(30,1800)$即可求出系数$a$；$y_2$是一次函数，设解析式为$y_2=kx+b$，代入图象给出的两个点$(0,600)$和$(30,1800)$，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
（3）判断50人时哪家划算，可观察图象：当人数大于30时，$y_2$的图象在$y_1$下方，说明乙收费更低；也可将$x=50$分别代入两个解析式，计算费用后比较大小得出结论。
【解析】
(1) 由图象可知，$y_1$与$y_2$的交点横坐标为30，因此当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同。
(2) 设$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=ax$，
将$(30,1800)$代入得$30a=1800$，解得$a=60$，
即$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=60x$。
设$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=kx+b$，
由图象可知函数过点$(0,600)$和$(30,1800)$，代入得：
$\begin{cases}b=600\\30k+b=1800\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=40\\b=600\end{cases}$，
即$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=40x+600$。
(3) 方法一：观察图象可得，当$x＞30$时，相同人数下$y_2＜y_1$，乙旅行社收费更低，50＞30，因此选择乙旅行社更划算。
方法二：当$x=50$时，$y_1=60×50=3000$元，$y_2=40×50+600=2600$元，$2600＜3000$，因此选择乙旅行社更划算。
【答案】
(1) 30人；
(2) $y_1=60x$，$y_2=40x+600$；
(3) 选择乙旅行社更划算。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数相关知识，解题核心是准确读取图象中的关键信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，能通过图象或代数计算解决最优方案选择问题，是一次函数部分的典型考题。
【难度系数】
0.7
（1）两个函数图象的交点代表两家旅行社收费相同，直接读取交点对应的横坐标即可得到人数。
（2）求函数解析式使用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=ax$，代入交点坐标$(30,1800)$即可求出系数$a$；$y_2$是一次函数，设解析式为$y_2=kx+b$，代入图象给出的两个点$(0,600)$和$(30,1800)$，解二元一次方程组求出$k$和$b$即可。
（3）判断50人时哪家划算，可观察图象：当人数大于30时，$y_2$的图象在$y_1$下方，说明乙收费更低；也可将$x=50$分别代入两个解析式，计算费用后比较大小得出结论。
【解析】
(1) 由图象可知，$y_1$与$y_2$的交点横坐标为30，因此当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同。
(2) 设$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=ax$，
将$(30,1800)$代入得$30a=1800$，解得$a=60$，
即$y_1$关于$x$的函数关系式是$y_1=60x$。
设$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=kx+b$，
由图象可知函数过点$(0,600)$和$(30,1800)$，代入得：
$\begin{cases}b=600\\30k+b=1800\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=40\\b=600\end{cases}$，
即$y_2$关于$x$的函数关系式是$y_2=40x+600$。
(3) 方法一：观察图象可得，当$x＞30$时，相同人数下$y_2＜y_1$，乙旅行社收费更低，50＞30，因此选择乙旅行社更划算。
方法二：当$x=50$时，$y_1=60×50=3000$元，$y_2=40×50+600=2600$元，$2600＜3000$，因此选择乙旅行社更划算。
【答案】
(1) 30人；
(2) $y_1=60x$，$y_2=40x+600$；
(3) 选择乙旅行社更划算。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数相关知识，解题核心是准确读取图象中的关键信息，熟练运用待定系数法求一次函数解析式，能通过图象或代数计算解决最优方案选择问题，是一次函数部分的典型考题。
【难度系数】
0.7
19.某汽车站广场将于年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A种花木数量比B种花木数量的2倍少600棵，请回答下列问题：
(1)A，B两种花木数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A种花木60棵或B种花木40棵，应分别安排多少人种植A种花木和B种花木，才能确保同时完成各自的任务？
(1)A，B两种花木数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A种花木60棵或B种花木40棵，应分别安排多少人种植A种花木和B种花木，才能确保同时完成各自的任务？
答案
19.解:(1)设A种花木数量为x棵,B种花木数量为y棵.
根据题意,得方程组$\begin{cases}x+y=6600,①\\x=2y-600,②\end{cases}$
将②代入①,得$2y-600+y=6600$,解得$y=2400$,
代入②,得$x=4200$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4200,\\y=2400,\end{cases}$
故A种花木数量是4200棵,B种花木数量是2400棵.
(2)设安排n个人种植A种花木,则安排$(26-n)$个人种植B种花木,则由题意可得方程$\frac{4200}{60n}=\frac{2400}{40(26-n)}$,化简得$\frac{70}{n}=\frac{60}{26-n}$,解得$n=14$.
经检验,$n≠0$,$26-n≠0$,故$n=14$是方程的解,
故应安排14个人种植A种花木,12个人种植B种花木.
根据题意,得方程组$\begin{cases}x+y=6600,①\\x=2y-600,②\end{cases}$
将②代入①,得$2y-600+y=6600$,解得$y=2400$,
代入②,得$x=4200$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4200,\\y=2400,\end{cases}$
故A种花木数量是4200棵,B种花木数量是2400棵.
(2)设安排n个人种植A种花木,则安排$(26-n)$个人种植B种花木,则由题意可得方程$\frac{4200}{60n}=\frac{2400}{40(26-n)}$,化简得$\frac{70}{n}=\frac{60}{26-n}$,解得$n=14$.
经检验,$n≠0$,$26-n≠0$,故$n=14$是方程的解,
故应安排14个人种植A种花木,12个人种植B种花木.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过设双未知数，找两个等量关系列二元一次方程组求解。等量关系1：A、B两种花木总数量为6600棵；等量关系2：A种花木数量=B种花木数量×2-600，代入求解即可得到两种花木的数量。
(2) 第二问属于工程类问题，核心等量关系为种植两种花木的时间相等（需同时完成任务）。设种植A种花木的人数为n，可得种植B种花木的人数为(26-n)，再根据“工作时间=工作总量÷(人均效率×人数)”分别表示种植两类花木的时间，列分式方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 设A种花木数量为x棵，B种花木数量为y棵。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=6600,①\\x=2y-600,②\end{cases}$
将②代入①得：$2y-600+y=6600$，解得$y=2400$，
将$y=2400$代入②得：$x=2×2400-600=4200$，
因此原方程组的解为$\begin{cases}x=4200,\\y=2400,\end{cases}$
(2) 设安排n个人种植A种花木，则安排$(26-n)$个人种植B种花木，由同时完成任务的要求列方程：
$\frac{4200}{60n}=\frac{2400}{40(26-n)}$，
化简得$\frac{70}{n}=\frac{60}{26-n}$，解得$n=14$，
经检验，$n≠0$，$26-n≠0$，且人数为正整数符合实际，故$n=14$是原方程的解，
种植B种花木的人数为$26-14=12$（人）。
【答案】
(1) A种花木数量是4200棵，B种花木数量是2400棵；
(2) 应安排14人种植A种花木，12人种植B种花木。
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是结合生活场景的方程类应用题，重点考查提取等量关系、建立方程模型的能力，解分式方程时要注意验根，解题逻辑清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过设双未知数，找两个等量关系列二元一次方程组求解。等量关系1：A、B两种花木总数量为6600棵；等量关系2：A种花木数量=B种花木数量×2-600，代入求解即可得到两种花木的数量。
(2) 第二问属于工程类问题，核心等量关系为种植两种花木的时间相等（需同时完成任务）。设种植A种花木的人数为n，可得种植B种花木的人数为(26-n)，再根据“工作时间=工作总量÷(人均效率×人数)”分别表示种植两类花木的时间，列分式方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 设A种花木数量为x棵，B种花木数量为y棵。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=6600,①\\x=2y-600,②\end{cases}$
将②代入①得：$2y-600+y=6600$，解得$y=2400$，
将$y=2400$代入②得：$x=2×2400-600=4200$，
因此原方程组的解为$\begin{cases}x=4200,\\y=2400,\end{cases}$
(2) 设安排n个人种植A种花木，则安排$(26-n)$个人种植B种花木，由同时完成任务的要求列方程：
$\frac{4200}{60n}=\frac{2400}{40(26-n)}$，
化简得$\frac{70}{n}=\frac{60}{26-n}$，解得$n=14$，
经检验，$n≠0$，$26-n≠0$，且人数为正整数符合实际，故$n=14$是原方程的解，
种植B种花木的人数为$26-14=12$（人）。
【答案】
(1) A种花木数量是4200棵，B种花木数量是2400棵；
(2) 应安排14人种植A种花木，12人种植B种花木。
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是结合生活场景的方程类应用题，重点考查提取等量关系、建立方程模型的能力，解分式方程时要注意验根，解题逻辑清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
