13. $△ ABC$的三个顶点坐标分别是$A(a,5),B(7,b),C(4,9)$,将$△ ABC$平移后得到$△ A_1B_1C_1$,其中$A_1(3,8),B_1(6,3)$,则点$C_1$的坐标是.

13.(3,12)

【分析】平面直角坐标系中，图形平移时，图形上所有点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。我们可以先通过已知的对应点求出平移时横、纵坐标的变化规律，再用该规律计算点C平移后的坐标即可。
【解析】
1. 求横坐标的平移变化量：
已知点B平移前坐标为$(7,b)$，平移后对应点$B_1$坐标为$(6,3)$，因此横坐标的变化量为$6-7=-1$，即所有点平移时横坐标减1。
2. 求纵坐标的平移变化量：
已知点A平移前坐标为$(a,5)$，平移后对应点$A_1$坐标为$(3,8)$，因此纵坐标的变化量为$8-5=3$，即所有点平移时纵坐标加3。
3. 计算点$C_1$的坐标：
点C平移前坐标为$(4,9)$，则平移后横坐标为$4-1=3$，纵坐标为$9+3=12$，即$C_1$的坐标为$(3,12)$。
【答案】
$(3,12)$
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移过程中点的坐标变化规律，解题核心是明确平移前后所有对应点的横、纵坐标变化量完全一致，先确定平移规则再计算未知点坐标，属于基础题。
【难度系数】
0.85

14. 在$□ ABCD$中，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AD=13\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，交$CD$的延长线于点$F$，则$DF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

14.5

【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等，可得AB=CD=8cm、BC=AD=13cm，且AB//CD；再结合角平分线的定义，得到∠ABF=∠CBF；利用平行线的内错角相等，得∠ABF=∠F，等量代换后可得∠CBF=∠F，根据等角对等边可推出BC=CF=13cm，最后用CF的长度减去CD的长度即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC=13cm，CD=AB=8cm，
∴∠ABF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF（角平分线的定义），
∴∠CBF=∠F，
∴BC=CF=13cm（等角对等边），
∴DF=CF-CD=13-8=5（cm）。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行四边形性质、角平分线性质和等腰三角形判定结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，进而得到相等的线段，再结合线段的和差计算结果。
【难度系数】
0.7

15.如图,在边长为$5\sqrt{2}$的正方形$ABCD$中,$M$为线段$CD$上一点,且$CM=\frac{2}{3}DM$,$P$是对角线$AC$上一动点,过点$P$作$PE ⊥ AD$于点$E$,$PF ⊥ CD$于点$F$,则$PM+EF$的最小值为.

15.$\sqrt{58}$

【分析】
解题时先观察图形特征：PE垂直AD、PF垂直CD，且正方形内角∠D为90°，可判定四边形PEDF是矩形，根据矩形对角线相等可得EF=PD，即可将求PM+EF的最小值转化为求PM+PD的最小值。再结合正方形的对称性：对角线AC是正方形的对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此PD=PB，进一步将待求式转化为PM+PB，根据两点之间线段最短，当B、P、M三点共线时，PM+PB取最小值，即线段BM的长度，最后在直角三角形BCM中用勾股定理计算BM即可。
【解析】
1. 推导EF与PD的等量关系
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D=90°，
又
∵ PE⊥AD，PF⊥CD，
∴ 四边形PEDF是矩形，
根据矩形对角线相等，得$EF=PD$。
2. 利用对称性转化线段和
正方形对角线AC是对称轴，点B与点D关于AC对称，因此对AC上任意点P，均有$PD=PB$，
∴ $PM+EF=PM+PD=PM+PB$。
3. 确定最小值对应线段
根据两点之间线段最短，当B、P、M三点共线时，$PM+PB$取得最小值，最小值为线段BM的长度。
4. 计算BM的长度
正方形边长为$5\sqrt{2}$，因此$BC=CD=5\sqrt{2}$，
∵ $CM=\frac{2}{3}DM$，$CM+DM=CD=5\sqrt{2}$，
∴ $CM=\frac{2}{2+3} × 5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
在Rt△BCM中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{50+8}=\sqrt{58}$。
【答案】
$\sqrt{58}$
【知识点】
矩形的性质，正方形的对称性，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类综合题，核心是通过矩形性质、正方形对称性完成待求线段和的两次转化，将动态最值问题转化为静态线段长度计算，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

三、解答题
16. 已知$a = b + 2025$，求代数式$\frac{2}{a - b} · \frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}$的值。

16.解:原式=$\frac{2}{a-b}·\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2}·(a+b)(a-b)$
=2(a-b).
当a=b+2025,即a-b=2025时,原式=2×2025=4050.

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为两步：第一步先化简代数式，遵循分式乘除的运算法则，先将除法转化为乘法，再利用平方差公式、完全平方公式对分子分母中可因式分解的部分分解，通过约分把代数式化为最简形式；第二步观察已知条件$a=b+2025$，可直接得出$a-b=2025$，整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，可大幅简化计算。
【解析】
先对原式中的多项式因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{2}{a-b}·\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2}·(a+b)(a-b)$
对分子分母的公因式进行约分：
约去1个$(a-b)$、2个$(a+b)$后，化简得$2(a-b)$
已知$a = b + 2025$，移项可得$a - b = 2025$，将其代入化简后的式子：
原式=$2×2025 = 4050$
【答案】
$4050$
【知识点】
分式乘除运算；乘法公式；代数式化简求值
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，核心考察整体代入思想的应用，无需单独求解a、b的数值，先通过因式分解、约分将代数式化简后，代入$a-b$的整体数值即可得到结果，计算时要注意分式除法转乘法的规则，避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.8

17. 如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(-2,5),B(-4,1)$和$C(-1,3)$.
(1)作出$△ ABC$关于原点$O$对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)作出$△ ABC$绕点$O$逆时针旋转$90°$的$△ A_2B_2C_2$；
(3)在(2)的条件下，连接$OA$，求在旋转过程中线段$OA$扫过的面积.(结果保留$π$)

17.(1)略 (2)略 (3)$\frac{29π}{4}$

【分析】
(1) 要作△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，先利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的特征，求出三个顶点的对称点坐标，再依次描点连线即可。
(2) 要作△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A₂B₂C₂，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$变换后为$(-y,x)$，求出三个顶点旋转后的对应点坐标，再依次描点连线即可。
(3) 线段OA绕原点旋转90°扫过的图形是圆心角为90°、半径为OA长的扇形，先通过勾股定理算出OA的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的坐标特征，得$A_1(2,-5)$、$B_1(4,-1)$、$C_1(1,-3)$，在坐标系中描出三点后依次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，得$A_2(-5,-2)$、$B_2(-1,-4)$、$C_2(-3,-1)$，在坐标系中描出三点后依次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 线段OA扫过的图形是圆心角为90°的扇形，半径为OA的长度：
由勾股定理得 $OA=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{29}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=90$，$r=\sqrt{29}$：
$S=\frac{90π×(\sqrt{29})^2}{360}=\frac{90π×29}{360}=\frac{29π}{4}$
【答案】
(1) 作图略；(2) 作图略；(3) $\frac{29π}{4}$
【知识点】
中心对称的坐标特征，旋转的坐标变换，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了坐标系内的对称、旋转变换作图和扇形面积计算，核心是掌握坐标变换规律，明确旋转过程中线段扫过的图形为扇形，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7