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一、选择题
1. 某船在静水中航行的速度是$x$ km/h，水流的速度是$y$ km/h，该船从甲地顺流去乙地需要$a$小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为(
A.$\frac{a(x+y)}{x-y}$ h
B.$\frac{a(x-y)}{x+y}$ h
C.$\frac{ax}{x+y}$ h
D.$\frac{a(x+y)}{y-x}$ h
1. 某船在静水中航行的速度是$x$ km/h，水流的速度是$y$ km/h，该船从甲地顺流去乙地需要$a$小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为(
A
).A.$\frac{a(x+y)}{x-y}$ h
B.$\frac{a(x-y)}{x+y}$ h
C.$\frac{ax}{x+y}$ h
D.$\frac{a(x+y)}{y-x}$ h
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题核心是抓住甲乙两地的路程不变。思考步骤如下：第一步，先明确流水行船中顺流、逆流的速度计算公式，顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度；第二步，利用顺流行驶的速度和时间算出甲乙两地的总路程；第三步，用总路程除以逆流行驶的速度，就能得到从乙地返回甲地需要的时间。
【解析】
首先计算顺流航行的速度：船顺流行驶的速度为$(x+y)$km/h，已知顺流从甲地到乙地用时$a$小时，根据“路程=速度×时间”，可得甲乙两地的路程为$S = a(x+y)$ km。
再计算逆流航行的速度：船逆流行驶的速度为$(x-y)$km/h，从乙地返回甲地为逆流行驶，路程不变，根据“时间=路程÷速度”，可得返回所需时间$t = \frac{S}{x-y} = \frac{a(x+y)}{x-y}$ h。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式；流水行船速度规律；列代数式
【点评】
本题属于行程问题的基础应用，解题的关键是牢记流水行船的速度差异，抓住往返路程不变的隐含条件，结合行程三量（路程、速度、时间）的关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程问题，解题核心是抓住甲乙两地的路程不变。思考步骤如下：第一步，先明确流水行船中顺流、逆流的速度计算公式，顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度；第二步，利用顺流行驶的速度和时间算出甲乙两地的总路程；第三步，用总路程除以逆流行驶的速度，就能得到从乙地返回甲地需要的时间。
【解析】
首先计算顺流航行的速度：船顺流行驶的速度为$(x+y)$km/h，已知顺流从甲地到乙地用时$a$小时，根据“路程=速度×时间”，可得甲乙两地的路程为$S = a(x+y)$ km。
再计算逆流航行的速度：船逆流行驶的速度为$(x-y)$km/h，从乙地返回甲地为逆流行驶，路程不变，根据“时间=路程÷速度”，可得返回所需时间$t = \frac{S}{x-y} = \frac{a(x+y)}{x-y}$ h。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式；流水行船速度规律；列代数式
【点评】
本题属于行程问题的基础应用，解题的关键是牢记流水行船的速度差异，抓住往返路程不变的隐含条件，结合行程三量（路程、速度、时间）的关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
2. 阅读材料:物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则,即$F_1$和$F_2$的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力$F$,如图.解决问题:设两个共点力的合力为$F$,现保持两力的夹角$θ(0°＜θ＜90°)$不变,如果其中一个力减小,另一个力不变,则(
A.合力$F$一定增大
B.合力$F$的大小可能不变
C.合力$F$可能增大,也可能减小
D.合力$F$一定减小
D
).A.合力$F$一定增大
B.合力$F$的大小可能不变
C.合力$F$可能增大,也可能减小
D.合力$F$一定减小
答案
2.D
解析
【分析】
解题时我们可以结合平行四边形法则的几何特征来思考：首先将两个共点力看作平行四边形的两条邻边，合力为两邻边所夹的对角线。已知两力的夹角θ是锐角且保持不变，其中一个力大小不变，另一个力减小，我们可以通过分析平行四边形邻边长度变化时对角线的变化规律，或者代入特殊值验证的方法，判断合力的变化情况。
【解析】
我们根据平行四边形法则分析：
1. 把两个力看作平行四边形的邻边，合力就是两个力所夹的对角线。本题中两个力的夹角是锐角，且保持不变，假设$F_1$的大小不变，$F_2$的大小逐渐减小。
2. 画图观察：保持$F_1$的长度和方向不变，保持$F_2$与$F_1$的夹角$θ$不变，把$F_2$的长度缩短，作出新的平行四边形，此时新的对角线（新合力）的长度明显比原来的对角线（原合力）短。
3. 我们也可以用特殊值验证：比如设$F_1=3$单位，$F_2=4$单位，夹角为90°（锐角的临界情况），原来的合力对应直角三角形的斜边，长度为5单位；当$F_2$减小到3单位，夹角还是90°，新的斜边长度约为4.24单位，明显小于5单位。
综上，这种情况下合力$F$一定减小。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行四边形法则
2. 力的合成规律
【点评】
本题结合物理中力的合成的应用场景，考查了平行四边形边长变化对对应对角线长度的影响，解题时可通过画图、特殊值代入等直观的方法快速得出结论，需要注意题目中夹角为锐角的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以结合平行四边形法则的几何特征来思考：首先将两个共点力看作平行四边形的两条邻边，合力为两邻边所夹的对角线。已知两力的夹角θ是锐角且保持不变，其中一个力大小不变，另一个力减小，我们可以通过分析平行四边形邻边长度变化时对角线的变化规律，或者代入特殊值验证的方法，判断合力的变化情况。
【解析】
我们根据平行四边形法则分析：
1. 把两个力看作平行四边形的邻边，合力就是两个力所夹的对角线。本题中两个力的夹角是锐角，且保持不变，假设$F_1$的大小不变，$F_2$的大小逐渐减小。
2. 画图观察：保持$F_1$的长度和方向不变，保持$F_2$与$F_1$的夹角$θ$不变，把$F_2$的长度缩短，作出新的平行四边形，此时新的对角线（新合力）的长度明显比原来的对角线（原合力）短。
3. 我们也可以用特殊值验证：比如设$F_1=3$单位，$F_2=4$单位，夹角为90°（锐角的临界情况），原来的合力对应直角三角形的斜边，长度为5单位；当$F_2$减小到3单位，夹角还是90°，新的斜边长度约为4.24单位，明显小于5单位。
综上，这种情况下合力$F$一定减小。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行四边形法则
2. 力的合成规律
【点评】
本题结合物理中力的合成的应用场景，考查了平行四边形边长变化对对应对角线长度的影响，解题时可通过画图、特殊值代入等直观的方法快速得出结论，需要注意题目中夹角为锐角的限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及. 据研究，高空物体自由下落到地面的时间$t(\mathrm{s})$和高度$h(\mathrm{m})$近似满足公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$（不考虑风速的影响，$g≈9.8\ \mathrm{m/s}^2$）. 已知一幢大楼高78.4 m，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，则其落到地面所用时间约为(
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
B
).A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
3.B
解析
【分析】
这道题是公式代入求值类问题，解题思路清晰：首先明确题目给出的自由下落时间计算公式，找到已知的高度$h$和重力加速度$g$的数值，将数值准确代入公式后，先计算分式部分的结果，再对结果求算术平方根就能得到下落时间，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知高空物体自由下落时间公式为$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，题中给出$h=78.4\ \mathrm{m}$，$g≈9.8\ \mathrm{m/s}^2$，将数值代入公式计算：
1. 先计算分子部分：$2h=2×78.4=156.8$
2. 计算分式的结果：$\frac{2h}{g}=\frac{156.8}{9.8}=16$
3. 求算术平方根得到时间：$t=\sqrt{16}=4\ \mathrm{s}$
因此鸡蛋落到地面的时间约为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的应用、代数式求值、算术平方根计算
【点评】
本题结合高空抛物的生活热点场景考查二次根式的实际计算，解题关键是准确代入已知数值、正确计算算术平方根，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
这道题是公式代入求值类问题，解题思路清晰：首先明确题目给出的自由下落时间计算公式，找到已知的高度$h$和重力加速度$g$的数值，将数值准确代入公式后，先计算分式部分的结果，再对结果求算术平方根就能得到下落时间，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知高空物体自由下落时间公式为$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，题中给出$h=78.4\ \mathrm{m}$，$g≈9.8\ \mathrm{m/s}^2$，将数值代入公式计算：
1. 先计算分子部分：$2h=2×78.4=156.8$
2. 计算分式的结果：$\frac{2h}{g}=\frac{156.8}{9.8}=16$
3. 求算术平方根得到时间：$t=\sqrt{16}=4\ \mathrm{s}$
因此鸡蛋落到地面的时间约为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的应用、代数式求值、算术平方根计算
【点评】
本题结合高空抛物的生活热点场景考查二次根式的实际计算，解题关键是准确代入已知数值、正确计算算术平方根，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
4.已知A,B两地相距720 m,甲从A地去B地,乙从B地去A地,他们各自到达目的地后停止运动.如图，$l_1$和$l_2$分别表示甲、乙两人离B地的距离$y$(m)和行走的时间$x$(min)的函数图象，则下列说法不正确的是(
A.$l_1$是甲的函数图象，$l_2$是乙的函数图象
B.乙的速度比甲的速度快
C.当$x＝5$或$7$时，甲、乙两人相距150米
D.乙出发后6分钟两人相遇
D
).A.$l_1$是甲的函数图象，$l_2$是乙的函数图象
B.乙的速度比甲的速度快
C.当$x＝5$或$7$时，甲、乙两人相距150米
D.乙出发后6分钟两人相遇
答案
4.D
解析
【分析】
首先明确函数图象的横、纵坐标含义：x代表行走时间，y代表离B地的距离。第一步通过初始位置判断l₁、l₂对应的人物，验证A选项；第二步结合全程路程和走完全程的时间分别计算甲乙的速度，验证B选项；第三步求出l₁、l₂的函数解析式，根据两人距离为150m列绝对值方程求解，验证C选项；第四步计算两人相遇的时间，换算为乙出发后的时长，验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 验证A选项：甲从A地前往B地，x=0时离B地720m，对应图象l₁；乙从B地前往A地，晚出发2min，x=2时离B地距离为0，对应图象l₂，A说法正确。
2. 验证B选项：甲走完全程720m用时12min，速度$v_甲=720÷12=60\ \mathrm{m/min}$；乙走完全程用时$10-2=8\ \mathrm{min}$，速度$v_乙=720÷8=90\ \mathrm{m/min}$，$90＞60$，乙的速度更快，B说法正确。
3. 求函数解析式：
对于l₁（甲）：设$y_1=k_1x+720$，代入点$(12,0)$得$0=12k_1+720$，解得$k_1=-60$，即$y_1=-60x+720\ (0≤ x≤12)$。
对于l₂（乙，$2≤ x≤10$）：设$y_2=k_2(x-2)$，代入点$(10,720)$得$720=8k_2$，解得$k_2=90$，即$y_2=90x-180\ (2≤ x≤10)$。
验证C选项：两人相距150m时，$|y_1-y_2|=150$，代入解析式得$|(-60x+720)-(90x-180)|=150$，化简为$|900-150x|=150$：
①当$900-150x=150$时，解得$x=5$；②当$900-150x=-150$时，解得$x=7$，均符合取值范围，C说法正确。
4. 验证D选项：两人相遇时$y_1=y_2$，即$-60x+720=90x-180$，解得$x=6$，乙出发时间为x=2，故乙出发时长为$6-2=4\ \mathrm{min}$，不是6min，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的图象与实际应用，解题核心是读懂图象中的坐标信息，掌握路程、速度、时间的关系，注意求解两人距离问题时要分类讨论，不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确函数图象的横、纵坐标含义：x代表行走时间，y代表离B地的距离。第一步通过初始位置判断l₁、l₂对应的人物，验证A选项；第二步结合全程路程和走完全程的时间分别计算甲乙的速度，验证B选项；第三步求出l₁、l₂的函数解析式，根据两人距离为150m列绝对值方程求解，验证C选项；第四步计算两人相遇的时间，换算为乙出发后的时长，验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 验证A选项：甲从A地前往B地，x=0时离B地720m，对应图象l₁；乙从B地前往A地，晚出发2min，x=2时离B地距离为0，对应图象l₂，A说法正确。
2. 验证B选项：甲走完全程720m用时12min，速度$v_甲=720÷12=60\ \mathrm{m/min}$；乙走完全程用时$10-2=8\ \mathrm{min}$，速度$v_乙=720÷8=90\ \mathrm{m/min}$，$90＞60$，乙的速度更快，B说法正确。
3. 求函数解析式：
对于l₁（甲）：设$y_1=k_1x+720$，代入点$(12,0)$得$0=12k_1+720$，解得$k_1=-60$，即$y_1=-60x+720\ (0≤ x≤12)$。
对于l₂（乙，$2≤ x≤10$）：设$y_2=k_2(x-2)$，代入点$(10,720)$得$720=8k_2$，解得$k_2=90$，即$y_2=90x-180\ (2≤ x≤10)$。
验证C选项：两人相距150m时，$|y_1-y_2|=150$，代入解析式得$|(-60x+720)-(90x-180)|=150$，化简为$|900-150x|=150$：
①当$900-150x=150$时，解得$x=5$；②当$900-150x=-150$时，解得$x=7$，均符合取值范围，C说法正确。
4. 验证D选项：两人相遇时$y_1=y_2$，即$-60x+720=90x-180$，解得$x=6$，乙出发时间为x=2，故乙出发时长为$6-2=4\ \mathrm{min}$，不是6min，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一次函数解析式求解
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的图象与实际应用，解题核心是读懂图象中的坐标信息，掌握路程、速度、时间的关系，注意求解两人距离问题时要分类讨论，不要漏解。
【难度系数】
0.6
