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9.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长12 cm.当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长20 cm，当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧的长度为
18
cm.答案
9.18
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先，根据题干明确弹簧长度y是所挂物体质量x的一次函数，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$；其次，提取题干中的两组对应值：不挂物体即$x=0$时，$y=12$；挂4kg物体即$x=4$时，$y=20$，将两组值代入函数式即可求出未知系数k和b，得到完整的函数解析式；最后将$x=3$代入解析式，计算得到对应的y值就是所求弹簧长度。
【解析】
解：设弹簧长度y与所挂物体质量x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题意得：
当$x=0$时，$y=12$，代入得$12=0× k + b$，解得$b=12$；
当$x=4$时，$y=20$，代入$y=kx+12$得$20=4k+12$，
计算得$4k=8$，解得$k=2$。
因此函数解析式为$y=2x+12$。
当$x=3$时，代入解析式得$y=2×3 + 12=18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数结合实际场景的基础题型，重点考查待定系数法的运用，只要能准确从题干中提取有效条件求出函数解析式，代入求值即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先，根据题干明确弹簧长度y是所挂物体质量x的一次函数，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$；其次，提取题干中的两组对应值：不挂物体即$x=0$时，$y=12$；挂4kg物体即$x=4$时，$y=20$，将两组值代入函数式即可求出未知系数k和b，得到完整的函数解析式；最后将$x=3$代入解析式，计算得到对应的y值就是所求弹簧长度。
【解析】
解：设弹簧长度y与所挂物体质量x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题意得：
当$x=0$时，$y=12$，代入得$12=0× k + b$，解得$b=12$；
当$x=4$时，$y=20$，代入$y=kx+12$得$20=4k+12$，
计算得$4k=8$，解得$k=2$。
因此函数解析式为$y=2x+12$。
当$x=3$时，代入解析式得$y=2×3 + 12=18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数结合实际场景的基础题型，重点考查待定系数法的运用，只要能准确从题干中提取有效条件求出函数解析式，代入求值即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
10. 甲同学从学校出发，去博物馆参观. 汽车在行驶了16 min后，因为故障检修了20 min，随后提速$\frac{1}{4}$前往博物馆，从学校到博物馆一共用了 60 min，甲同学离学校的距离 y(km)与所用时间 x(min)之间的函数关系如图所示，则学校与博物馆之间的距离是
27.6千米
.答案
10.27.6千米
解析
【分析】
解题时首先从函数图像中提取已知信息：前16分钟汽车行驶的路程为9.6km，总用时60分钟，中途检修20分钟。解题思路如下：第一步先根据前16分钟的行驶路程计算汽车原来的速度；第二步计算检修后汽车行驶的时间；第三步结合提速比例算出提速后的速度；第四步计算检修后行驶的路程，最后加上前16分钟行驶的9.6km，即可得到学校到博物馆的总距离。
【解析】
1. 计算汽车原来的行驶速度：
前16min行驶了9.6km，根据速度=路程÷时间，可得原速度$v_1=\frac{9.6}{16}=0.6\ \mathrm{km/min}$
2. 计算检修后汽车的行驶时间：
总用时60min，减去前16min行驶时间，再减去20min检修时间，得后续行驶时间$t=60-16-20=24\ \mathrm{min}$
3. 计算提速后的行驶速度：
提速$\frac{1}{4}$，则新速度$v_2=v_1×(1+\frac{1}{4})=0.6×\frac{5}{4}=0.75\ \mathrm{km/min}$
4. 计算总路程：
检修后行驶的路程$s_2=v_2× t=0.75×24=18\ \mathrm{km}$
总路程$a=9.6+18=27.6\ \mathrm{km}$
【答案】
27.6千米
【知识点】
1. 行程问题公式
2. 函数图像信息提取
3. 分数运算应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，核心是能从图像和题干中提取各段时间对应的行驶状态，再结合行程的基本数量关系逐步计算即可，解题时注意不要遗漏检修时间，避免计算后续行驶时间出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先从函数图像中提取已知信息：前16分钟汽车行驶的路程为9.6km，总用时60分钟，中途检修20分钟。解题思路如下：第一步先根据前16分钟的行驶路程计算汽车原来的速度；第二步计算检修后汽车行驶的时间；第三步结合提速比例算出提速后的速度；第四步计算检修后行驶的路程，最后加上前16分钟行驶的9.6km，即可得到学校到博物馆的总距离。
【解析】
1. 计算汽车原来的行驶速度：
前16min行驶了9.6km，根据速度=路程÷时间，可得原速度$v_1=\frac{9.6}{16}=0.6\ \mathrm{km/min}$
2. 计算检修后汽车的行驶时间：
总用时60min，减去前16min行驶时间，再减去20min检修时间，得后续行驶时间$t=60-16-20=24\ \mathrm{min}$
3. 计算提速后的行驶速度：
提速$\frac{1}{4}$，则新速度$v_2=v_1×(1+\frac{1}{4})=0.6×\frac{5}{4}=0.75\ \mathrm{km/min}$
4. 计算总路程：
检修后行驶的路程$s_2=v_2× t=0.75×24=18\ \mathrm{km}$
总路程$a=9.6+18=27.6\ \mathrm{km}$
【答案】
27.6千米
【知识点】
1. 行程问题公式
2. 函数图像信息提取
3. 分数运算应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，核心是能从图像和题干中提取各段时间对应的行驶状态，再结合行程的基本数量关系逐步计算即可，解题时注意不要遗漏检修时间，避免计算后续行驶时间出错。
【难度系数】
0.7
11.已知A,B两港之间的距离为150 km,水流速度为5 km/h.若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的$\frac{2}{3}$,则该轮船在静水中的航行速度为
25
km/h.答案
11.25
解析
【分析】
这是流水行船类的行程应用题，解题思路如下：第一步先明确流水行船的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；第二步根据“路程÷速度=时间”，分别表示出轮船顺流从A到B的时间、逆流从B到A的时间；第三步结合题目给出的“顺流时间是逆流时间的$\frac{2}{3}$”这一等量关系列方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设该轮船在静水中的航行速度为$x$ km/h，
则顺流航行速度为$(x+5)$ km/h，逆流航行速度为$(x-5)$ km/h。
根据题意可得：
$\frac{150}{x+5}=\frac{2}{3}×\frac{150}{x-5}$
两边同时约去150，得：
$\frac{1}{x+5}=\frac{2}{3(x-5)}$
交叉相乘去分母得：
$3(x-5)=2(x+5)$
展开括号：
$3x-15=2x+10$
移项计算得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x+5=30≠0$，$x-5=20≠0$，所以$x=25$是原方程的解，且符合实际航行的要求。
【答案】
25
【知识点】
1.流水行船速度关系
2.分式方程的应用
3.行程问题基本公式
【点评】
本题是行程类的典型应用题，核心是找准时间的等量关系列方程求解，要注意分式方程求出解后必须检验，既要检验是否为方程的增根，也要判断是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程应用题，解题思路如下：第一步先明确流水行船的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；第二步根据“路程÷速度=时间”，分别表示出轮船顺流从A到B的时间、逆流从B到A的时间；第三步结合题目给出的“顺流时间是逆流时间的$\frac{2}{3}$”这一等量关系列方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设该轮船在静水中的航行速度为$x$ km/h，
则顺流航行速度为$(x+5)$ km/h，逆流航行速度为$(x-5)$ km/h。
根据题意可得：
$\frac{150}{x+5}=\frac{2}{3}×\frac{150}{x-5}$
两边同时约去150，得：
$\frac{1}{x+5}=\frac{2}{3(x-5)}$
交叉相乘去分母得：
$3(x-5)=2(x+5)$
展开括号：
$3x-15=2x+10$
移项计算得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x+5=30≠0$，$x-5=20≠0$，所以$x=25$是原方程的解，且符合实际航行的要求。
【答案】
25
【知识点】
1.流水行船速度关系
2.分式方程的应用
3.行程问题基本公式
【点评】
本题是行程类的典型应用题，核心是找准时间的等量关系列方程求解，要注意分式方程求出解后必须检验，既要检验是否为方程的增根，也要判断是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
12.如图,在正方形ABCD中,点F在边CD的延长线上,点E是边BC上的一点,且BE=DF,连接EF交边AD于点G,过点A作AN⊥EF,垂足为M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为
$4\sqrt{34}$
.答案
12.$4\sqrt{34}$
解析
【分析】
首先利用正方形的性质，结合已知BE=DF，可证△ABE≌△ADF，得到AE=AF且∠EAF=90°，即△AEF为等腰直角三角形；再由AN⊥EF推出AN平分∠EAF，得到∠EAN=∠FAN=45°，进而证△AEN≌△AFN，推导出EN=BE+DN；设正方形边长为x，用含x的式子表示出EC、DN、EN，在Rt△ECN中用勾股定理列方程求出正方形边长，最后在Rt△ADN中用勾股定理计算AN的长度即可。
【解析】
连接AE、AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°，即∠B=∠ADF，
在△ABE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠B=∠ADF\\BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°，即△AEF是等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，AE=AF，
∴AN平分∠EAF，即∠EAN=∠FAN=45°，
在△AEN和△AFN中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF\\∠EAN=∠FAN\\AN=AN\end{array} $
∴△AEN≌△AFN（SAS），
∴EN=FN，
又
∵FN=DF+DN，且DF=BE，
∴EN=BE+DN，
设正方形ABCD的边长为x，
∵BE=5，CN=8，
∴EC=x-5，DN=x-8，
∴EN=5+(x-8)=x-3，
在Rt△ECN中，由勾股定理得：$EN^2=EC^2+CN^2$，
∴$(x-3)^2=(x-5)^2+8^2$，
展开得：$x^2-6x+9=x^2-10x+89$，
整理得：$4x=80$，解得$x=20$，
∴AD=20，DN=20-8=12，
在Rt△ADN中，由勾股定理得：
$AN=\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{20^2+12^2}=\sqrt{544}=4\sqrt{34}$
【答案】
$4\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形和勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，得到线段间的等量关系，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
首先利用正方形的性质，结合已知BE=DF，可证△ABE≌△ADF，得到AE=AF且∠EAF=90°，即△AEF为等腰直角三角形；再由AN⊥EF推出AN平分∠EAF，得到∠EAN=∠FAN=45°，进而证△AEN≌△AFN，推导出EN=BE+DN；设正方形边长为x，用含x的式子表示出EC、DN、EN，在Rt△ECN中用勾股定理列方程求出正方形边长，最后在Rt△ADN中用勾股定理计算AN的长度即可。
【解析】
连接AE、AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°，即∠B=∠ADF，
在△ABE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠B=∠ADF\\BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°，即△AEF是等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，AE=AF，
∴AN平分∠EAF，即∠EAN=∠FAN=45°，
在△AEN和△AFN中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF\\∠EAN=∠FAN\\AN=AN\end{array} $
∴△AEN≌△AFN（SAS），
∴EN=FN，
又
∵FN=DF+DN，且DF=BE，
∴EN=BE+DN，
设正方形ABCD的边长为x，
∵BE=5，CN=8，
∴EC=x-5，DN=x-8，
∴EN=5+(x-8)=x-3，
在Rt△ECN中，由勾股定理得：$EN^2=EC^2+CN^2$，
∴$(x-3)^2=(x-5)^2+8^2$，
展开得：$x^2-6x+9=x^2-10x+89$，
整理得：$4x=80$，解得$x=20$，
∴AD=20，DN=20-8=12，
在Rt△ADN中，由勾股定理得：
$AN=\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{20^2+12^2}=\sqrt{544}=4\sqrt{34}$
【答案】
$4\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形和勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，得到线段间的等量关系，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
13.如图,在菱形ABCD中,∠D=60°,CD=4,E为菱形内部一点,且AE=2,连接CE,F为CE中点,连接BF,取BF中点G,连接AG,则AG的最大值为
$\frac{1}{2}+\sqrt{7}$
.答案
13.$\frac{1}{2}+\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先根据菱形性质和∠D=60°可推出△ABC是边长为4的等边三角形。由AE=2可知E在以A为圆心、半径为2的圆上，取AC中点O，利用三角形中位线定理可得OF=$\frac{1}{2}$AE=1，因此F在以O为圆心、半径为1的圆上。G是BF中点，根据位似变换可知G的轨迹是以OB中点为圆心、半径$\frac{1}{2}$的圆，最后根据点到圆的最大距离等于点到圆心的距离加半径，即可求出AG的最大值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，CD=4，∠D=60°，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠D=60°，
∴△ABC是等边三角形，AC=4。
取AC的中点O，连接OF，
∵F是CE的中点，O是AC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=1，即点F在以O为圆心，半径为1的圆上。
建立平面直角坐标系：设O为原点，AC在x轴上，则A(2,0)，C(-2,0)，等边△ABC的顶点B坐标为$(0, 2\sqrt{3})$。
∵G是BF的中点，
∴点G的轨迹是将⊙O以点B为位似中心，位似比为$\frac{1}{2}$缩小得到的圆，该圆的圆心为OB的中点$H(0, \sqrt{3})$，半径$r=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
点A到圆心H的距离$AH=\sqrt{(2-0)^2 + (0-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$。
根据点到圆的最大距离规律，AG的最大值为$AH + r = \sqrt{7} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\sqrt{7}$。
【答案】
$\frac{1}{2}+\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，动点轨迹最值
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过中位线和位似变换确定动点的轨迹，将求线段最大值转化为点到圆的距离问题，解题关键是正确作出辅助线，找到动点的运动轨迹。
【难度系数】
0.3
首先根据菱形性质和∠D=60°可推出△ABC是边长为4的等边三角形。由AE=2可知E在以A为圆心、半径为2的圆上，取AC中点O，利用三角形中位线定理可得OF=$\frac{1}{2}$AE=1，因此F在以O为圆心、半径为1的圆上。G是BF中点，根据位似变换可知G的轨迹是以OB中点为圆心、半径$\frac{1}{2}$的圆，最后根据点到圆的最大距离等于点到圆心的距离加半径，即可求出AG的最大值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，CD=4，∠D=60°，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠D=60°，
∴△ABC是等边三角形，AC=4。
取AC的中点O，连接OF，
∵F是CE的中点，O是AC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=1，即点F在以O为圆心，半径为1的圆上。
建立平面直角坐标系：设O为原点，AC在x轴上，则A(2,0)，C(-2,0)，等边△ABC的顶点B坐标为$(0, 2\sqrt{3})$。
∵G是BF的中点，
∴点G的轨迹是将⊙O以点B为位似中心，位似比为$\frac{1}{2}$缩小得到的圆，该圆的圆心为OB的中点$H(0, \sqrt{3})$，半径$r=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
点A到圆心H的距离$AH=\sqrt{(2-0)^2 + (0-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$。
根据点到圆的最大距离规律，AG的最大值为$AH + r = \sqrt{7} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\sqrt{7}$。
【答案】
$\frac{1}{2}+\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，动点轨迹最值
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过中位线和位似变换确定动点的轨迹，将求线段最大值转化为点到圆的距离问题，解题关键是正确作出辅助线，找到动点的运动轨迹。
【难度系数】
0.3
