三、解答题
14. 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF = ∠BCE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF = 30°，CE = 4，求CD的长.

14.(1)略
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,
∴∠CAB=∠DCA.
∵CE=4,
∴AF=4.
∵AC平分∠FAE，
∴∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠DCA，
∴FC=AF=4.
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，
∴DF=2,
∴CD=6.

【分析】
（1）要证明四边形AECF是平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”推导。首先根据矩形性质可得AB//CD，即AE//CF，再结合已知∠DAF=∠BCE，推导得到AF//CE，即可完成证明。
（2）先由平行四边形的性质得到AF=CE=4，再结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得FC=AF=4；最后在Rt△ADF中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出DF的长，通过CD=DF+FC即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB//CD，
∴∠DFA=∠FAB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠DAF=∠BCE，
∴90°-∠DAF=90°-∠BCE，即∠DFA=∠BEC，
∴∠FAB=∠BEC，
∴AF//CE（同位角相等，两直线平行），
又
∵AB//CD，即AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠CAB=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE=4。
∵AC平分∠FAE，
∴∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠DCA，
∴FC=AF=4（等角对等边）。
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，AF=4，
∴DF=$\frac{1}{2}$AF=2（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴CD=DF+FC=2+4=6。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查特殊四边形的性质、判定与特殊直角三角形的边长关系，解题的关键是梳理清楚角、边之间的等量关系，熟练运用相关定理推导即可。
【难度系数】
0.7

15. 在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就得到了盐水. 如果一容器内有 $a$ 克盐水，其中含盐 $b$ 克，则盐水的浓度 $=\frac{含盐质量}{盐水质量} × 100\%$.
(1)若容器中有 80 克盐水，其中含水 60 克，求盐水的浓度；
(2)若容器中有 50 克盐水，其中含盐 5 克，则需要蒸发多少克水，才能使该容器内的盐水浓度提高到原来的 2 倍？
(3)若在装有盐水的容器中加入若干盐，盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有 $a$ 克盐水，其中含盐 $b$ 克，再加入 $c$ 克盐，用数学的方法书写过程.）

15.解:(1)盐水浓度为$\frac{(80-60)}{80}×100\%=25\%$.
(2)设需蒸发$m$克水.根据题意，
得$\frac{5}{50-m}×100\%=2×\frac{5}{50}×100\%$，
解得$m=25$，
经检验,$m=25$是原分式方程的根，
∴需要蒸发25克水,才能使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍.
(3)盐水的浓度变大了.理由如下：
∵原来盐水的浓度:$\frac{b}{a}×100\%$,现在盐水的浓度:$\frac{b+c}{a+c}×100\%$，
∴现在盐水的浓度－原来盐水的浓度$=\frac{b+c}{a+c}×100\%-\frac{b}{a}×100\%=\frac{c(a-b)}{a(a+c)}×100\%$，
∵$a＞0,c＞0$,且$a＞b$，
∴$a+c＞0,a-b＞0$，
∴$\frac{c(a-b)}{a(a+c)}＞0$，
∴现在盐水的浓度－原来盐水的浓度＞0，
∴现在盐水的浓度大于原来盐水的浓度,盐水的浓度变大了.

【分析】
（1）第一问需依据浓度计算公式求解，已知盐水总质量和水的质量，先通过“盐的质量=盐水总质量-水的质量”算出含盐量，再代入浓度公式即可得到结果。
（2）第二问属于蒸发提浓问题，蒸发水的过程中盐的质量保持不变，先算出原盐水浓度，设蒸发水的质量为m克，根据“新浓度=原浓度×2”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
（3）第三问要判断加盐后浓度的变化，先分别写出加盐前后的浓度表达式，通过作差法求出两个浓度的差值，再结合实际意义判断差值的正负，即可得出浓度的变化结论。
【解析】
(1) 盐水总质量为80g，含水60g，则含盐质量为$80-60=20\ \mathrm{g}$，代入浓度公式得：
$\frac{80-60}{80}×100\% = \frac{20}{80}×100\% = 25\%$
(2) 设需要蒸发$m$克水。
原盐水浓度为$\frac{5}{50}×100\%$，蒸发后盐水总质量为$(50-m)\ \mathrm{g}$，盐的质量仍为5g，此时浓度为原浓度的2倍，列方程：
$\frac{5}{50-m}×100\% = 2×\frac{5}{50}×100\%$
化简得$\frac{5}{50-m} = \frac{1}{5}$，交叉相乘解得$m=25$。
经检验，$m=25$时分母不为0，是原分式方程的根，且符合实际意义。
(3) 盐水浓度变大，理由如下：
原盐水浓度为$\frac{b}{a}×100\%$，加入$c$克盐后，盐总质量为$(b+c)\ \mathrm{g}$，盐水总质量为$(a+c)\ \mathrm{g}$，新浓度为$\frac{b+c}{a+c}×100\%$。
作差比较两个浓度：
$\frac{b+c}{a+c}×100\% - \frac{b}{a}×100\% = \frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(a+c)}×100\% = \frac{c(a-b)}{a(a+c)}×100\%$
由实际意义可知$a＞0,c＞0,a＞b$，因此$a+c＞0,a-b＞0$，可得$\frac{c(a-b)}{a(a+c)}＞0$，即新浓度大于原浓度，盐水浓度变大。
【答案】
(1) $25\%$；(2) $25$克；(3) 盐水浓度变大，理由见解析
【知识点】
1. 浓度问题计算 2. 分式方程应用 3. 作差法比较大小
【点评】
本题结合生活中的盐水配置场景，考查了浓度公式的应用、分式方程求解以及代数式大小比较的方法，解题核心是抓住变化过程中的不变量，解分式方程后需检验根的合理性，第三问将实际问题转化为代数式正负判断，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.65