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2[2026江苏南京期末,中]学校举行舞蹈比赛,主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分,最终成绩中服装占10%,动作技巧占40%,感染力占50%.九(1)班和九(2)班的成绩如下表,若2班要在最终成绩上超过1班,则他们的感染力得分x应超过
90
.答案
由题意可得 $70×10\%+80×40\%+88×50\%＜80×10\%+75×40\%+50\%x$,解得 $x＞90$,所以他们的感染力得分 $x$ 应超过 90. 故答案为 90.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确加权平均数的计算规则：最终成绩是各项目得分乘以对应权重的总和。我们需要先算出九(1)班的最终成绩，再写出九(2)班含x的最终成绩表达式，根据“九(2)班最终成绩超过九(1)班”的不等关系列不等式，求解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
先计算九(1)班的最终成绩：
$70×10\% + 80×40\% + 88×50\% =7+32+44=83$
九(2)班的最终成绩可表示为：
$80×10\% + 75×40\% + 50\%x =8+30+0.5x=38+0.5x$
根据题意列不等式：
$70×10\%+80×40\%+88×50\%＜80×10\%+75×40\%+50\%x$
代入化简得：$83 ＜ 38 + 0.5x$
移项计算得：$0.5x＞45$
解得：$x＞90$
【答案】
90
【知识点】
加权平均数；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合比赛打分的实际场景，考查加权平均数计算和不等式的实际应用，解题核心是准确理解权重的含义，正确列出两个班级的最终成绩表达式，结合题意列不等式求解，属于基础的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确加权平均数的计算规则：最终成绩是各项目得分乘以对应权重的总和。我们需要先算出九(1)班的最终成绩，再写出九(2)班含x的最终成绩表达式，根据“九(2)班最终成绩超过九(1)班”的不等关系列不等式，求解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
先计算九(1)班的最终成绩：
$70×10\% + 80×40\% + 88×50\% =7+32+44=83$
九(2)班的最终成绩可表示为：
$80×10\% + 75×40\% + 50\%x =8+30+0.5x=38+0.5x$
根据题意列不等式：
$70×10\%+80×40\%+88×50\%＜80×10\%+75×40\%+50\%x$
代入化简得：$83 ＜ 38 + 0.5x$
移项计算得：$0.5x＞45$
解得：$x＞90$
【答案】
90
【知识点】
加权平均数；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合比赛打分的实际场景，考查加权平均数计算和不等式的实际应用，解题核心是准确理解权重的含义，正确列出两个班级的最终成绩表达式，结合题意列不等式求解，属于基础的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
3[较难]某公司欲招聘一名销售人员，按1:3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：
(1)若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求$x$的值；
(2)若公司认为笔试成绩与面试成绩按$4:6$的权重，结果乙排第二，丙被录取，求$x$的值；
(3)若公司认为笔试成绩与面试成绩按$a:(10-a)$（$a$为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求$a$的最小值。
(1)若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求$x$的值；
(2)若公司认为笔试成绩与面试成绩按$4:6$的权重，结果乙排第二，丙被录取，求$x$的值；
(3)若公司认为笔试成绩与面试成绩按$a:(10-a)$（$a$为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求$a$的最小值。
答案
(1)甲的平均成绩为$\frac{90+86}{2}=88$(分),乙的平均成绩为$\frac{x+x}{2}=x$(分),丙的平均成绩为$\frac{84+92}{2}=88$(分).$\because$ 乙被录取,$\therefore x＞88. \because 84＜x＜90,$$\therefore 88＜x＜90. \because x$为整数,$\therefore x=89.$
(2)甲的平均成绩为$\frac{90×4+86×6}{4+6}=87.6$(分),乙的平均成绩为$\frac{4x+6x}{4+6}=x$(分),丙的平均成绩为$\frac{84×4+92×6}{4+6}=88.8$(分).
$\because 87.6＜x＜88.8$,$x$为整数,$\therefore x=88.$
(3)甲的平均成绩为$\frac{90a+86(10-a)}{a+10-a}=(0.4a+86)$分,乙的平均成绩为 $x$ 分,丙的平均成绩为$\frac{84a+92(10-a)}{a+10-a}=(92-0.8a)$分. 由题意得,$x$最大值为 89.
$\because$ 要确保甲被录取,$\therefore \begin{cases}0.4a+86＞92-0.8a,\\0.4a+86＞89,\end{cases}$
解得 $a＞7.5$,$\therefore$ 整数 $a$ 的最小值为 8.
解析
【分析】
(1) 笔试和面试同等重要时，最终成绩为算术平均数。先计算甲、丙的平均成绩，乙被录取说明乙的平均成绩最高，再结合“笔试成绩无重复、从高到低排列”的条件确定x的取值范围，结合x为整数即可求解。
(2) 成绩按4:6权重计算时，最终成绩为加权平均数。先算出甲、丙的加权成绩，根据“丙被录取、乙排第二”可得到三者成绩的大小关系，进而得到x的取值范围，结合x为整数求解。
(3) 先按权重$a:(10-a)$分别表示出甲、丙的加权成绩，要确保甲被录取，需甲的成绩同时高于丙的成绩、高于乙的最高可能成绩，列不等式组求解后取最小的整数a即可。
【解析】
(1) 计算三人算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90+86}{2}=88$(分)，乙的平均成绩：$\frac{x+x}{2}=x$(分)，丙的平均成绩：$\frac{84+92}{2}=88$(分)。
∵乙被录取，
∴乙的平均成绩最高，即$x＞88$；
又
∵笔试成绩从高到低无重复，即$84＜x＜90$，因此$88＜x＜90$。
∵x为整数，
∴$x=89$。
(2) 按4:6权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90×4+86×6}{4+6}=87.6$(分)，乙的平均成绩：$\frac{4x+6x}{4+6}=x$(分)，丙的平均成绩：$\frac{84×4+92×6}{4+6}=88.8$(分)。
∵丙被录取、乙排第二，
∴成绩大小为$87.6＜x＜88.8$，
∵x为整数，
∴$x=88$。
(3) 按$a:(10-a)$权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90a+86(10-a)}{a+10-a}=0.4a+86$(分)，
乙的平均成绩为x分，由笔试成绩排序可知x最大为89分，
丙的平均成绩：$\frac{84a+92(10-a)}{a+10-a}=92-0.8a$(分)。
要确保甲被录取，需甲的成绩高于乙、丙的最高成绩，列不等式组：
$\begin{cases}0.4a+86＞92-0.8a\\0.4a+86＞89\end{cases}$
解得$a＞7.5$，又
∵a为1~9的整数，
∴a的最小值为8。
【答案】
【知识点】
算术平均数，加权平均数，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数的计算与不等式的应用，解题时需要挖掘题目隐含的成绩排序、成绩为整数等条件，理清不同规则下的成绩大小关系，能够锻炼学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
(1) 笔试和面试同等重要时，最终成绩为算术平均数。先计算甲、丙的平均成绩，乙被录取说明乙的平均成绩最高，再结合“笔试成绩无重复、从高到低排列”的条件确定x的取值范围，结合x为整数即可求解。
(2) 成绩按4:6权重计算时，最终成绩为加权平均数。先算出甲、丙的加权成绩，根据“丙被录取、乙排第二”可得到三者成绩的大小关系，进而得到x的取值范围，结合x为整数求解。
(3) 先按权重$a:(10-a)$分别表示出甲、丙的加权成绩，要确保甲被录取，需甲的成绩同时高于丙的成绩、高于乙的最高可能成绩，列不等式组求解后取最小的整数a即可。
【解析】
(1) 计算三人算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90+86}{2}=88$(分)，乙的平均成绩：$\frac{x+x}{2}=x$(分)，丙的平均成绩：$\frac{84+92}{2}=88$(分)。
∵乙被录取，
∴乙的平均成绩最高，即$x＞88$；
又
∵笔试成绩从高到低无重复，即$84＜x＜90$，因此$88＜x＜90$。
∵x为整数，
∴$x=89$。
(2) 按4:6权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90×4+86×6}{4+6}=87.6$(分)，乙的平均成绩：$\frac{4x+6x}{4+6}=x$(分)，丙的平均成绩：$\frac{84×4+92×6}{4+6}=88.8$(分)。
∵丙被录取、乙排第二，
∴成绩大小为$87.6＜x＜88.8$，
∵x为整数，
∴$x=88$。
(3) 按$a:(10-a)$权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{90a+86(10-a)}{a+10-a}=0.4a+86$(分)，
乙的平均成绩为x分，由笔试成绩排序可知x最大为89分，
丙的平均成绩：$\frac{84a+92(10-a)}{a+10-a}=92-0.8a$(分)。
要确保甲被录取，需甲的成绩高于乙、丙的最高成绩，列不等式组：
$\begin{cases}0.4a+86＞92-0.8a\\0.4a+86＞89\end{cases}$
解得$a＞7.5$，又
∵a为1~9的整数，
∴a的最小值为8。
【答案】
【知识点】
算术平均数，加权平均数，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数的计算与不等式的应用，解题时需要挖掘题目隐含的成绩排序、成绩为整数等条件，理清不同规则下的成绩大小关系，能够锻炼学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
4[2026江苏镇江期中,较难]合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育.综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况,从该校1380名学生中随机调查了100名学生的膳食情况,调查数据整理如下:
注:供能比为某物质提供的能量占人体所需总能量的百分比
(1)本次调查采用
(2)综合实践小组对调查数据进行了计算,样本中的蛋白质平均供能比为$14.585\% (15.4\% × \dfrac{35}{100} + 15.5\% × \dfrac{25}{100} + 13.3\% × \dfrac{m}{100})$,请你计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比;
(3)结合以上的调查和计算,对照下表中的参考值,请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议.
注:供能比为某物质提供的能量占人体所需总能量的百分比
(1)本次调查采用
抽样调查
的调查方法(填“普查”或“抽样调查”),$m=$40
,$n=$44.1
;(2)综合实践小组对调查数据进行了计算,样本中的蛋白质平均供能比为$14.585\% (15.4\% × \dfrac{35}{100} + 15.5\% × \dfrac{25}{100} + 13.3\% × \dfrac{m}{100})$,请你计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比;
(3)结合以上的调查和计算,对照下表中的参考值,请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议.
答案
(1)$100-35-25=40$,$n\%=100\%-40.4\%-15.5\%=44.1\%$,即 $n=44.1$,故答案为抽样调查,40,44.1.
(2)样本中的脂肪平均供能比为 $36.6\% ×\frac{35}{100}+40.4\% ×\frac{25}{100}+39.2\% ×\frac{40}{100}=38.59\%$,样本中的碳水化合物平均供能比为 $48.0\% ×\frac{35}{100}+44.1\% ×\frac{25}{100}+47.5\% ×\frac{40}{100}=46.825\%$.
答:样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比分别为 38.59%,46.825%.
(3)该校学生蛋白质平均供能比在合理的范围内,脂肪平均供能比高于参考值,碳水化合物平均供能比低于参考值,膳食不合理,营养搭配不均衡,建议增加碳水化合物的摄入量,减少脂肪的摄入量.(答案不唯一,合理即可)
(2)样本中的脂肪平均供能比为 $36.6\% ×\frac{35}{100}+40.4\% ×\frac{25}{100}+39.2\% ×\frac{40}{100}=38.59\%$,样本中的碳水化合物平均供能比为 $48.0\% ×\frac{35}{100}+44.1\% ×\frac{25}{100}+47.5\% ×\frac{40}{100}=46.825\%$.
答:样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比分别为 38.59%,46.825%.
(3)该校学生蛋白质平均供能比在合理的范围内,脂肪平均供能比高于参考值,碳水化合物平均供能比低于参考值,膳食不合理,营养搭配不均衡,建议增加碳水化合物的摄入量,减少脂肪的摄入量.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 先判断调查方式：本次调查是从1380名学生中随机抽取100名开展研究，属于抽样调查；计算m时，已知三类调查人数总和为100，用总人数减去已知两类人数即可得m的值；计算n时，同一人群的蛋白质、脂肪、碳水化合物供能比之和为100%，用1减去对应人群的蛋白质、脂肪供能比即可得n的值。
(2) 第二问考查加权平均数的计算，参考题目给出的蛋白质平均供能比的计算逻辑，分别将三类人群的脂肪供能比、碳水化合物供能比乘以对应人群占总样本的权重（即人数占比），求和即可得到对应的平均供能比。
(3) 第三问将计算得到的三类物质平均供能比和参考值对比，找到供能比不符合参考范围的物质，针对性提出膳食调整建议即可。
【解析】
(1) 本次调查从全体学生中抽取部分样本开展，因此采用抽样调查的方法；
总调查人数为100，因此$m=100-35-25=40$；
同一人群三类供能比之和为100%，因此$n\%=100\%-40.4\%-15.5\%=44.1\%$，即$n=44.1$。
(2) 按照加权平均数的计算方法：
脂肪平均供能比 = $36.6\% ×\frac{35}{100}+40.4\% ×\frac{25}{100}+39.2\% ×\frac{40}{100}=12.81\%+10.1\%+15.68\%=38.59\%$
碳水化合物平均供能比 = $48.0\% ×\frac{35}{100}+44.1\% ×\frac{25}{100}+47.5\% ×\frac{40}{100}=16.8\%+11.025\%+19\%=46.825\%$
(3) 对照参考值可知，该校学生蛋白质平均供能比在合理范围内，脂肪平均供能比高于参考值，碳水化合物平均供能比低于参考值，膳食搭配不均衡，因此可针对性提出调整建议。
【答案】
(1) 抽样调查，40，44.1
(2) 样本中的脂肪平均供能比为38.59%，碳水化合物平均供能比为46.825%
(3) 建议减少脂肪的摄入量，增加碳水化合物的摄入量（答案合理即可）
【知识点】
抽样调查，加权平均数计算，统计数据分析
【点评】
本题结合学生膳食营养的生活场景命题，既考查了统计调查方式判断、加权平均数计算等基础知识点，也要求学生结合计算结果分析实际问题、提出合理建议，注重对知识应用能力的考查，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 先判断调查方式：本次调查是从1380名学生中随机抽取100名开展研究，属于抽样调查；计算m时，已知三类调查人数总和为100，用总人数减去已知两类人数即可得m的值；计算n时，同一人群的蛋白质、脂肪、碳水化合物供能比之和为100%，用1减去对应人群的蛋白质、脂肪供能比即可得n的值。
(2) 第二问考查加权平均数的计算，参考题目给出的蛋白质平均供能比的计算逻辑，分别将三类人群的脂肪供能比、碳水化合物供能比乘以对应人群占总样本的权重（即人数占比），求和即可得到对应的平均供能比。
(3) 第三问将计算得到的三类物质平均供能比和参考值对比，找到供能比不符合参考范围的物质，针对性提出膳食调整建议即可。
【解析】
(1) 本次调查从全体学生中抽取部分样本开展，因此采用抽样调查的方法；
总调查人数为100，因此$m=100-35-25=40$；
同一人群三类供能比之和为100%，因此$n\%=100\%-40.4\%-15.5\%=44.1\%$，即$n=44.1$。
(2) 按照加权平均数的计算方法：
脂肪平均供能比 = $36.6\% ×\frac{35}{100}+40.4\% ×\frac{25}{100}+39.2\% ×\frac{40}{100}=12.81\%+10.1\%+15.68\%=38.59\%$
碳水化合物平均供能比 = $48.0\% ×\frac{35}{100}+44.1\% ×\frac{25}{100}+47.5\% ×\frac{40}{100}=16.8\%+11.025\%+19\%=46.825\%$
(3) 对照参考值可知，该校学生蛋白质平均供能比在合理范围内，脂肪平均供能比高于参考值，碳水化合物平均供能比低于参考值，膳食搭配不均衡，因此可针对性提出调整建议。
【答案】
(1) 抽样调查，40，44.1
(2) 样本中的脂肪平均供能比为38.59%，碳水化合物平均供能比为46.825%
(3) 建议减少脂肪的摄入量，增加碳水化合物的摄入量（答案合理即可）
【知识点】
抽样调查，加权平均数计算，统计数据分析
【点评】
本题结合学生膳食营养的生活场景命题，既考查了统计调查方式判断、加权平均数计算等基础知识点，也要求学生结合计算结果分析实际问题、提出合理建议，注重对知识应用能力的考查，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.6
