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1 如果二次三项式$x^2+px+q$能分解成$(x+5)(x-1)$的形式，则方程$x^2+px+q=0$的两个根为
（
A.$x_1=-5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=5,x_2=-1$
D.$x_1=5,x_2=1$
（
B
）A.$x_1=-5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=5,x_2=-1$
D.$x_1=5,x_2=1$
答案
1.B 【解析】根据题意得，$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=-5,x_2=1$，故方程$x^2+px+q=0$的两个根为$x_1=-5,x_2=1$，故选B.
解析
【分析】
本题可利用因式分解法解一元二次方程的原理求解。首先已知二次三项式$x^2+px+q$可分解为$(x+5)(x-1)$，因此对应的一元二次方程$x^2+px+q=0$可等价转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
∵ 二次三项式$x^2+px+q=(x+5)(x-1)$
∴ 方程$x^2+px+q=0$可转化为：$(x+5)(x-1)=0$
根据乘法的性质，乘积为0的两个因式至少有一个为0，可得：
$x+5=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=-5$，$x_2=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、二次三项式的因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察因式分解法解一元二次方程的基本原理，解题过程无需复杂计算，熟练掌握因式分解法解方程的逻辑即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题可利用因式分解法解一元二次方程的原理求解。首先已知二次三项式$x^2+px+q$可分解为$(x+5)(x-1)$，因此对应的一元二次方程$x^2+px+q=0$可等价转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
∵ 二次三项式$x^2+px+q=(x+5)(x-1)$
∴ 方程$x^2+px+q=0$可转化为：$(x+5)(x-1)=0$
根据乘法的性质，乘积为0的两个因式至少有一个为0，可得：
$x+5=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=-5$，$x_2=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、二次三项式的因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察因式分解法解一元二次方程的基本原理，解题过程无需复杂计算，熟练掌握因式分解法解方程的逻辑即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2[2026 浙江温州质检]用因式分解法解方程$9x^2=(x-2)^2$时，因式分解结果正确的是（
A.$4(2x-1)(x-1)=0$
B.$4(2x+1)(x-1)=0$
C.$4(2x-1)(x+1)=0$
D.$4(2x+1)(x+1)=0$
C
）A.$4(2x-1)(x-1)=0$
B.$4(2x+1)(x-1)=0$
C.$4(2x-1)(x+1)=0$
D.$4(2x+1)(x+1)=0$
答案
2.C 【解析】$\because 9x^2=(x-2)^2,\therefore (3x)^2-(x-2)^2=0,\therefore [3x+(x-2)][3x-(x-2)]=0,\therefore (4x-2)(2x+2)=0,\therefore 4(2x-1)(x+1)=0$,故选C.
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察到方程两边均为完全平方的形式，先将右侧的项移到左侧，构造出平方差的结构，再运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，最后对分解后的因式提取公因式化简，对比选项即可得到正确结果。
【解析】
对原方程移项可得：
$9x^2 - (x-2)^2 = 0$
将$9x^2$改写为$(3x)^2$，式子符合平方差公式的形式，代入公式分解得：
$[3x + (x-2)][3x - (x-2)] = 0$
分别化简两个括号内的代数式，注意去括号的符号规则：
第一个括号：$3x + x - 2 = 4x - 2$
第二个括号：$3x - x + 2 = 2x + 2$
此时方程变为：
$(4x - 2)(2x + 2) = 0$
分别对两个因式提取公因式：$4x-2=2(2x-1)$，$2x+2=2(x+1)$，代入整理得：
$2(2x-1) × 2(x+1) = 0$，即$4(2x-1)(x+1) = 0$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 平方差公式
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式在解一元二次方程中的应用，解题时需注意先移项再分解，去括号时不要弄错符号，提取公因式要彻底，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察到方程两边均为完全平方的形式，先将右侧的项移到左侧，构造出平方差的结构，再运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，最后对分解后的因式提取公因式化简，对比选项即可得到正确结果。
【解析】
对原方程移项可得：
$9x^2 - (x-2)^2 = 0$
将$9x^2$改写为$(3x)^2$，式子符合平方差公式的形式，代入公式分解得：
$[3x + (x-2)][3x - (x-2)] = 0$
分别化简两个括号内的代数式，注意去括号的符号规则：
第一个括号：$3x + x - 2 = 4x - 2$
第二个括号：$3x - x + 2 = 2x + 2$
此时方程变为：
$(4x - 2)(2x + 2) = 0$
分别对两个因式提取公因式：$4x-2=2(2x-1)$，$2x+2=2(x+1)$，代入整理得：
$2(2x-1) × 2(x+1) = 0$，即$4(2x-1)(x+1) = 0$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 平方差公式
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式在解一元二次方程中的应用，解题时需注意先移项再分解，去括号时不要弄错符号，提取公因式要彻底，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
3 [2025 江苏无锡调研]用因式分解法解方程 $x^2 - px -6=0$,将等号左边分解后有一个因式是 $x-3$,另外一个因式是 $x+2$,则 $p$ 的值为 (
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
B
)A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
3.B 【解析】根据题意得 $x^2-px-6=(x-3)(x+2)=x^2-x-6,\therefore p=1$. 故选B.
解析
【分析】
要确定p的值，可利用因式分解和整式乘法的互逆关系思考：题目已经给出方程左边因式分解的两个因式，两个因式相乘得到的多项式必然和原方程左边的多项式完全相同。我们只需要先将两个因式展开，再让两个多项式的对应项系数相等，就能列出关于p的等式，进而求出p的值。
【解析】
解：根据题意可得：
$x^2 - px -6 = (x-3)(x+2)$
先展开右边的整式乘积：
$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
因此原等式可转化为：
$x^2 - px -6 = x^2 - x -6$
根据多项式相等时对应同类项的系数相等，可得一次项系数满足：
$-p = -1$
解得$p=1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，整式乘法，多项式系数对应
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是抓住多项式相等时对应项系数相等的特点，熟练掌握整式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要确定p的值，可利用因式分解和整式乘法的互逆关系思考：题目已经给出方程左边因式分解的两个因式，两个因式相乘得到的多项式必然和原方程左边的多项式完全相同。我们只需要先将两个因式展开，再让两个多项式的对应项系数相等，就能列出关于p的等式，进而求出p的值。
【解析】
解：根据题意可得：
$x^2 - px -6 = (x-3)(x+2)$
先展开右边的整式乘积：
$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
因此原等式可转化为：
$x^2 - px -6 = x^2 - x -6$
根据多项式相等时对应同类项的系数相等，可得一次项系数满足：
$-p = -1$
解得$p=1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，整式乘法，多项式系数对应
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是抓住多项式相等时对应项系数相等的特点，熟练掌握整式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4[2026江苏苏州期末]关于x的方程$x^2 - 2mx + m^2 = 4$的两个根$x_1,x_2$满足$x_1 = 2x_2 + 3$，且$x_1 ＞ x_2$，则m的值为（
A.-3
B.1
C.3
D.9
C
）A.-3
B.1
C.3
D.9
答案
4.C 【解析】$\because x^2 - 2mx + m^2 = 4,\therefore (x-m+2)(x-m-2)=0,\therefore x-m+2=0$ 或 $x-m-2=0. \because x_1＞x_2,\therefore x_1=m+2,x_2=m-2. \because x_1 = 2x_2 + 3,\therefore m+2=2(m-2)+3$, 解得 $m=3$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先处理给定的一元二次方程，观察到方程左边是完全平方式，可先移项将方程转化为平方差的形式，用因式分解法快速求出两个根的表达式；再根据$x_1＞x_2$的条件，确定$x_1$、$x_2$分别对应的含$m$的代数式；最后将表达式代入已知的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
先对原方程变形：
∵ $x^2 - 2mx + m^2 = 4$
∴ 左边写成完全平方形式得 $(x-m)^2 = 4$
移项后用平方差公式因式分解：$(x-m)^2 - 2^2 = 0$，即 $(x-m+2)(x-m-2)=0$
∴ $x-m+2=0$ 或 $x-m-2=0$，解得方程的两个根为 $x=m+2$，$x=m-2$
∵ $x_1 ＞ x_2$，
∴ $x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
将其代入$x_1 = 2x_2 + 3$得：
$m+2 = 2(m-2) + 3$
展开右边：$m+2 = 2m - 4 + 3$
整理得：$m+2 = 2m -1$
移项求解得：$m=3$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 平方差公式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，准确用含参数的式子表示出两个根，再结合题干给出的根的关系列方程求解，注意不要搞混大小根对应的表达式即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先处理给定的一元二次方程，观察到方程左边是完全平方式，可先移项将方程转化为平方差的形式，用因式分解法快速求出两个根的表达式；再根据$x_1＞x_2$的条件，确定$x_1$、$x_2$分别对应的含$m$的代数式；最后将表达式代入已知的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
先对原方程变形：
∵ $x^2 - 2mx + m^2 = 4$
∴ 左边写成完全平方形式得 $(x-m)^2 = 4$
移项后用平方差公式因式分解：$(x-m)^2 - 2^2 = 0$，即 $(x-m+2)(x-m-2)=0$
∴ $x-m+2=0$ 或 $x-m-2=0$，解得方程的两个根为 $x=m+2$，$x=m-2$
∵ $x_1 ＞ x_2$，
∴ $x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
将其代入$x_1 = 2x_2 + 3$得：
$m+2 = 2(m-2) + 3$
展开右边：$m+2 = 2m - 4 + 3$
整理得：$m+2 = 2m -1$
移项求解得：$m=3$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 平方差公式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，准确用含参数的式子表示出两个根，再结合题干给出的根的关系列方程求解，注意不要搞混大小根对应的表达式即可。
【难度系数】
0.7
5若代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，则$x$的值为
1或3
。答案
5.1或3 【解析】$\because$ 代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数,$\therefore x(x-1)+3(1-x)=0$,即$(x-3)(x-1)=0,\therefore x-3=0$ 或 $x-1=0$,解得 $x=3$ 或 $x=1$. 故答案为 1 或 3.
解析
【分析】
解题时首先利用互为相反数的性质建立方程：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出等式$x(x-1)+3(1-x)=0$。接下来观察方程结构，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，可将式子变形后提取公因式$x-1$，把一元二次方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到$x$的取值。
【解析】
∵ 代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，
∴ $x(x-1)+3(1-x)=0$，
变形得：$x(x-1)-3(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(x-3)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x=3$ 或 $x=1$。
【答案】
1或3
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据相反数的性质正确列出方程，再熟练运用因式分解法求解一元二次方程，变形时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用互为相反数的性质建立方程：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出等式$x(x-1)+3(1-x)=0$。接下来观察方程结构，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，可将式子变形后提取公因式$x-1$，把一元二次方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到$x$的取值。
【解析】
∵ 代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，
∴ $x(x-1)+3(1-x)=0$，
变形得：$x(x-1)-3(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)(x-3)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x=3$ 或 $x=1$。
【答案】
1或3
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据相反数的性质正确列出方程，再熟练运用因式分解法求解一元二次方程，变形时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
6 方程$x^2 + 6x + 9 = 0$的解是
$x_1=x_2=-3$
。答案
6.$x_1=x_2=-3$ 【解析】$x^2 + 6x + 9 = 0,\therefore (x+3)^2 = 0,\therefore x_1=x_2=-3$.
解析
【分析】
首先观察一元二次方程的左侧部分，$x^2+6x+9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构特征，其中$a=x$，$b=3$，因此可以先对左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理求解方程。
【解析】
解：对原方程左边因式分解，可得：
$(x+3)^2=0$
因此$x+3=0$
解得$x_1=x_2=-3$
【答案】
$x_1=x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是识别出方程左侧的完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察一元二次方程的左侧部分，$x^2+6x+9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构特征，其中$a=x$，$b=3$，因此可以先对左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理求解方程。
【解析】
解：对原方程左边因式分解，可得：
$(x+3)^2=0$
因此$x+3=0$
解得$x_1=x_2=-3$
【答案】
$x_1=x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是识别出方程左侧的完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7[2025江苏泰州期末]在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为$a*b=a^2 - b^2$，根据这个规则，方程$(x+2)*5=0$的解为
$x=3$或$x=-7$
。答案
7.$x=3$或$x=-7$ 【解析】根据题意得$(x+2)*5=(x+2)^2-5^2=0,\therefore x^2+4x-21=0,\therefore (x-3)(x+7)=0,\therefore x=3$ 或 $x=-7$. 故答案为 $x=3$ 或 $x=-7$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解题目给出的新运算“*”的规则：$a*b=a^2-b^2$；第二步将方程中的$(x+2)$看作规则里的$a$，$5$看作规则里的$b$，把自定义运算转化为我们熟悉的一元二次方程；第三步用因式分解法求解得到的一元二次方程，即可得到方程的解。
【解析】
根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+2)*5&=(x+2)^2 - 5^2 = 0\\\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得：
$(x+2 - 5)(x+2 + 5)=0$
化简得：
$(x-3)(x+7)=0$
所以$x-3=0$或$x+7=0$
解得$x=3$或$x=-7$
【答案】
$x=3$或$x=-7$
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是正确将新运算转化为常规代数运算，再运用所学的解方程方法求解，整体解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解题目给出的新运算“*”的规则：$a*b=a^2-b^2$；第二步将方程中的$(x+2)$看作规则里的$a$，$5$看作规则里的$b$，把自定义运算转化为我们熟悉的一元二次方程；第三步用因式分解法求解得到的一元二次方程，即可得到方程的解。
【解析】
根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+2)*5&=(x+2)^2 - 5^2 = 0\\\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得：
$(x+2 - 5)(x+2 + 5)=0$
化简得：
$(x-3)(x+7)=0$
所以$x-3=0$或$x+7=0$
解得$x=3$或$x=-7$
【答案】
$x=3$或$x=-7$
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法结合考查，解题的核心是正确将新运算转化为常规代数运算，再运用所学的解方程方法求解，整体解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
8 根据图中的程序,当输入一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解$x$时,输出的结果$y=$
-4或2
.答案
8.-4或2 【解析】$x^2-2x=0$,解得 $x_1=0,x_2=2$. 当 $x=0$ 时,$y=x-4=-4$. 当 $x=2$ 时,$y=-x+4=2$. 故答案为 -4 或 2.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解一元二次方程$x^2-2x=0$，得到x的所有取值；第二步将每个x的取值，根据程序给出的分段函数的自变量范围，判断所属区间，代入对应的函数解析式计算y的值，最终汇总得到输出结果。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2-2x=0$：
因式分解得 $x(x-2)=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
接下来分别代入分段函数计算：
① 当$x=0$时，满足$x≤1$，代入$y=x-4$，得$y=0-4=-4$；
② 当$x=2$时，满足$x＞1$，代入$y=-x+4$，得$y=-2+4=2$。
综上，输出的结果y为-4或2。
【答案】
-4或2
【知识点】
因式分解法解方程、分段函数求值
【点评】
本题是一元二次方程求解与分段函数计算的综合基础题，解题时需要先准确求出方程的解，再根据自变量的取值范围选择对应的函数式代入计算，注意不要漏解或代错函数式。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求解一元二次方程$x^2-2x=0$，得到x的所有取值；第二步将每个x的取值，根据程序给出的分段函数的自变量范围，判断所属区间，代入对应的函数解析式计算y的值，最终汇总得到输出结果。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2-2x=0$：
因式分解得 $x(x-2)=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
接下来分别代入分段函数计算：
① 当$x=0$时，满足$x≤1$，代入$y=x-4$，得$y=0-4=-4$；
② 当$x=2$时，满足$x＞1$，代入$y=-x+4$，得$y=-2+4=2$。
综上，输出的结果y为-4或2。
【答案】
-4或2
【知识点】
因式分解法解方程、分段函数求值
【点评】
本题是一元二次方程求解与分段函数计算的综合基础题，解题时需要先准确求出方程的解，再根据自变量的取值范围选择对应的函数式代入计算，注意不要漏解或代错函数式。
【难度系数】
0.8
9[2025江苏镇江期中]解方程：
(1)$x^2 + 6x -7=0$；
(2)$3x(2x+1)=4x+2$。
(1)$x^2 + 6x -7=0$；
(2)$3x(2x+1)=4x+2$。
答案
9.【解】(1)$\because x^2 + 6x -7=0,\therefore (x+7)(x-1)=0,\therefore x+7=0$ 或 $x-1=0,\therefore x_1=-7,x_2=1$.
(2)$\because 3x(2x+1)=4x+2,\therefore 3x(2x+1)-2(2x+1)=0,\therefore (3x-2)(2x+1)=0,\therefore 3x-2=0$ 或 $2x+1=0,\therefore x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)$\because 3x(2x+1)=4x+2,\therefore 3x(2x+1)-2(2x+1)=0,\therefore (3x-2)(2x+1)=0,\therefore 3x-2=0$ 或 $2x+1=0,\therefore x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理转化为一元一次方程求解。
(1) 方程左侧为二次三项式，可直接用十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，再分别令两个因式为0即可得到解；
(2) 先将右侧的式子移到左侧，观察到式子中含有公因式(2x+1)，通过提取公因式分解因式，注意不可直接两边除以(2x+1)，否则会漏掉$x=-\frac{1}{2}$这个根。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x -7=0$用十字相乘法分解因式：
$\because x^2 + 6x -7=(x+7)(x-1)=0$
$\therefore x+7=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=-7,x_2=1$
(2) 先移项将方程右边化为0：
$\because 3x(2x+1)=4x+2$
$\therefore 3x(2x+1)-2(2x+1)=0$
提取公因式$(2x+1)$得：$(3x-2)(2x+1)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $2x+1=0$
解得：$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-7,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握十字相乘、提公因式等因式分解方法是解题的关键，求解含公因式的方程时，不能直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理转化为一元一次方程求解。
(1) 方程左侧为二次三项式，可直接用十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，再分别令两个因式为0即可得到解；
(2) 先将右侧的式子移到左侧，观察到式子中含有公因式(2x+1)，通过提取公因式分解因式，注意不可直接两边除以(2x+1)，否则会漏掉$x=-\frac{1}{2}$这个根。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x -7=0$用十字相乘法分解因式：
$\because x^2 + 6x -7=(x+7)(x-1)=0$
$\therefore x+7=0$ 或 $x-1=0$
解得：$x_1=-7,x_2=1$
(2) 先移项将方程右边化为0：
$\because 3x(2x+1)=4x+2$
$\therefore 3x(2x+1)-2(2x+1)=0$
提取公因式$(2x+1)$得：$(3x-2)(2x+1)=0$
$\therefore 3x-2=0$ 或 $2x+1=0$
解得：$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-7,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握十字相乘、提公因式等因式分解方法是解题的关键，求解含公因式的方程时，不能直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
10 [2025江苏无锡期中]解方程：
(1)$(x-2)^2=4$；
(2)$x^2 -6x +3=0$；
(3)$2x^2 +x -2=0$；
(4)$5x(x-1)=x-1$。
(1)$(x-2)^2=4$；
(2)$x^2 -6x +3=0$；
(3)$2x^2 +x -2=0$；
(4)$5x(x-1)=x-1$。
答案
10.【解】(1)$\because (x-2)^2=4,\therefore x-2=\pm2,\therefore x_1=4,x_2=0$.
(2)$\because x^2 -6x +3=0,\therefore x^2-6x+9-9+3=0,\therefore (x-3)^2=6,\therefore x-3=\pm\sqrt{6},\therefore x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$.
(3)$2x^2+x-2=0,\because a=2,b=1,c=-2,\therefore b^2-4ac=1^2-4×2×(-2)=17＞0,\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$.
(4)$\because 5x(x-1)=x-1,\therefore 5x(x-1)-(x-1)=0,\therefore (x-1)(5x-1)=0,\therefore x-1=0$ 或 $5x-1=0,\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$.
(2)$\because x^2 -6x +3=0,\therefore x^2-6x+9-9+3=0,\therefore (x-3)^2=6,\therefore x-3=\pm\sqrt{6},\therefore x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$.
(3)$2x^2+x-2=0,\because a=2,b=1,c=-2,\therefore b^2-4ac=1^2-4×2×(-2)=17＞0,\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$.
(4)$\because 5x(x-1)=x-1,\therefore 5x(x-1)-(x-1)=0,\therefore (x-1)(5x-1)=0,\therefore x-1=0$ 或 $5x-1=0,\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
1. 方程(1)左边是完全平方式，右边为非负常数，选用直接开平方法，注意开平方后有正负两个结果；
2. 方程(2)二次项系数为1，一次项系数是偶数，选用配方法求解，先将常数项移到等号右侧，再给左右两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解；
3. 方程(3)无特殊结构特征，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式计算；
4. 方程(4)左右两边都含有公因式(x-1)，选用因式分解法，注意不能直接两边除以(x-1)，否则会漏掉x=1的根，先移项提取公因式，再令每个因式为0求解。
【解析】
(1) $\because (x-2)^2=4$，$\therefore$ 两边开平方得 $x-2=\pm2$，
当$x-2=2$时，$x=4$；当$x-2=-2$时，$x=0$。
(2) $\because x^2 -6x +3=0$，移项得$x^2-6x=-3$，配方得$x^2-6x+9=-3+9$，$\therefore (x-3)^2=6$，
开平方得$x-3=\pm\sqrt{6}$，$\therefore x=3\pm\sqrt{6}$。
(3) 对于$2x^2 +x -2=0$，$\because a=2,b=1,c=-2$，$\therefore b^2-4ac=1^2-4×2×(-2)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$。
(4) $\because 5x(x-1)=x-1$，移项得$5x(x-1)-(x-1)=0$，提取公因式得$(x-1)(5x-1)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $5x-1=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；
(2)$x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$；
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种基础解法，解题时可根据方程的形式灵活选择最简便的方法，需要注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.75
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
1. 方程(1)左边是完全平方式，右边为非负常数，选用直接开平方法，注意开平方后有正负两个结果；
2. 方程(2)二次项系数为1，一次项系数是偶数，选用配方法求解，先将常数项移到等号右侧，再给左右两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解；
3. 方程(3)无特殊结构特征，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式计算；
4. 方程(4)左右两边都含有公因式(x-1)，选用因式分解法，注意不能直接两边除以(x-1)，否则会漏掉x=1的根，先移项提取公因式，再令每个因式为0求解。
【解析】
(1) $\because (x-2)^2=4$，$\therefore$ 两边开平方得 $x-2=\pm2$，
当$x-2=2$时，$x=4$；当$x-2=-2$时，$x=0$。
(2) $\because x^2 -6x +3=0$，移项得$x^2-6x=-3$，配方得$x^2-6x+9=-3+9$，$\therefore (x-3)^2=6$，
开平方得$x-3=\pm\sqrt{6}$，$\therefore x=3\pm\sqrt{6}$。
(3) 对于$2x^2 +x -2=0$，$\because a=2,b=1,c=-2$，$\therefore b^2-4ac=1^2-4×2×(-2)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$。
(4) $\because 5x(x-1)=x-1$，移项得$5x(x-1)-(x-1)=0$，提取公因式得$(x-1)(5x-1)=0$，
$\therefore x-1=0$ 或 $5x-1=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；
(2)$x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$；
(4)$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种基础解法，解题时可根据方程的形式灵活选择最简便的方法，需要注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏解，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.75
11 小明与小红两位同学解方程$2(x+3)=(x+3)^2$的过程如下：
小明：
两边同除以$x+3$，得$2=x+3$，
则$x=-1$.
小红：
移项，得$2(x+3)-(x+3)^2=0$.
提取公因式，得$(x+3)(2-x+3)=0$.
则$x+3=0$或$2-x+3=0$，
解得$x_1=-3,x_2=5$.
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内横线上打“√”；若错误，请在框内横线上打“×”，并写出你的解答过程.
小明：
两边同除以$x+3$，得$2=x+3$，
则$x=-1$.
×
小红：
移项，得$2(x+3)-(x+3)^2=0$.
提取公因式，得$(x+3)(2-x+3)=0$.
则$x+3=0$或$2-x+3=0$，
解得$x_1=-3,x_2=5$.
×
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内横线上打“√”；若错误，请在框内横线上打“×”，并写出你的解答过程.
答案
11.【解】小明:没有考虑 $x+3=0$ 的情况,所以解法不正确；
小红:提取公因式时出现了错误,所以解法不正确.故答案为×,×.
解答过程:移项,得 $2(x+3)-(x+3)^2=0$. 提取公因式,得 $(x+3)(2-x-3)=0$,则 $x+3=0$ 或 $2-x-3=0$,解得 $x_1=-3,x_2=-1$.
小红:提取公因式时出现了错误,所以解法不正确.故答案为×,×.
解答过程:移项,得 $2(x+3)-(x+3)^2=0$. 提取公因式,得 $(x+3)(2-x-3)=0$,则 $x+3=0$ 或 $2-x-3=0$,解得 $x_1=-3,x_2=-1$.
解析
【分析】
解题时首先要分别分析两位同学解法的错误点：①小明的错误：根据等式性质，等式两边只能同时除以不为0的数或整式，小明直接除以$x+3$，没有考虑$x+3=0$的情况，会丢失根；②小红的错误：提取公因式后去括号时符号出错，$-(x+3)$去括号后应为$-x-3$，小红错误写成$-x+3$。之后按正确的因式分解法步骤解方程：先移项将所有项移到等号同侧，再提取公因式，将二次方程转化为两个一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
1. 解法正误判断：
小明直接除以整式$x+3$，未考虑$x+3=0$的情况，遗漏根，解法错误；小红提取公因式后去括号符号错误，解法错误，故两人的解法后均打×。
2. 正确解答过程：
移项，得 $2(x+3)-(x+3)^2=0$，
提取公因式$(x+3)$，得 $(x+3)[2-(x+3)]=0$，
去括号化简，得 $(x+3)(2-x-3)=0$，即$(x+3)(-x-1)=0$，
则 $x+3=0$ 或 $-x-1=0$，
分别解得 $x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
小明：×；小红：×；方程的解为$x_1=-3,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，易错点有两个：一是解方程时不可随意除以可能为0的整式，否则会造成丢根；二是去括号、提取公因式时要注意符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要分别分析两位同学解法的错误点：①小明的错误：根据等式性质，等式两边只能同时除以不为0的数或整式，小明直接除以$x+3$，没有考虑$x+3=0$的情况，会丢失根；②小红的错误：提取公因式后去括号时符号出错，$-(x+3)$去括号后应为$-x-3$，小红错误写成$-x+3$。之后按正确的因式分解法步骤解方程：先移项将所有项移到等号同侧，再提取公因式，将二次方程转化为两个一次方程，分别求解即可得到全部根。
【解析】
1. 解法正误判断：
小明直接除以整式$x+3$，未考虑$x+3=0$的情况，遗漏根，解法错误；小红提取公因式后去括号符号错误，解法错误，故两人的解法后均打×。
2. 正确解答过程：
移项，得 $2(x+3)-(x+3)^2=0$，
提取公因式$(x+3)$，得 $(x+3)[2-(x+3)]=0$，
去括号化简，得 $(x+3)(2-x-3)=0$，即$(x+3)(-x-1)=0$，
则 $x+3=0$ 或 $-x-1=0$，
分别解得 $x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
小明：×；小红：×；方程的解为$x_1=-3,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，易错点有两个：一是解方程时不可随意除以可能为0的整式，否则会造成丢根；二是去括号、提取公因式时要注意符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
