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1[2025 江苏连云港调研,中]已知关于$x$的方程$4x^2 - px + q = 0$通过配方可变形为$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$，则$\frac{q}{p}$的值为（
A.$-4$
B.$4$
C.$-8$
D.$8$
A
）A.$-4$
B.$4$
C.$-8$
D.$8$
答案
∵ $4x^2 -px +q =0$,
∴ $x^2 -\dfrac{p}{4}x =-\dfrac{q}{4}$,
∴ $x^2 -\dfrac{p}{4}x +(\dfrac{p}{8})^2=-\dfrac{q}{4}+(\dfrac{p}{8})^2$,
∴ $(x-\dfrac{p}{8})^2=\dfrac{p^2 -16q}{64}$,
∴ $\begin{cases}\dfrac{p}{8}=\dfrac{1}{4},\\\dfrac{p^2 -16q}{64}=\dfrac{33}{16},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=2,\\q=-8,\end{cases}$
∴ $\dfrac{q}{p}=\dfrac{-8}{2}=-4$,故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先将原一元二次方程按照配方法的标准步骤变形，再和题目给出的配方后的式子做对应，得到关于参数p、q的方程组，求解出p、q的数值后，就能计算$\frac{q}{p}$的比值。配方法的核心逻辑是：先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等号两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式。
【解析】
已知原方程为$4x^2 - px + q = 0$，
1. 将二次项系数化为1，方程两边同时除以4，移项得：
$x^2 - \frac{p}{4}x = -\frac{q}{4}$
2. 配方，等号两侧同时加一次项系数一半的平方$(\frac{p}{8})^2$：
$x^2 - \frac{p}{4}x + (\frac{p}{8})^2 = -\frac{q}{4} + (\frac{p}{8})^2$
整理为完全平方式形式：
$(x - \frac{p}{8})^2 = \frac{p^2 - 16q}{64}$
3. 结合题目给出的配方结果$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$，两式对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{p}{8}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{p^2 - 16q}{64}=\dfrac{33}{16}\end{cases}$
解第一个方程得$p=2$，将$p=2$代入第二个方程：
$\frac{4 - 16q}{64} = \frac{33}{16}$，解得$q=-8$
4. 计算比值：$\frac{q}{p}=\frac{-8}{2}=-4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；方程系数对应；代数式求值
【点评】
本题主要考查配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，通过配方后等式的对应关系建立参数方程组，进而求出参数计算比值，核心是对配方法原理的理解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以先将原一元二次方程按照配方法的标准步骤变形，再和题目给出的配方后的式子做对应，得到关于参数p、q的方程组，求解出p、q的数值后，就能计算$\frac{q}{p}$的比值。配方法的核心逻辑是：先将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，最后在等号两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式。
【解析】
已知原方程为$4x^2 - px + q = 0$，
1. 将二次项系数化为1，方程两边同时除以4，移项得：
$x^2 - \frac{p}{4}x = -\frac{q}{4}$
2. 配方，等号两侧同时加一次项系数一半的平方$(\frac{p}{8})^2$：
$x^2 - \frac{p}{4}x + (\frac{p}{8})^2 = -\frac{q}{4} + (\frac{p}{8})^2$
整理为完全平方式形式：
$(x - \frac{p}{8})^2 = \frac{p^2 - 16q}{64}$
3. 结合题目给出的配方结果$(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$，两式对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{p}{8}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{p^2 - 16q}{64}=\dfrac{33}{16}\end{cases}$
解第一个方程得$p=2$，将$p=2$代入第二个方程：
$\frac{4 - 16q}{64} = \frac{33}{16}$，解得$q=-8$
4. 计算比值：$\frac{q}{p}=\frac{-8}{2}=-4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；方程系数对应；代数式求值
【点评】
本题主要考查配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，通过配方后等式的对应关系建立参数方程组，进而求出参数计算比值，核心是对配方法原理的理解。
【难度系数】
0.6
2[2025福建泉州期中,中]已知实数a满足$3a^2 + \dfrac{3}{a^2} - 12a - \dfrac{12}{a} + 19 = 1$,则$a + \dfrac{1}{a} =$
2
.答案
∵ $3a^2 +\dfrac{3}{a^2} -12a -\dfrac{12}{a} +19 =1$,
∴ $3(a+\dfrac{1}{a})^2 -6 -12(a+\dfrac{1}{a}) +19 =1$,整理得$(a+\dfrac{1}{a})^2 -4(a+\dfrac{1}{a}) +4 =0$,
∴ $[(a+\dfrac{1}{a})-2]^2=0$,
∴ $a+\dfrac{1}{a}=2$,故答案为 2.
解析
【分析】
观察已知方程，发现同时含有$a^2+\frac{1}{a^2}$和$a+\frac{1}{a}$两类代数式，可利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将$a+\frac{1}{a}$看作一个整体，把原方程转化为关于这个整体的一元二次方程，再用配方法求解即可。
【解析】
已知$3a^2 + \dfrac{3}{a^2} - 12a - \dfrac{12}{a} + 19 = 1$，
将$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$代入方程，可得：
$3[(a+\dfrac{1}{a})^2 - 2] - 12(a+\dfrac{1}{a}) + 19 = 1$
展开整理得：$3(a+\dfrac{1}{a})^2 -6 -12(a+\dfrac{1}{a}) + 19 =1$
化简得：$3(a+\dfrac{1}{a})^2 -12(a+\dfrac{1}{a}) +12 =0$
两边同时除以3得：$(a+\dfrac{1}{a})^2 -4(a+\dfrac{1}{a}) +4 =0$
配方得：$[(a+\dfrac{1}{a})-2]^2=0$
解得：$a+\dfrac{1}{a}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
完全平方公式，整体换元法，配方法解一元二次方程
【点评】
本题是代数式变形与一元二次方程解法结合的典型题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，将所求代数式作为整体转化为一元二次方程求解。
【难度系数】
0.6
观察已知方程，发现同时含有$a^2+\frac{1}{a^2}$和$a+\frac{1}{a}$两类代数式，可利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将$a+\frac{1}{a}$看作一个整体，把原方程转化为关于这个整体的一元二次方程，再用配方法求解即可。
【解析】
已知$3a^2 + \dfrac{3}{a^2} - 12a - \dfrac{12}{a} + 19 = 1$，
将$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$代入方程，可得：
$3[(a+\dfrac{1}{a})^2 - 2] - 12(a+\dfrac{1}{a}) + 19 = 1$
展开整理得：$3(a+\dfrac{1}{a})^2 -6 -12(a+\dfrac{1}{a}) + 19 =1$
化简得：$3(a+\dfrac{1}{a})^2 -12(a+\dfrac{1}{a}) +12 =0$
两边同时除以3得：$(a+\dfrac{1}{a})^2 -4(a+\dfrac{1}{a}) +4 =0$
配方得：$[(a+\dfrac{1}{a})-2]^2=0$
解得：$a+\dfrac{1}{a}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
完全平方公式，整体换元法，配方法解一元二次方程
【点评】
本题是代数式变形与一元二次方程解法结合的典型题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形，将所求代数式作为整体转化为一元二次方程求解。
【难度系数】
0.6
3 判断代数式的正负 [2025 山东枣庄期末,中]
无论$a,b$为何值,代数式$a^2 + 4b^2 + 8a - 12b + 26$的值总是 （
A.非负数
B.正数
C.0
D.负数
无论$a,b$为何值,代数式$a^2 + 4b^2 + 8a - 12b + 26$的值总是 （
B
）A.非负数
B.正数
C.0
D.负数
答案
$a^2 +4b^2 +8a -12b +26=(a+4)^2 -16 +(2b-3)^2 -9 +26=(a+4)^2 +(2b-3)^2 +1$.
∵ $(a+4)^2≥0$,$(2b-3)^2≥0$,
∴ $a^2 +4b^2 +8a -12b +26≥1$. 故选 B.
∵ $(a+4)^2≥0$,$(2b-3)^2≥0$,
∴ $a^2 +4b^2 +8a -12b +26≥1$. 故选 B.
解析
【分析】
要判断该代数式的正负，我们可采用配方法，将含a的项、含b的项分别凑成完全平方的形式，再结合完全平方的非负性判断整体取值。具体思路为：先把原式中a的二次项、一次项组合，b的二次项、一次项组合，分别配方后合并常数项，最后根据平方数大于等于0的性质推导代数式的取值范围。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 +4b^2 +8a -12b +26&=(a^2+8a)+(4b^2-12b)+26\\&=(a^2+8a+16-16)+[(2b)^2-2×2b×3+9-9]+26\\&=(a+4)^2 -16 +(2b-3)^2 -9 +26\\&=(a+4)^2 +(2b-3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a+4)^2≥0$，$(2b-3)^2≥0$，
因此$(a+4)^2 +(2b-3)^2 +1≥ 0+0+1=1$，即代数式的值总是大于等于1，为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的经典考法，解题核心是通过拆项组合将原式转化为完全平方式与常数的和，再结合平方数的非负性判断代数式取值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要判断该代数式的正负，我们可采用配方法，将含a的项、含b的项分别凑成完全平方的形式，再结合完全平方的非负性判断整体取值。具体思路为：先把原式中a的二次项、一次项组合，b的二次项、一次项组合，分别配方后合并常数项，最后根据平方数大于等于0的性质推导代数式的取值范围。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 +4b^2 +8a -12b +26&=(a^2+8a)+(4b^2-12b)+26\\&=(a^2+8a+16-16)+[(2b)^2-2×2b×3+9-9]+26\\&=(a+4)^2 -16 +(2b-3)^2 -9 +26\\&=(a+4)^2 +(2b-3)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a+4)^2≥0$，$(2b-3)^2≥0$，
因此$(a+4)^2 +(2b-3)^2 +1≥ 0+0+1=1$，即代数式的值总是大于等于1，为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的经典考法，解题核心是通过拆项组合将原式转化为完全平方式与常数的和，再结合平方数的非负性判断代数式取值，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.6
4 比较大小 [2025 江苏徐州期中,中]若 m 为实数,$P=-m^2 -m+1$,$Q=m^2 -5m+4$,则比较 P,Q 的大小可得
P＜Q
(用“＜”连接).答案
$Q-P=(m^2 -5m +4)-(-m^2 -m +1)=m^2 -5m +4 +m^2 +m -1=2m^2 -4m +3=2(m-1)^2 +1$.
∵ $(m-1)^2≥0$,
∴ $2(m-1)^2 +1≥1$,即$Q-P≥1$,
∴ $P＜Q$,故答案为$P＜Q$.
∵ $(m-1)^2≥0$,
∴ $2(m-1)^2 +1≥1$,即$Q-P≥1$,
∴ $P＜Q$,故答案为$P＜Q$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法，解题思路为：先计算两个代数式的差，再对差进行变形（本题使用刚学习的配方法，将差转化为含完全平方式的形式），随后根据完全平方式的非负性判断差的符号，最后根据差的符号确定两个代数式的大小关系。
【解析】
使用作差法比较P和Q的大小，计算Q-P：
$Q-P=(m^2 -5m +4)-(-m^2 -m +1)$
$=m^2 -5m +4 +m^2 +m -1$
合并同类项得：
$Q-P=2m^2 -4m +3$
对上述式子配方：
先提取二次项系数2，得$2(m^2 -2m) +3$，
括号内配完全平方：$m^2 -2m=(m-1)^2 -1$，代入得：
$Q-P=2[(m-1)^2 -1]+3=2(m-1)^2 -2 +3=2(m-1)^2 +1$
根据平方的非负性可知，$(m-1)^2≥0$，
因此$2(m-1)^2≥0$，则$2(m-1)^2 +1≥1＞0$，
即$Q-P＞0$，可得$P＜Q$。
【答案】
$P＜Q$
【知识点】
作差比较法，配方法，平方非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，核心考查作差法的应用，结合配方法将差变形为可直接判断符号的形式，解题时需熟练掌握“作差-变形-判号-定论”的逻辑步骤。
【难度系数】
0.6
比较两个代数式的大小通常采用作差法，解题思路为：先计算两个代数式的差，再对差进行变形（本题使用刚学习的配方法，将差转化为含完全平方式的形式），随后根据完全平方式的非负性判断差的符号，最后根据差的符号确定两个代数式的大小关系。
【解析】
使用作差法比较P和Q的大小，计算Q-P：
$Q-P=(m^2 -5m +4)-(-m^2 -m +1)$
$=m^2 -5m +4 +m^2 +m -1$
合并同类项得：
$Q-P=2m^2 -4m +3$
对上述式子配方：
先提取二次项系数2，得$2(m^2 -2m) +3$，
括号内配完全平方：$m^2 -2m=(m-1)^2 -1$，代入得：
$Q-P=2[(m-1)^2 -1]+3=2(m-1)^2 -2 +3=2(m-1)^2 +1$
根据平方的非负性可知，$(m-1)^2≥0$，
因此$2(m-1)^2≥0$，则$2(m-1)^2 +1≥1＞0$，
即$Q-P＞0$，可得$P＜Q$。
【答案】
$P＜Q$
【知识点】
作差比较法，配方法，平方非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，核心考查作差法的应用，结合配方法将差变形为可直接判断符号的形式，解题时需熟练掌握“作差-变形-判号-定论”的逻辑步骤。
【难度系数】
0.6
5 判断三角形形状 [2025广东揭阳期中,中]若a,b,c为△ABC的三边长,且满足$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,则△ABC是
等边
三角形.答案
∵ $a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca =0$,
∴ $2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab -2bc -2ca =0$,
∴ $(a^2 -2ab +b^2)+(b^2 -2bc +c^2)+(c^2 -2ca +a^2)=0$,
∴ $(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0$,
∴ $a-b=0$,$b-c=0$,$c-a=0$,
∴ $a=b=c$,
∴ $△ABC$是等边三角形.
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，包含平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的特征，但当前各项系数无法直接凑出完全平方式，因此考虑给等式两边同时乘2，将式子变形为可以分组配成完全平方的形式，再利用平方的非负性得到三个差为0，进而推出三边相等，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ $a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca =0$,
∴ 等式两边同乘2得：$2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab -2bc -2ca =0$,
将式子分组得：$(a^2 -2ab +b^2)+(b^2 -2bc +c^2)+(c^2 -2ca +a^2)=0$,
根据完全平方公式因式分解得：$(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0$,
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(c-a)^2≥0$,
∴ 只有当$a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$时，三个非负数的和才为0,
∴ $a=b=c$,
∴ $△ABC$是等边三角形.
【答案】
等边
【知识点】
1.完全平方公式 2.非负数的性质 3.等边三角形判定
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是通过给等式乘2构造完全平方式，结合非负数的性质推导三边关系，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，能灵活对代数式进行变形。
【难度系数】
0.6
要判断三角形的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，包含平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的特征，但当前各项系数无法直接凑出完全平方式，因此考虑给等式两边同时乘2，将式子变形为可以分组配成完全平方的形式，再利用平方的非负性得到三个差为0，进而推出三边相等，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ $a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc -ca =0$,
∴ 等式两边同乘2得：$2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab -2bc -2ca =0$,
将式子分组得：$(a^2 -2ab +b^2)+(b^2 -2bc +c^2)+(c^2 -2ca +a^2)=0$,
根据完全平方公式因式分解得：$(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0$,
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(c-a)^2≥0$,
∴ 只有当$a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$时，三个非负数的和才为0,
∴ $a=b=c$,
∴ $△ABC$是等边三角形.
【答案】
等边
【知识点】
1.完全平方公式 2.非负数的性质 3.等边三角形判定
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是通过给等式乘2构造完全平方式，结合非负数的性质推导三边关系，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，能灵活对代数式进行变形。
【难度系数】
0.6
6 求最值 [2025 山西吕梁质检,中]阅读与思考:配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程,还能用来解决求最值问题.例如:求代数式$2x^2 -x +2 +y^2$的最小值,过程如下:
原式$=2(x^2-\frac{1}{2}x)+2+y^2=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16})+2+y^2=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16})-\frac{1}{8}+2+y^2=2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8}$. $\because 2(x-\frac{1}{4})^2 ≥ 0, y^2 ≥ 0,$
$\therefore 2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8} ≥ \frac{15}{8}, \therefore 2x^2 -x +2 +y^2$的最小值是$\frac{15}{8}$.
根据材料中的方法,解答下列问题.
(1)$-x^2 +4x -1$的最大值为
(2)求$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值.
原式$=2(x^2-\frac{1}{2}x)+2+y^2=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16})+2+y^2=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16})-\frac{1}{8}+2+y^2=2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8}$. $\because 2(x-\frac{1}{4})^2 ≥ 0, y^2 ≥ 0,$
$\therefore 2(x-\frac{1}{4})^2 + y^2 + \frac{15}{8} ≥ \frac{15}{8}, \therefore 2x^2 -x +2 +y^2$的最小值是$\frac{15}{8}$.
根据材料中的方法,解答下列问题.
(1)$-x^2 +4x -1$的最大值为
3
;(2)求$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值.
答案
(1) $-x^2 +4x -1=-(x^2 -4x)-1=-(x^2 -4x +4 -4)-1=-(x-2)^2 +4 -1=-(x-2)^2 +3$.
∵ $-(x-2)^2≤0$,
∴ $-(x-2)^2 +3≤3$,
∴ $-(x-2)^2 +3$的最大值为 3,即$-x^2 +4x -1$的最大值为 3.
(2) $4x^2 +2y^2 -4y -4x +15=4x^2 -4x +1 +2y^2 -4y +2 +12=(2x-1)^2 +2(y^2 -2y +1) +12=(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12$.
∵ $(2x-1)^2≥0$,$2(y-1)^2≥0$,
∴ $(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12≥12$,
∴ $4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值为 12.
∵ $-(x-2)^2≤0$,
∴ $-(x-2)^2 +3≤3$,
∴ $-(x-2)^2 +3$的最大值为 3,即$-x^2 +4x -1$的最大值为 3.
(2) $4x^2 +2y^2 -4y -4x +15=4x^2 -4x +1 +2y^2 -4y +2 +12=(2x-1)^2 +2(y^2 -2y +1) +12=(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12$.
∵ $(2x-1)^2≥0$,$2(y-1)^2≥0$,
∴ $(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12≥12$,
∴ $4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值为 12.
解析
【分析】
本题考查利用配方法求代数式的最值，解题思路如下：① 对于二次代数式求最值，核心是通过配方将原式转化为“若干个非负（或非正）的完全平方式+常数”的形式；② 第一问二次项系数为负，先提取负号，再对二次项和一次项凑完全平方，结合完全平方式的非正性即可确定最大值；③ 第二问含两个变量，先将含x的项、含y的项分别分组，各自配方转化为完全平方式加常数的形式，再结合完全平方式的非负性，当所有完全平方式都为0时，代数式取得最小值，最小值即为常数项的值。
【解析】
(1) 对$-x^2 +4x -1$配方：
$-x^2 +4x -1=-(x^2 -4x)-1=-(x^2 -4x +4 -4)-1=-(x-2)^2 +4 -1=-(x-2)^2 +3$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 +3 ≤ 3$
因此$-x^2 +4x -1$的最大值为3。
(2) 对$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$分组配方：
$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15=4x^2 -4x +1 +2y^2 -4y +2 +12=(2x-1)^2 +2(y^2 -2y +1) +12=(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12$
$\because (2x-1)^2 ≥ 0$，$2(y-1)^2 ≥ 0$
$\therefore (2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12 ≥ 12$
因此$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值为12。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题关键是掌握配方的操作步骤，灵活对单变量、多变量的代数式进行变形，结合平方的非负性确定最值，是代数模块的常考基础题型，熟练掌握配方技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查利用配方法求代数式的最值，解题思路如下：① 对于二次代数式求最值，核心是通过配方将原式转化为“若干个非负（或非正）的完全平方式+常数”的形式；② 第一问二次项系数为负，先提取负号，再对二次项和一次项凑完全平方，结合完全平方式的非正性即可确定最大值；③ 第二问含两个变量，先将含x的项、含y的项分别分组，各自配方转化为完全平方式加常数的形式，再结合完全平方式的非负性，当所有完全平方式都为0时，代数式取得最小值，最小值即为常数项的值。
【解析】
(1) 对$-x^2 +4x -1$配方：
$-x^2 +4x -1=-(x^2 -4x)-1=-(x^2 -4x +4 -4)-1=-(x-2)^2 +4 -1=-(x-2)^2 +3$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 +3 ≤ 3$
因此$-x^2 +4x -1$的最大值为3。
(2) 对$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$分组配方：
$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15=4x^2 -4x +1 +2y^2 -4y +2 +12=(2x-1)^2 +2(y^2 -2y +1) +12=(2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12$
$\because (2x-1)^2 ≥ 0$，$2(y-1)^2 ≥ 0$
$\therefore (2x-1)^2 +2(y-1)^2 +12 ≥ 12$
因此$4x^2 +2y^2 -4y -4x +15$的最小值为12。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题关键是掌握配方的操作步骤，灵活对单变量、多变量的代数式进行变形，结合平方的非负性确定最值，是代数模块的常考基础题型，熟练掌握配方技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7 核心素养运算能力[2026湖南长沙质检,难]我们定义:解为整数的方程为“完美”方程.
(1)一元一次方程:$ax - 3 = 0(a≠0)$为“完美”方程,求整数$a$的值;
(2)已知关于$x$的方程:$\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1(x≥0,且a为整数)$是“完美”方程,且其中整数$a$使关于$y$的不等式组$\begin{cases}\frac{y + 5}{3}≤\frac{y}{2}, \\ y - 3＞2(y - a)\end{cases}$有解且至多有3个整数解,求符合条件的所有整数$a$的和;
(3)已知关于$x$的方程:$(k^2 - 6k + 8)x^2 + (2k^2 - 6k - 4)x + k^2 = 4$是“完美”方程,求满足条件的所有实数$k$的值.
(1)一元一次方程:$ax - 3 = 0(a≠0)$为“完美”方程,求整数$a$的值;
(2)已知关于$x$的方程:$\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1(x≥0,且a为整数)$是“完美”方程,且其中整数$a$使关于$y$的不等式组$\begin{cases}\frac{y + 5}{3}≤\frac{y}{2}, \\ y - 3＞2(y - a)\end{cases}$有解且至多有3个整数解,求符合条件的所有整数$a$的和;
(3)已知关于$x$的方程:$(k^2 - 6k + 8)x^2 + (2k^2 - 6k - 4)x + k^2 = 4$是“完美”方程,求满足条件的所有实数$k$的值.
答案
(1) 因为$ax -3 =0(a≠0)$,所以$x=\dfrac{3}{a}$. 因为一元一次方程$ax -3 =0(a≠0)$为“完美”方程,所以$a=±1$或$a=±3$,所以整数$a$的值为$-3$或$-1$或$1$或$3$.
(2) 解$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-a}{3-x}=1$,得$x=2+\dfrac{a}{2}$. 因为$x-3≠0$,所以$a≠2$.
$\begin{cases}\dfrac{y+5}{3}≤\dfrac{y}{2},①\\ y-3＞2(y-a),②\end{cases}$
解不等式①得$y≥10$,解不等式②得$y＜2a-3$. 因为不等式组有解,所以不等式组的解集为$10≤ y＜2a-3$.
因为不等式组$\begin{cases}\dfrac{y+5}{3}≤\dfrac{y}{2},\\ y-3＞2(y-a)\end{cases}$至多有3个整数解,所以分3种情况讨论:当不等式组有1个整数解时,即$y$取10,则$2a-3=11$,解得$a=7$. 将$a=7$代入$x=2+\dfrac{a}{2}$得$x=2+\dfrac{7}{2}=5.5$,$5.5$不是整数,故不满足条件. 当不等式组有2个整数解时,即$y$取10,11,则$2a-3=12$,解得$a=7.5$. 因为$a$为整数,故不满足条件. 当不等式组有3个整数解时,即$y$取10,11,12,则$2a-3=13$,解得$a=8$. 将$a=8$代入$x=2+\dfrac{a}{2}$得$x=2+\dfrac{8}{2}=6$,$6$是整数,满足条件. 综上,符合条件的所有整数$a$的和为8.
(3) ①当方程为一元二次方程时,因为$(k^2 -6k +8)x^2 +(2k^2 -6k -4)x +k^2 =4$,所以$(k-3)^2x^2 -x^2 +2k(k-3)x -4x +k^2 =4$,所以$(k-3)^2x^2 +2k(k-3)x +k^2 =x^2 +4x +4$,所以$[(k-3)·x +k]^2=(x+2)^2$,所以$[(k-3)x +k]^2 -(x+2)^2=0$,所以$[(k-3)x +k -(x+2)][(k-3)x +k +(x+2)]=0$,所以$(k-3)x +k -(x+2)=0$或$(k-3)x +k +(x+2)=0$,所以$x_1=\dfrac{2-k}{k-4}=\dfrac{-(k-4)-2}{k-4}=-1-\dfrac{2}{k-4}$,$x_2=\dfrac{-k-2}{k-2}=\dfrac{-(k-2)-4}{k-2}=-1-\dfrac{4}{k-2}$,所以$k≠4$且$k≠2$. 因为$(k^2 -6k +8)x^2 +(2k^2 -6k -4)x +k^2 =4$是“完美”方程,所以$-1-\dfrac{2}{k-4}$和$-1-\dfrac{4}{k-2}$为整数. 又因为$k-4=-\dfrac{2}{x_1+1}$,$k-2=-\dfrac{4}{x_2+1}$,所以$k-2 -k +4=-\dfrac{4}{x_2+1}+\dfrac{2}{x_1+1}$,即$2(x_1+1)(x_2+1)=-4x_1 -4 +2x_2 +2$,整理得$x_1=-\dfrac{2}{x_2+3}$. 因为$x_1,x_2$为整数,且$x_1,x_2$均不为$-1$,所以$x_2+3=±2$或$x_2+3=±1$,即$x_2=-1$(舍去)或$x_2=-5$或$x_2=-4$或$x_2=-2$,所以$k=6$或$k=\dfrac{10}{3}$或$k=3$,所以满足条件的实数$k$的值为6或$\dfrac{10}{3}$或3.
②当方程为一元一次方程时,$k^2 -6k +8=0$,$2k^2 -6k -4≠0$,解得$k=2$或4. 当$k=2$时,$(2×4 -12 -4)x +4=4$,解得$x=0$;当$k=4$时,$(2×4^2 -24 -4)x +16=4$,解得$x=-3$. 故$k=2$或$k=4$均满足条件.
综上所述,满足条件的实数$k$的值为2或4或3或$\dfrac{10}{3}$或6.
(2) 解$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-a}{3-x}=1$,得$x=2+\dfrac{a}{2}$. 因为$x-3≠0$,所以$a≠2$.
$\begin{cases}\dfrac{y+5}{3}≤\dfrac{y}{2},①\\ y-3＞2(y-a),②\end{cases}$
解不等式①得$y≥10$,解不等式②得$y＜2a-3$. 因为不等式组有解,所以不等式组的解集为$10≤ y＜2a-3$.
因为不等式组$\begin{cases}\dfrac{y+5}{3}≤\dfrac{y}{2},\\ y-3＞2(y-a)\end{cases}$至多有3个整数解,所以分3种情况讨论:当不等式组有1个整数解时,即$y$取10,则$2a-3=11$,解得$a=7$. 将$a=7$代入$x=2+\dfrac{a}{2}$得$x=2+\dfrac{7}{2}=5.5$,$5.5$不是整数,故不满足条件. 当不等式组有2个整数解时,即$y$取10,11,则$2a-3=12$,解得$a=7.5$. 因为$a$为整数,故不满足条件. 当不等式组有3个整数解时,即$y$取10,11,12,则$2a-3=13$,解得$a=8$. 将$a=8$代入$x=2+\dfrac{a}{2}$得$x=2+\dfrac{8}{2}=6$,$6$是整数,满足条件. 综上,符合条件的所有整数$a$的和为8.
(3) ①当方程为一元二次方程时,因为$(k^2 -6k +8)x^2 +(2k^2 -6k -4)x +k^2 =4$,所以$(k-3)^2x^2 -x^2 +2k(k-3)x -4x +k^2 =4$,所以$(k-3)^2x^2 +2k(k-3)x +k^2 =x^2 +4x +4$,所以$[(k-3)·x +k]^2=(x+2)^2$,所以$[(k-3)x +k]^2 -(x+2)^2=0$,所以$[(k-3)x +k -(x+2)][(k-3)x +k +(x+2)]=0$,所以$(k-3)x +k -(x+2)=0$或$(k-3)x +k +(x+2)=0$,所以$x_1=\dfrac{2-k}{k-4}=\dfrac{-(k-4)-2}{k-4}=-1-\dfrac{2}{k-4}$,$x_2=\dfrac{-k-2}{k-2}=\dfrac{-(k-2)-4}{k-2}=-1-\dfrac{4}{k-2}$,所以$k≠4$且$k≠2$. 因为$(k^2 -6k +8)x^2 +(2k^2 -6k -4)x +k^2 =4$是“完美”方程,所以$-1-\dfrac{2}{k-4}$和$-1-\dfrac{4}{k-2}$为整数. 又因为$k-4=-\dfrac{2}{x_1+1}$,$k-2=-\dfrac{4}{x_2+1}$,所以$k-2 -k +4=-\dfrac{4}{x_2+1}+\dfrac{2}{x_1+1}$,即$2(x_1+1)(x_2+1)=-4x_1 -4 +2x_2 +2$,整理得$x_1=-\dfrac{2}{x_2+3}$. 因为$x_1,x_2$为整数,且$x_1,x_2$均不为$-1$,所以$x_2+3=±2$或$x_2+3=±1$,即$x_2=-1$(舍去)或$x_2=-5$或$x_2=-4$或$x_2=-2$,所以$k=6$或$k=\dfrac{10}{3}$或$k=3$,所以满足条件的实数$k$的值为6或$\dfrac{10}{3}$或3.
②当方程为一元一次方程时,$k^2 -6k +8=0$,$2k^2 -6k -4≠0$,解得$k=2$或4. 当$k=2$时,$(2×4 -12 -4)x +4=4$,解得$x=0$;当$k=4$时,$(2×4^2 -24 -4)x +16=4$,解得$x=-3$. 故$k=2$或$k=4$均满足条件.
综上所述,满足条件的实数$k$的值为2或4或3或$\dfrac{10}{3}$或6.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，围绕“解为整数的完美方程”展开，各小问解题思路如下：
(1) 先解一元一次方程得到x关于a的表达式，根据解为整数，可知a是3的整数约数，结合a≠0即可求出所有整数a；
(2) 先解分式方程（注意验根，分母不为0）得到x关于a的表达式，结合x≥0得到a的初步限制；再解不等式组，根据“有解且至多有3个整数解”确定a的取值范围，结合a为整数、x为整数的条件筛选出符合要求的a，最后求和；
(3) 分两类讨论：①方程为一元一次方程时，令二次项系数为0、一次项系数不为0，解出x验证是否为整数即可；②方程为一元二次方程时，整理方程后用平方差公式因式分解求出两个根，根据根为整数的条件求出对应k的值，最后汇总所有符合条件的k。
【解析】
(1) 解$ax-3=0(a≠0)$，移项得$ax=3$，解得$x=\frac{3}{a}$。
∵该方程是“完美”方程，即解x为整数，且a为非零整数，
∴a是3的整数因数，即$a=±1$或$a=±3$。
(2) 解分式方程$\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$：
去分母得$1-(x-a)=x-3$，去括号、移项合并同类项得$2x=a+4$，解得$x=2+\frac{a}{2}$。
∵分母$x-3≠0$，
∴$2+\frac{a}{2}≠3$，得$a≠2$，又$x≥0$，
∴$2+\frac{a}{2}≥0$，即$a≥-4$。
解不等式组$\begin{cases}\frac{y+5}{3}≤\frac{y}{2} ①\\ y-3＞2(y-a) ②\end{cases}$：
解不等式①：去分母得$2(y+5)≤3y$，解得$y≥10$；
解不等式②：去括号移项得$y＜2a-3$。
∵不等式组有解，
∴解集为$10≤y＜2a-3$。
∵不等式组至多有3个整数解：
若仅1个整数解（仅10）：则$10＜2a-3≤11$，得$6.5＜a≤7$，整数$a=7$，此时$x=5.5$不是整数，舍去；
若有2个整数解（10、11）：则$11＜2a-3≤12$，得$7＜a≤7.5$，无整数a，舍去；
若有3个整数解（10、11、12）：则$12＜2a-3≤13$，得$7.5＜a≤8$，整数$a=8$，此时$x=6$是整数，符合要求。
综上，符合条件的整数a只有8，和为8。
(3) 整理原方程得：$(k^2-6k+8)x^2+(2k^2-6k-4)x+k^2-4=0$。
① 当方程为一元一次方程时，二次项系数为0、一次项系数不为0：
令$k^2-6k+8=0$，解得$k=2$或$k=4$：
$k=2$时，代入原方程得$-8x=0$，解得$x=0$，是整数，符合要求；
$k=4$时，代入原方程得$4x=-12$，解得$x=-3$，是整数，符合要求。
② 当方程为一元二次方程时，$k≠2$且$k≠4$，原方程变形为$[(k-3)x+k]^2=(x+2)^2$，用平方差公式因式分解得：
$[(k-3)x+k-(x+2)][(k-3)x+k+(x+2)]=0$
分别解两个一次方程得：
$x_1=\frac{2-k}{k-4}=-1-\frac{2}{k-4}$，$x_2=\frac{-k-2}{k-2}=-1-\frac{4}{k-2}$
∵方程是“完美”方程，$x_1、x_2$均为整数，
∴$x_2+3$是2的整数因数，即$x_2+3=±2$或$x_2+3=±1$，排除$x_2=-1$的情况，得$x_2=-5、-4、-2$，对应解得$k=3、\frac{10}{3}、6$，均满足$x_1$为整数。
综上，所有满足条件的k为2、3、4、$\frac{10}{3}$、6。
【答案】
(1) $-3、-1、1、3$
(2) $8$
(3) $2、3、4、\frac{10}{3}、6$
【知识点】
方程整数解、分式方程与不等式组综合、一元二次方程的解法
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了各类方程的解法与不等式组整数解的应用，解题时需灵活运用分类讨论思想，注意分式方程验根、一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，对综合运算能力和逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.2
本题为新定义类题型，围绕“解为整数的完美方程”展开，各小问解题思路如下：
(1) 先解一元一次方程得到x关于a的表达式，根据解为整数，可知a是3的整数约数，结合a≠0即可求出所有整数a；
(2) 先解分式方程（注意验根，分母不为0）得到x关于a的表达式，结合x≥0得到a的初步限制；再解不等式组，根据“有解且至多有3个整数解”确定a的取值范围，结合a为整数、x为整数的条件筛选出符合要求的a，最后求和；
(3) 分两类讨论：①方程为一元一次方程时，令二次项系数为0、一次项系数不为0，解出x验证是否为整数即可；②方程为一元二次方程时，整理方程后用平方差公式因式分解求出两个根，根据根为整数的条件求出对应k的值，最后汇总所有符合条件的k。
【解析】
(1) 解$ax-3=0(a≠0)$，移项得$ax=3$，解得$x=\frac{3}{a}$。
∵该方程是“完美”方程，即解x为整数，且a为非零整数，
∴a是3的整数因数，即$a=±1$或$a=±3$。
(2) 解分式方程$\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$：
去分母得$1-(x-a)=x-3$，去括号、移项合并同类项得$2x=a+4$，解得$x=2+\frac{a}{2}$。
∵分母$x-3≠0$，
∴$2+\frac{a}{2}≠3$，得$a≠2$，又$x≥0$，
∴$2+\frac{a}{2}≥0$，即$a≥-4$。
解不等式组$\begin{cases}\frac{y+5}{3}≤\frac{y}{2} ①\\ y-3＞2(y-a) ②\end{cases}$：
解不等式①：去分母得$2(y+5)≤3y$，解得$y≥10$；
解不等式②：去括号移项得$y＜2a-3$。
∵不等式组有解，
∴解集为$10≤y＜2a-3$。
∵不等式组至多有3个整数解：
若仅1个整数解（仅10）：则$10＜2a-3≤11$，得$6.5＜a≤7$，整数$a=7$，此时$x=5.5$不是整数，舍去；
若有2个整数解（10、11）：则$11＜2a-3≤12$，得$7＜a≤7.5$，无整数a，舍去；
若有3个整数解（10、11、12）：则$12＜2a-3≤13$，得$7.5＜a≤8$，整数$a=8$，此时$x=6$是整数，符合要求。
综上，符合条件的整数a只有8，和为8。
(3) 整理原方程得：$(k^2-6k+8)x^2+(2k^2-6k-4)x+k^2-4=0$。
① 当方程为一元一次方程时，二次项系数为0、一次项系数不为0：
令$k^2-6k+8=0$，解得$k=2$或$k=4$：
$k=2$时，代入原方程得$-8x=0$，解得$x=0$，是整数，符合要求；
$k=4$时，代入原方程得$4x=-12$，解得$x=-3$，是整数，符合要求。
② 当方程为一元二次方程时，$k≠2$且$k≠4$，原方程变形为$[(k-3)x+k]^2=(x+2)^2$，用平方差公式因式分解得：
$[(k-3)x+k-(x+2)][(k-3)x+k+(x+2)]=0$
分别解两个一次方程得：
$x_1=\frac{2-k}{k-4}=-1-\frac{2}{k-4}$，$x_2=\frac{-k-2}{k-2}=-1-\frac{4}{k-2}$
∵方程是“完美”方程，$x_1、x_2$均为整数，
∴$x_2+3$是2的整数因数，即$x_2+3=±2$或$x_2+3=±1$，排除$x_2=-1$的情况，得$x_2=-5、-4、-2$，对应解得$k=3、\frac{10}{3}、6$，均满足$x_1$为整数。
综上，所有满足条件的k为2、3、4、$\frac{10}{3}$、6。
【答案】
(1) $-3、-1、1、3$
(2) $8$
(3) $2、3、4、\frac{10}{3}、6$
【知识点】
方程整数解、分式方程与不等式组综合、一元二次方程的解法
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了各类方程的解法与不等式组整数解的应用，解题时需灵活运用分类讨论思想，注意分式方程验根、一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，对综合运算能力和逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.2
