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1[中]设$m$是方程$x^2+5x=0$的一个较大的根，$n$是方程$x^2 -x -6=0$的一个较小的根，则$m+n$的值是（
A.-4
B.-3
C.-2
D.2
C
）A.-4
B.-3
C.-2
D.2
答案
1.C 【解析】$x^2+5x=0,x(x+5)=0,x=0$ 或 $x+5=0$,解得 $x=0$ 或 $x=-5. \because m$ 是方程 $x^2+5x=0$ 的一个较大的根,$\therefore m=0$. $x^2-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,x-3=0$ 或 $x+2=0$,解得 $x=3$ 或 $x=-2. \because n$ 是方程 $x^2-x-6=0$ 的一个较小的根,$\therefore n=-2,\therefore m+n=0+(-2)=-2$,故选 C.
解析
【分析】
要计算$m+n$的值，需先分别解出两个一元二次方程的全部根，再按照题目要求选出第一个方程的较大根$m$、第二个方程的较小根$n$，最后代入计算二者的和即可。解题时使用因式分解法解一元二次方程，能快速得到方程的两个根，再通过大小比较确定$m$、$n$的取值。
【解析】
解方程$x^2+5x=0$，因式分解得$x(x+5)=0$，可得$x=0$或$x+5=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-5$。
因为$m$是该方程的较大根，所以$m=0$。
解方程$x^2 -x -6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，可得$x-3=0$或$x+2=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
因为$n$是该方程的较小根，所以$n=-2$。
因此$m+n=0+(-2)=-2$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根；有理数加法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及根的应用，难度适中，解题的关键是准确用因式分解法解一元二次方程，同时正确区分较大根和较小根，避免选根错误。
【难度系数】
0.7
要计算$m+n$的值，需先分别解出两个一元二次方程的全部根，再按照题目要求选出第一个方程的较大根$m$、第二个方程的较小根$n$，最后代入计算二者的和即可。解题时使用因式分解法解一元二次方程，能快速得到方程的两个根，再通过大小比较确定$m$、$n$的取值。
【解析】
解方程$x^2+5x=0$，因式分解得$x(x+5)=0$，可得$x=0$或$x+5=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-5$。
因为$m$是该方程的较大根，所以$m=0$。
解方程$x^2 -x -6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，可得$x-3=0$或$x+2=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
因为$n$是该方程的较小根，所以$n=-2$。
因此$m+n=0+(-2)=-2$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根；有理数加法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及根的应用，难度适中，解题的关键是准确用因式分解法解一元二次方程，同时正确区分较大根和较小根，避免选根错误。
【难度系数】
0.7
2[中]定义新运算“※”如下:当$a≥b$时,$a※b=ab+b$;当$a＜b$时,$a※b=ab-a$.若$(2x-1)※(x+2)=0$,则$x=$
$-1或\frac{1}{2}$
.答案
2.$-1或\frac{1}{2}$ 【解析】①当 $2x-1≥x+2$,即 $x≥3$ 时,$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)+(x+2)=0$,解得 $x=0$ 或 $x=-2. \because x≥3,\therefore x=0$ 和 $x=-2$ 均舍去.
②当 $2x-1＜x+2$,即 $x＜3$ 时,$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)-(2x-1)=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=\frac{1}{2}$,均符合题意. 故答案为 $-1$ 或 $\frac{1}{2}$.
②当 $2x-1＜x+2$,即 $x＜3$ 时,$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)-(2x-1)=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=\frac{1}{2}$,均符合题意. 故答案为 $-1$ 或 $\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
该题是定义新运算结合解方程的题型，解题核心是先明确新运算的分段规则：运算结果由两个数的大小关系决定。解题时首先要分两种情况讨论：①2x-1≥x+2；②2x-1＜x+2，分别求出每种情况的x取值范围，再代入对应运算公式列方程求解，最后检验解是否符合对应情况的取值范围，不符合的要舍去，剩余的就是最终解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$2x-1≥x+2$，即$x≥3$时，根据新运算规则得：
$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)+(x+2)=0$
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)(2x-1+1)=0$，即$2x(x+2)=0$
解得$x=0$或$x=-2$，均不满足$x≥3$，故全部舍去。
② 当$2x-1＜x+2$，即$x＜3$时，根据新运算规则得：
$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)-(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)(x+2-1)=0$，即$(2x-1)(x+1)=0$
解得$x=-1$或$x=\frac{1}{2}$，均满足$x＜3$，符合题意。
【答案】
$-1或\frac{1}{2}$
【知识点】
定义新运算；因式分解法解方程；分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是准确理解新运算的分段规则，按照两个运算数的大小关系分类讨论，需要特别注意解方程后要验证解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
该题是定义新运算结合解方程的题型，解题核心是先明确新运算的分段规则：运算结果由两个数的大小关系决定。解题时首先要分两种情况讨论：①2x-1≥x+2；②2x-1＜x+2，分别求出每种情况的x取值范围，再代入对应运算公式列方程求解，最后检验解是否符合对应情况的取值范围，不符合的要舍去，剩余的就是最终解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$2x-1≥x+2$，即$x≥3$时，根据新运算规则得：
$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)+(x+2)=0$
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)(2x-1+1)=0$，即$2x(x+2)=0$
解得$x=0$或$x=-2$，均不满足$x≥3$，故全部舍去。
② 当$2x-1＜x+2$，即$x＜3$时，根据新运算规则得：
$(2x-1)※(x+2)=(2x-1)(x+2)-(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)(x+2-1)=0$，即$(2x-1)(x+1)=0$
解得$x=-1$或$x=\frac{1}{2}$，均满足$x＜3$，符合题意。
【答案】
$-1或\frac{1}{2}$
【知识点】
定义新运算；因式分解法解方程；分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是准确理解新运算的分段规则，按照两个运算数的大小关系分类讨论，需要特别注意解方程后要验证解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
3 新考法 [2026 陕西汉中质检,中]解方程:$(x+4)^2 -4 = \frac{x+2}{x+6}$
答案
3.【解】$(x+4)^2 -4 = \frac{x+2}{x+6},(x+4+2)(x+4-2)=\frac{x+2}{x+6}$,
$(x+6)(x+2)=\frac{x+2}{x+6},(x+6)^2(x+2)=x+2,(x+6)^2(x+2)-(x+2)=0,[(x+6)^2-1](x+2)=0,(x+6+1)(x+6-1)(x+2)=0,(x+7)(x+5)(x+2)=0$,
所以 $x+7=0$ 或 $x+5=0$ 或 $x+2=0$,所以 $x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$. 经检验,$x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$ 是原方程的解,所以原方程的解为 $x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$.
$(x+6)(x+2)=\frac{x+2}{x+6},(x+6)^2(x+2)=x+2,(x+6)^2(x+2)-(x+2)=0,[(x+6)^2-1](x+2)=0,(x+6+1)(x+6-1)(x+2)=0,(x+7)(x+5)(x+2)=0$,
所以 $x+7=0$ 或 $x+5=0$ 或 $x+2=0$,所以 $x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$. 经检验,$x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$ 是原方程的解,所以原方程的解为 $x=-2$ 或 $x=-5$ 或 $x=-7$.
解析
【分析】
首先观察方程左边是平方减常数的形式，符合平方差公式的结构，可先对左边因式分解简化式子。由于方程右侧是分式，解题时注意不能直接约去含未知数的公因式，否则会漏根，应通过移项提取公因式，再结合因式分解将方程转化为几个一次式乘积为0的形式求解，最后需检验所得根是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
首先对左边利用平方差公式因式分解：
$(x+4)^2 - 4 = (x+4+2)(x+4-2) = (x+6)(x+2)$
原方程可化为：
$(x+6)(x+2) = \frac{x+2}{x+6}$
方程两边同时乘以$(x+6)$（$x+6≠0$）得：
$(x+6)^2(x+2) = x+2$
移项得：
$(x+6)^2(x+2) - (x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$[(x+6)^2 - 1](x+2) = 0$
对括号内的部分再次用平方差公式因式分解：
$(x+6+1)(x+6-1)(x+2) = 0$
即$(x+7)(x+5)(x+2) = 0$
所以$x+7=0$或$x+5=0$或$x+2=0$，解得$x=-2$或$x=-5$或$x=-7$。
检验：将$x=-2$、$x=-5$、$x=-7$分别代入原方程分母$x+6$，均不为0，且左右两边相等，故都是原方程的解。
【答案】
$x=-2$或$x=-5$或$x=-7$
【知识点】
因式分解法解方程，平方差公式，分式方程验根
【点评】
本题将整式因式分解与分式方程求解相结合，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏解，求解后务必验根，确保所得根符合原方程的要求。
【难度系数】
0.6
首先观察方程左边是平方减常数的形式，符合平方差公式的结构，可先对左边因式分解简化式子。由于方程右侧是分式，解题时注意不能直接约去含未知数的公因式，否则会漏根，应通过移项提取公因式，再结合因式分解将方程转化为几个一次式乘积为0的形式求解，最后需检验所得根是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
首先对左边利用平方差公式因式分解：
$(x+4)^2 - 4 = (x+4+2)(x+4-2) = (x+6)(x+2)$
原方程可化为：
$(x+6)(x+2) = \frac{x+2}{x+6}$
方程两边同时乘以$(x+6)$（$x+6≠0$）得：
$(x+6)^2(x+2) = x+2$
移项得：
$(x+6)^2(x+2) - (x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$[(x+6)^2 - 1](x+2) = 0$
对括号内的部分再次用平方差公式因式分解：
$(x+6+1)(x+6-1)(x+2) = 0$
即$(x+7)(x+5)(x+2) = 0$
所以$x+7=0$或$x+5=0$或$x+2=0$，解得$x=-2$或$x=-5$或$x=-7$。
检验：将$x=-2$、$x=-5$、$x=-7$分别代入原方程分母$x+6$，均不为0，且左右两边相等，故都是原方程的解。
【答案】
$x=-2$或$x=-5$或$x=-7$
【知识点】
因式分解法解方程，平方差公式，分式方程验根
【点评】
本题将整式因式分解与分式方程求解相结合，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏解，求解后务必验根，确保所得根符合原方程的要求。
【难度系数】
0.6
4[2025江苏南京质检,中]【阅读与理解】将$x^2+2x-35$分解因式,我们可以按下面方法:
①竖分二次项与常数项:$x^2=x· x,-35=(-5)×(+7)$.
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果等于多项式中的一次项):
$\begin{array}{r}x\ \ \ \ +7=7x\\x\ \ \ \ -5=-5x\end{array}$
$7x+(-5x)=2x$.
③横向写出两因式:$x^2+2x-35=(x+7)(x-5)$.
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫"十字相乘法".
根据乘法原理:若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$,所以方程$x^2+2x-35=0$可以这样求解:方程左边因式分解得$(x+7)(x-5)=0$,所以原方程的解为$x_1=-7,x_2=5$.
【解决问题】
(1)试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^2-10x+21=0$;②$x^2+5x+4=0$;③$x^2-6x-7=0$.
(2)解方程:①$2024x^2+2019x-5=0$;
②$(1+\sqrt{2})x^2-(3+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$.
①竖分二次项与常数项:$x^2=x· x,-35=(-5)×(+7)$.
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果等于多项式中的一次项):
$\begin{array}{r}x\ \ \ \ +7=7x\\x\ \ \ \ -5=-5x\end{array}$
$7x+(-5x)=2x$.
③横向写出两因式:$x^2+2x-35=(x+7)(x-5)$.
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫"十字相乘法".
根据乘法原理:若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$,所以方程$x^2+2x-35=0$可以这样求解:方程左边因式分解得$(x+7)(x-5)=0$,所以原方程的解为$x_1=-7,x_2=5$.
【解决问题】
(1)试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^2-10x+21=0$;②$x^2+5x+4=0$;③$x^2-6x-7=0$.
(2)解方程:①$2024x^2+2019x-5=0$;
②$(1+\sqrt{2})x^2-(3+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$.
答案
4.【解】(1)①方程左边因式分解,得$(x-7)(x-3)=0,\therefore x-7=0$ 或 $x-3=0,\therefore x_1=7,x_2=3$.
②方程左边因式分解,得$(x+1)(x+4)=0,\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0,\therefore x_1=-1,x_2=-4$.
③方程左边因式分解,得$(x+1)(x-7)=0,\therefore x+1=0$ 或 $x-7=0,\therefore x_1=-1,x_2=7$.
(2)①方程左边因式分解,得$(2024x-5)(x+1)=0,\therefore 2024x-5=0$ 或 $x+1=0,\therefore x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$.
②方程左边因式分解,得$[(1+\sqrt{2})x-1](x-\sqrt{2})=0,\therefore (1+\sqrt{2})x-1=0$ 或 $x-\sqrt{2}=0$,解得 $x_1=\sqrt{2}-1,x_2=\sqrt{2}$.
②方程左边因式分解,得$(x+1)(x+4)=0,\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0,\therefore x_1=-1,x_2=-4$.
③方程左边因式分解,得$(x+1)(x-7)=0,\therefore x+1=0$ 或 $x-7=0,\therefore x_1=-1,x_2=7$.
(2)①方程左边因式分解,得$(2024x-5)(x+1)=0,\therefore 2024x-5=0$ 或 $x+1=0,\therefore x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$.
②方程左边因式分解,得$[(1+\sqrt{2})x-1](x-\sqrt{2})=0,\therefore (1+\sqrt{2})x-1=0$ 或 $x-\sqrt{2}=0$,解得 $x_1=\sqrt{2}-1,x_2=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题考查用十字相乘法因式分解结合因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：1. 先将一元二次方程整理为右边为0的形式，对左边的二次三项式用十字相乘法因式分解：若二次项系数为1，将二次项拆为两个x相乘，常数项拆为两个数的乘积，验证交叉相乘之和等于一次项系数即可完成分解；若二次项系数不为1，将二次项拆为两个一次项系数的乘积，常数项拆为两个数的乘积，同样验证交叉相乘之和等于一次项系数即可。2. 利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
(1)① 对$x^2-10x+21$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$21=(-3)×(-7)$，交叉相乘得$x×(-7)+x×(-3)=-10x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，可得$x-3=0$或$x-7=0$，解得对应解。
② 对$x^2+5x+4$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$4=1×4$，交叉相乘得$x×4+x×1=5x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，可得$x+1=0$或$x+4=0$，解得对应解。
③ 对$x^2-6x-7$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$-7=1×(-7)$，交叉相乘得$x×(-7)+x×1=-6x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x+1)(x-7)=0$，可得$x+1=0$或$x-7=0$，解得对应解。
(2)① 对$2024x^2+2019x-5$十字相乘分解：$2024x^2=2024x· x$，$-5=(-5)×1$，交叉相乘得$2024x×1+x×(-5)=2019x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(2024x-5)(x+1)=0$，可得$2024x-5=0$或$x+1=0$，解得对应解。
② 对$(1+\sqrt{2})x^2-(3+\sqrt{2})x+\sqrt{2}$十字相乘分解：$(1+\sqrt{2})x^2=(1+\sqrt{2})x· x$，$\sqrt{2}=(-1)×(-\sqrt{2})$，交叉相乘得$(1+\sqrt{2})x×(-\sqrt{2})+x×(-1)=-(3+\sqrt{2})x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$[(1+\sqrt{2})x-1](x-\sqrt{2})=0$，可得$(1+\sqrt{2})x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，对第一个方程化简分母有理化后得到对应解。
【答案】
(1)①$x_1=7,x_2=3$；②$x_1=-1,x_2=-4$；③$x_1=-1,x_2=7$
(2)①$x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$；②$x_1=\sqrt{2}-1,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程、二次根式化简
【点评】
本题以十字相乘法的阅读材料为载体，考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题核心是熟练掌握十字相乘法的拆分规则，准确验证一次项系数，将二次方程降次为一次方程求解，掌握方法后可大幅提升一元二次方程的解题速度。
【难度系数】
0.7
本题考查用十字相乘法因式分解结合因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：1. 先将一元二次方程整理为右边为0的形式，对左边的二次三项式用十字相乘法因式分解：若二次项系数为1，将二次项拆为两个x相乘，常数项拆为两个数的乘积，验证交叉相乘之和等于一次项系数即可完成分解；若二次项系数不为1，将二次项拆为两个一次项系数的乘积，常数项拆为两个数的乘积，同样验证交叉相乘之和等于一次项系数即可。2. 利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
(1)① 对$x^2-10x+21$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$21=(-3)×(-7)$，交叉相乘得$x×(-7)+x×(-3)=-10x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，可得$x-3=0$或$x-7=0$，解得对应解。
② 对$x^2+5x+4$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$4=1×4$，交叉相乘得$x×4+x×1=5x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，可得$x+1=0$或$x+4=0$，解得对应解。
③ 对$x^2-6x-7$十字相乘分解：$x^2=x· x$，$-7=1×(-7)$，交叉相乘得$x×(-7)+x×1=-6x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(x+1)(x-7)=0$，可得$x+1=0$或$x-7=0$，解得对应解。
(2)① 对$2024x^2+2019x-5$十字相乘分解：$2024x^2=2024x· x$，$-5=(-5)×1$，交叉相乘得$2024x×1+x×(-5)=2019x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$(2024x-5)(x+1)=0$，可得$2024x-5=0$或$x+1=0$，解得对应解。
② 对$(1+\sqrt{2})x^2-(3+\sqrt{2})x+\sqrt{2}$十字相乘分解：$(1+\sqrt{2})x^2=(1+\sqrt{2})x· x$，$\sqrt{2}=(-1)×(-\sqrt{2})$，交叉相乘得$(1+\sqrt{2})x×(-\sqrt{2})+x×(-1)=-(3+\sqrt{2})x$，与一次项系数一致，因此方程左边因式分解得$[(1+\sqrt{2})x-1](x-\sqrt{2})=0$，可得$(1+\sqrt{2})x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，对第一个方程化简分母有理化后得到对应解。
【答案】
(1)①$x_1=7,x_2=3$；②$x_1=-1,x_2=-4$；③$x_1=-1,x_2=7$
(2)①$x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$；②$x_1=\sqrt{2}-1,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程、二次根式化简
【点评】
本题以十字相乘法的阅读材料为载体，考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题核心是熟练掌握十字相乘法的拆分规则，准确验证一次项系数，将二次方程降次为一次方程求解，掌握方法后可大幅提升一元二次方程的解题速度。
【难度系数】
0.7
5 核心素养运算能力[2026江西上饶质检,较难]关于x的代数式$ax^2+bx+c$,若存在实数$m$,使得当$x=m$时,代数式的值也等于$m$,则称$m$为这个代数式的“不动值”.例如,对于关于$x$的代数式$x^2$,当$x=0$时,代数式的值为$0$;当$x=1$时,代数式的值为$1$,我们就称$0$和$1$都是这个代数式的“不动值”.
(1)关于$x$的代数式$x^2-12$的“不动值”是
(2)判断关于$x$的代数式$2x^2-x+1$是否有“不动值”?若有,请求出“不动值”;若没有,请说明理由.
(3)已知关于$x$的代数式$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15(a≠0)$,若此代数式的“不动值”至少有一个是整数,求出正整数$a$的值.
(1)关于$x$的代数式$x^2-12$的“不动值”是
4或-3
.(2)判断关于$x$的代数式$2x^2-x+1$是否有“不动值”?若有,请求出“不动值”;若没有,请说明理由.
(3)已知关于$x$的代数式$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15(a≠0)$,若此代数式的“不动值”至少有一个是整数,求出正整数$a$的值.
答案
5.【解】(1)当$x^2-12=x$时,$x^2-x-12=0,\therefore (x+3)(x-4)=0$,解得$x=-3$或$x=4$,$\therefore$ 关于$x$的代数式$x^2-12$的“不动值”是4或-3,故答案为4或-3.
(2)没有. 理由如下:
当$2x^2-x+1=x$时,$2x^2-2x+1=0. \because b^2-4ac=(-2)^2-4×2×1=-4＜0$,$\therefore$ 原方程无解,$\therefore 2x^2-x+1=x$不成立,$\therefore$ 关于$x$的代数式$2x^2-x+1$没有“不动值”.
(3)当$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15=x$时,$a^2x^2-(3a^2-8a)x+2a^2-13a+15=0$,$\therefore a^2x^2-(3a^2-8a)x+(2a-3)(a-5)=0$,$\therefore [ax-(2a-3)][ax-(a-5)]=0$,$\therefore ax-2a+3=0$ 或 $ax-a+5=0$,$\therefore x=2-\frac{3}{a}$ 或 $x=1-\frac{5}{a}. \because$ 原代数式的“不动值”至少有一个是整数,$\therefore \frac{3}{a}$ 或 $\frac{5}{a}$ 是整数,$\therefore$ 正整数$a$的值可以是1或3或5.
(2)没有. 理由如下:
当$2x^2-x+1=x$时,$2x^2-2x+1=0. \because b^2-4ac=(-2)^2-4×2×1=-4＜0$,$\therefore$ 原方程无解,$\therefore 2x^2-x+1=x$不成立,$\therefore$ 关于$x$的代数式$2x^2-x+1$没有“不动值”.
(3)当$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15=x$时,$a^2x^2-(3a^2-8a)x+2a^2-13a+15=0$,$\therefore a^2x^2-(3a^2-8a)x+(2a-3)(a-5)=0$,$\therefore [ax-(2a-3)][ax-(a-5)]=0$,$\therefore ax-2a+3=0$ 或 $ax-a+5=0$,$\therefore x=2-\frac{3}{a}$ 或 $x=1-\frac{5}{a}. \because$ 原代数式的“不动值”至少有一个是整数,$\therefore \frac{3}{a}$ 或 $\frac{5}{a}$ 是整数,$\therefore$ 正整数$a$的值可以是1或3或5.
解析
【分析】
解题的核心是准确理解“不动值”的定义：若m是代数式的不动值，则x=m时代数式的值等于m，即可转化为求解方程“代数式=x”的实根。
(1) 直接根据定义列一元二次方程，解方程即可得到不动值；
(2) 按定义列方程后，通过计算根的判别式判断方程是否有实根，即可判断是否存在不动值；
(3) 先按定义列方程，整理后因式分解求出方程的根，结合“至少一个不动值是整数、a为正整数”的条件推导a的取值即可。
【解析】
(1) 根据“不动值”定义，令$x^2-12=x$，整理得$x^2 - x - 12 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-4)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=4$。
(2) 没有不动值，理由如下：
令$2x^2 - x + 1 = x$，整理得$2x^2 - 2x + 1 = 0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×1 = -4 ＜ 0$，因此该方程无实数根，即该代数式没有不动值。
(3) 根据定义令$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15=x$，整理得：
$a^2x^2 - (3a^2 - 8a)x + 2a^2 - 13a + 15 = 0$，
将方程左边因式分解得$[ax - (2a - 3)][ax - (a - 5)] = 0$，
∴$ax - 2a + 3 = 0$ 或 $ax - a + 5 = 0$，
∵$a≠0$，解得$x = 2 - \frac{3}{a}$ 或 $x = 1 - \frac{5}{a}$，
∵不动值至少有一个是整数，
∴$\frac{3}{a}$或$\frac{5}{a}$为整数，
又
∵a是正整数，
∴a为3或5的正约数，即$a=1,3,5$。
【答案】
(1) $-3$或$4$
(2) 没有不动值
(3) 正整数$a$的值为$1,3,5$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题以新定义为载体考查一元二次方程的相关知识，解题关键是将新定义问题转化为常规的一元二次方程求解、根的判别问题，第三小问还需要结合整数性质求参数，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题的核心是准确理解“不动值”的定义：若m是代数式的不动值，则x=m时代数式的值等于m，即可转化为求解方程“代数式=x”的实根。
(1) 直接根据定义列一元二次方程，解方程即可得到不动值；
(2) 按定义列方程后，通过计算根的判别式判断方程是否有实根，即可判断是否存在不动值；
(3) 先按定义列方程，整理后因式分解求出方程的根，结合“至少一个不动值是整数、a为正整数”的条件推导a的取值即可。
【解析】
(1) 根据“不动值”定义，令$x^2-12=x$，整理得$x^2 - x - 12 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-4)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=4$。
(2) 没有不动值，理由如下：
令$2x^2 - x + 1 = x$，整理得$2x^2 - 2x + 1 = 0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×1 = -4 ＜ 0$，因此该方程无实数根，即该代数式没有不动值。
(3) 根据定义令$a^2x^2-(3a^2-8a-1)x+2a^2-13a+15=x$，整理得：
$a^2x^2 - (3a^2 - 8a)x + 2a^2 - 13a + 15 = 0$，
将方程左边因式分解得$[ax - (2a - 3)][ax - (a - 5)] = 0$，
∴$ax - 2a + 3 = 0$ 或 $ax - a + 5 = 0$，
∵$a≠0$，解得$x = 2 - \frac{3}{a}$ 或 $x = 1 - \frac{5}{a}$，
∵不动值至少有一个是整数，
∴$\frac{3}{a}$或$\frac{5}{a}$为整数，
又
∵a是正整数，
∴a为3或5的正约数，即$a=1,3,5$。
【答案】
(1) $-3$或$4$
(2) 没有不动值
(3) 正整数$a$的值为$1,3,5$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题以新定义为载体考查一元二次方程的相关知识，解题关键是将新定义问题转化为常规的一元二次方程求解、根的判别问题，第三小问还需要结合整数性质求参数，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
