6. [2025湖北中考]幻方起源于中国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成填空.
主 题 探究月历与幻方的奥秘
活动一
如图①所示为某月的月历,用方框选取了其中的9个数.
(1)移动方框,若方框中的部分数如图②所示,则$a=$, $b=$.
(2)移动方框,若方框中的部分数如图③所示,则$c=$, $d=$(用含$n$的代数式表示$c$和$d$).

活动二
移动方框选取月历中的9个数,调整它们的位置,使其满足“三阶幻方”分布规律:每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
(3)若方框选取的数如图④所示,调整后,部分数的位置如图⑤所示,则$e=$, $f=$.
(4)若方框选取的数中最小的数是$n$,调整后,部分数的位置如图⑥所示,请你用含$n$的代数式表示$g$.
图④：
2 3 4
9 10 11
16 17 18
图⑤：
17 2 e
10
18 f
图⑥：
n+2
n g n+16

6. (1) 5;11. 根据题意,得$a=4+1=5,b=4+7=11$.
(2) $n+1$;$n+7$. 根据题意,得$c=n+1,d=n+7$.
(3) 11;3. 根据题意,得$17+2+e=2+10+18,17+10+f=2+10+18$,解得$e=11,f=3$.
(4) 根据题意,易得$9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16$. 所以$g=n+8$.

7. [2024日照中考]在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏:对于给定的一列有序数字,在每相邻两个数之间插入这两数的和,形成新的一列有序数字.现有一列数2,4,进行第1次构造,得到新的一列数2,6,4;第2次构造后,得到一列数2,8,6,10,4……第n次构造后,得到一列数$2,x_1,x_2,x_3,\dots,x_k,4$,记$a_n=2+x_1+x_2+x_3+\dots+x_k+4$.下列结论错误的是 ()

A.$a_3=84$
B.$\frac{a_n}{3}$为偶数
C.$a_{n+1}=3a_n -6$
D.$k=2n -1$

7. D 第1次构造,得$a_1=2+6+4=12,k=1=2^1-1$,第2次构造,得$a_2=2+8+6+10+4=30=a_1+18=a_1+6×3^1$,$k=3=2^2-1$,第3次构造,得$a_3=2+10+8+14+6+16+10+14+4=84=a_2+54=a_2+6×3^2$,$k=7=2^3-1$,故A正确. 第n次构造,得$a_n=a_{n-1}+6×3^{n-1}$,则$a_n - a_{n-1}=6×3^{n-1}$,$a_{n-1} - a_{n-2}=6×3^{n-2}$,$a_{n-2} - a_{n-3}=6×3^{n-3}$,$\dots$,$a_2 - a_1=6×3^1$. 所以$a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - a_{n-2} + a_{n-2} - a_{n-3} + \dots + a_2 - a_1 = a_n - a_1 = 6×3^{n-1} + 6×3^{n-2} + 6×3^{n-3} + \dots + 6×3^1 = 6×(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^1)$. 令$S=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^1=3^1+3^2+\dots+3^{n-2}+3^{n-1}$①,则$3S=3^2+3^3+\dots+3^n$②. 由①$-$②,得$-2S=3-3^n$,所以$S=\frac{3^n-3}{2}$,即$a_n - a_1 = 6×(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^1)=3^{n+1}-9$.
所以$a_n=3^{n+1}+3$,则$a_{n+1}=3^{n+2}+3$,即$a_{n+1}=3a_n-6$. 故C正确.$\frac{a_n}{3}=3^n+1$为偶数. 故B正确. 第n次构造,得$a_n=a_{n-1}+6×3^{n-1}$,$k=2^n-1$. 故D错误.