1.[2025·宁夏中考改编]如图，直线$ l_1:y=k_1x+b_1 $与直线$ l_2:y=k_2x+b_2 $交于点A，则关于x，y的方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解是（ ）

A.$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=6, \\ y=4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4, \\ y=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=6, \\ y=6 \end{cases}$

A

【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组和一次函数的对应关系：由两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，就是这两个一次函数图象的交点坐标。因为交点同时在两条直线上，它的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式，也就满足对应的方程组。因此只需从图中读出两条直线交点A的坐标，即可得到方程组的解。
【解析】
解：
∵ 两个一次函数图象的交点坐标就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，
从图象中可知，直线$l_1$与$l_2$的交点$A$的坐标为$(4,6)$，
∴ 方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解是$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系，解题的核心是理解“两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”，只需准确读取图象中交点的坐标即可解题，属于基础题型。
【难度系数】0.9

逆向变式
若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=b, \\ x-y=a\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-1, \\ y=3,\end{cases}$则直线$y=-2x+b$与直线$y=x-a$的交点坐标是 ______ 。

$(-1,3)$

【分析】
解题时首先要明确一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。我们可以先将题目给出的两条直线的解析式变形，观察是否和已知的二元一次方程组一致，若一致，那么已知的方程组的解就是两条直线的交点坐标。
【解析】
∵ 两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
将直线$y=-2x+b$移项可得$2x+y=b$，将直线$y=x-a$移项可得$x-y=a$，
∴ 直线$y=-2x+b$与直线$y=x-a$联立得到的方程组就是$\begin{cases}2x+y=b \\ x-y=a\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$，因此两条直线的交点坐标就是$(-1,3)$。
【答案】
$(-1,3)$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的联系
2. 一次函数交点的含义
【点评】
本题是对一次函数基础概念的考查，解题关键是理解一次函数交点与对应二元一次方程组解的对应关系，无需复杂计算即可得到结果，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8

2. 直线$y=3x+6$与直线$y=2x-4$的交点坐标为$(a,b)$，则下列方程组的解为$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$的是（ ）

A.$\begin{cases} 3x - y = -6, \\ 2x + y = -4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x + y = -6, \\ 2x - y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - y = -6, \\ 2x - y = 4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x - y = 6, \\ 2x - y = 4 \end{cases}$

C

【分析】
解题的核心依据是：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式变形得到的二元一次方程组的解。解题时，先把题目给出的两条直线的解析式，通过移项变形为标准二元一次方程形式，再和选项中的方程组对比，即可选出正确答案。
【解析】
1. 对直线$y=3x+6$进行移项变形：
将$y$移到等号右侧，$6$移到等号左侧，可得$3x - y = -6$；
2. 对直线$y=2x-4$进行移项变形：
将$y$移到等号右侧，$-4$移到等号左侧，可得$2x - y = 4$；
因此以两直线交点$(a,b)$为解的方程组为$\begin{cases} 3x - y = -6, \\ 2x - y = 4 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.等式的移项变形
【点评】
本题属于基础题，核心考察一次函数交点和二元一次方程组解的对应关系，只要熟练掌握等式移项的规则，就能快速匹配得到正确选项。
【难度系数】
0.8

3. 利用函数图象解方程组：$\begin{cases}2x - y = 5, \\x + y = 1.\end{cases}$

由$2x-y=5$，得$y=2x-5$；由$x+y=1$，得$y=-x+1$。
在同一平面直角坐标系中分别画出它们的图象如图所示，它们的交点坐标是$(2,-1)$，所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$

【分析】
要利用函数图象解二元一次方程组，首先要明确：二元一次方程可转化为一次函数的形式，两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数解析式，因此该坐标就是对应二元一次方程组的解。解题可按三步进行：第一步把方程组中的两个方程都变形为$y=kx+b(k\ne 0)$的一次函数形式；第二步在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象；第三步确定两个图象的交点坐标，该坐标就是方程组的解。
【解析】
1. 将方程组中的方程变形为一次函数形式：
对$2x-y=5$移项整理，可得$y=2x-5$；
对$x+y=1$移项整理，可得$y=-x+1$。
2. 在同一平面直角坐标系中分别画出$y=2x-5$和$y=-x+1$的图象，观察可得两个图象的交点坐标为$(2,-1)$。
由于交点的x、y值同时满足两个一次函数解析式，即同时满足原方程组的两个方程，因此该交点坐标就是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象绘制，二元一次方程组图象解法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题型，核心是理解一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，解题时需正确将二元一次方程转化为一次函数的斜截式，准确绘制图象即可得到结果，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.8

4. 一次函数$y=2-2x$与$y=3-2x$的图象之间的位置关系是________，则二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 2, \\2x + y = 3\end{cases}$的解的情况是________。

平行 无解

【分析】
解题时可分两步思考：第一步判断一次函数的位置关系，先回忆一次函数的标准形式$y=kx+b$（$k≠0$），其中$k$是斜率决定直线倾斜程度，$b$是截距决定直线与$y$轴的交点，若两个一次函数$k$相等、$b$不相等，则图像平行；第二步判断方程组的解的情况，二元一次方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标，若两条直线没有交点，则对应的方程组无解。
【解析】
1. 判断一次函数的位置关系：
将两个函数整理为$y=kx+b$的形式：
$y=2-2x$可变形为$y=-2x+2$，即$k_1=-2$，$b_1=2$；
$y=3-2x$可变形为$y=-2x+3$，即$k_2=-2$，$b_2=3$。
因为$k_1=k_2=-2$，且$b_1≠b_2$，所以两个一次函数的图像平行。
2. 判断方程组的解的情况：
二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 2, \\2x + y = 3\end{cases}$的解对应两个一次函数图像的交点坐标，由于两条直线平行，没有公共交点，因此该方程组无解。
【答案】
平行 无解
【知识点】
一次函数图像性质；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕一次函数的图像特征和它与二元一次方程组的对应关系出题，只要熟练掌握一次函数斜率、截距和图像位置的关联，以及方程组解的几何意义就能快速解答。
【难度系数】
0.8

5.已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + 5y = 6, \\kx + 10y = 12,\end{cases}$当k ______ 时，方程组有且只有一组解；当k ______ 时，方程组有无穷多组解。

$≠4$ $=4$

【分析】
要判断二元一次方程组的解的情况，核心是看两个方程对应系数的比例关系。首先回忆二元一次方程组解的判定规则：当两个方程中x的系数比不等于y的系数比时，方程组有唯一一组解；当x的系数比、y的系数比、常数项比三者都相等时，两个方程本质是同解方程，方程组有无穷多组解。接下来将题目里方程组的对应系数代入规则，列比例式计算k的取值即可。
【解析】
对于二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，解的判定规则如下：
1. 若$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，方程组有且只有一组解；
2. 若$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$，方程组有无穷多组解。
本题中方程组为$\begin{cases}2x + 5y = 6 \\kx + 10y = 12\end{cases}$，对应系数$a_1=2,b_1=5,c_1=6,a_2=k,b_2=10,c_2=12$。
① 求有唯一解时k的取值：
令$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，即$\frac{2}{k} ≠ \frac{5}{10}$，化简得$\frac{2}{k} ≠ \frac{1}{2}$，交叉相乘得$k ≠ 4$。
② 求有无穷多组解时k的取值：
计算得$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，要满足三者相等，需$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{k}=\frac{1}{2}$，解得$k=4$，此时第二个方程是第一个方程两边同乘2得到的，两个方程完全等价，因此有无穷多组解。
【答案】
$≠4$；$=4$
【知识点】
二元一次方程组解的判定；比例的基本性质
【点评】
本题考查二元一次方程组不同解的情况对应的系数关系，属于基础题型，解题时只需对应系数列比例式计算即可，需要熟练掌握解的判定规则，避免混淆不同情况的比例要求。
【难度系数】
0.8

6.已知直线 $ y = ax + b $ 和直线 $ y = bx + 3a $ 的交点坐标是$(2, -1)$，则$ a, b $的值分别为 ()

A.$ 1,1 $
B.$ -1,1 $
C.$ -1,-1 $
D.$ -1,2 $

B

【分析】
解题的核心是理解一次函数交点坐标的含义：交点同时在两条直线上，因此交点坐标满足两条直线的解析式。我们只需要将交点坐标$(2,-1)$分别代入两个直线解析式，就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出方程组即可得到$a$、$b$的值，再匹配选项即可。
【解析】
因为点$(2,-1)$是直线$y=ax+b$和$y=bx+3a$的交点，所以将$x=2$，$y=-1$分别代入两个解析式可得：
$\begin{cases}2a + b = -1&①\\3a + 2b = -1&②\end{cases}$
由①式变形得：$b=-1-2a$ ③
将③代入②式：
$3a + 2×(-1-2a) = -1$
展开计算得：$3a -2 -4a = -1$
整理得：$-a = 1$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入③式得：$b=-1-2×(-1)=1$
综上，$a=-1$，$b=1$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数点坐标特征，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考点是一次函数交点与解析式的对应关系，将函数交点问题转化为解方程组问题即可快速求解，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

7.如果关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}y=-x+1, \\ y=(2k+1)x-3\end{cases}$无解，那么一次函数$y=(-k+1)x-3$的图象不经过第 ______ 象限。

二

【分析】
首先，关于x、y的二元一次方程组由两个一次函数解析式组成，方程组无解说明两个一次函数的图象互相平行、没有交点，此时两个函数的一次项系数相等、常数项不相等。我们先根据这个性质列方程求出k的值，再将k代入所求的一次函数解析式，最后根据一次函数的一次项系数和常数项的正负判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵ 方程组$\begin{cases}y=-x+1, \\ y=(2k+1)x-3\end{cases}$无解，
∴ 一次函数$y=-x+1$与$y=(2k+1)x-3$的图象平行，
∴ 两个函数的一次项系数相等，即$2k+1=-1$，
解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$y=(-k+1)x-3$，得：
$-k+1=-(-1)+1=2$，
∴ 该一次函数解析式为$y=2x-3$，
∵ $2＞0$，$-3＜0$，
∴ 一次函数$y=2x-3$的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数相关知识的综合应用，解题的关键是明确方程组无解对应两个一次函数图象平行，求出参数k后结合一次函数图象性质判断即可，是一次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7

8.如图,直线$l_1:y=x+1$与直线$l_2:y=mx+n$相交于点$P(1,b)$.
(1)$b$的值为;
(2)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x-y+1=0,\\mx-y+n=0\end{cases}$的解为 ______ ;
(3)直线$l_3:y=nx+m$是否也经过点$P$?请说明理由.

(1) 2
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=2\end{cases}$
(3) 直线$l_3:y=nx+m$也经过点P。理由如下：
因为直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，所以$m+n=2$。
对于直线$l_3:y=nx+m$，令$x=1$，则$y=n+m=2$，所以直线$l_3:y=nx+m$也经过点P。

【分析】
(1) 求b的值时，因为点P在直线$l_1$上，点的坐标满足对应函数解析式，所以将P的横坐标$x=1$代入$l_1$的解析式即可算出b的值；
(2) 题中方程组的两个方程变形后正好对应两条直线$l_1$、$l_2$的解析式，两条直线的交点坐标就是对应方程组的解，直接利用P点坐标即可得到答案；
(3) 判断直线$l_3$是否经过点P，首先把P点坐标代入$l_2$的解析式，得到m和n的数量关系，再将$x=1$代入$l_3$的解析式，验证对应的y值是否等于P点的纵坐标即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=1+1=2$；
(2) 直线$l_1$的解析式可变形为$x-y+1=0$，直线$l_2$的解析式可变形为$mx-y+n=0$，两条直线的交点坐标就是对应方程组的解，
已知交点P的坐标为$(1,2)$，
∴方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$；
(3) 直线$l_3$经过点P，理由如下：
∵直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，
∴将$x=1,y=2$代入得$m+n=2$，
对于直线$l_3:y=nx+m$，当$x=1$时，$y=n×1+m=m+n=2$，
即$x=1$时$y=2$，符合点P的坐标，因此直线$l_3$也经过点P。
【答案】
(1) 2
(2) $\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
(3) 直线$l_3:y=nx+m$也经过点P。理由如下：
因为直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，所以$m+n=2$。
对于直线$l_3:y=nx+m$，令$x=1$，则$y=n+m=2$，所以直线$l_3:y=nx+m$也经过点P。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组；一次函数的图象
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，以及一次函数和二元一次方程组的联系，解题时只要紧扣点坐标满足函数解析式、交点为方程组的解这两个规律即可轻松解决。
【难度系数】
0.8