1.以二元一次方程$3x - y + 5 = 0$的解为坐标的点组成的图形与下列一次函数的图象完全相同的是（）

A.$y = 3x - 5$
B.$y = 3x + 5$
C.$y = -3x - 5$
D.$y = -3x + 5$

B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程和一次函数的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形，就是这个对应的一次函数的图象。因此我们只需要将题目给出的二元一次方程变形为$y=kx+b$的形式，再和选项中的一次函数对比即可得到答案。
【解析】
对二元一次方程$3x - y + 5 = 0$进行变形：
第一步，移项，将含$y$的项留在等号左侧，其余项移到等号右侧，可得：$-y = -3x - 5$；
第二步，等号两边同时乘以$-1$，将$y$的系数化为1，可得：$y = 3x + 5$。
因此该方程的解对应的点组成的图形，就是一次函数$y=3x+5$的图象，和选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程与一次函数的关系
2.等式的变形
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程和一次函数的对应关系，解题的关键是熟练掌握移项、系数化为1等等式变形的基本操作，只要掌握相关基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 下列直线上每个点的坐标都是二元一次方程$2x - y = 2$的解的是（）

B

【分析】要判断哪条直线上的点都是方程$2x-y=2$的解，首先可将二元一次方程转化为对应的一次函数表达式，该一次函数的图像就是所求直线。我们可以先求出这个一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再对比四个选项的图像，找到同时经过这两个交点的直线即可。解题步骤：先整理方程得到函数式，再分别令$x=0$、$y=0$求出函数与两坐标轴的交点，最后匹配对应选项。
【解析】先将二元一次方程$2x-y=2$变形为一次函数形式：
移项得$y=2x-2$。
1. 求函数与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=2×0-2=-2$，即直线过点$(0,-2)$；
2. 求函数与x轴的交点：令$y=0$，代入得$0=2x-2$，解得$x=1$，即直线过点$(1,0)$。
观察四个选项的图像，只有选项B的直线同时经过$(1,0)$和$(0,-2)$，符合要求。
【答案】B
【知识点】二元一次方程与一次函数的关系、一次函数与坐标轴交点求法
【点评】本题属于基础题型，核心是建立二元一次方程和一次函数的对应关系，通过计算直线与坐标轴的交点即可快速匹配对应图像，掌握一次函数交点的计算方法就能轻松解题。
【难度系数】0.8

3.直线$y=kx+b$在平面直角坐标系中的位置如图所示，下面不是关于$x,y$的二元一次方程$kx - y + b = 0$的解的是（）

A.$\begin{cases} x=-2, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-1, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-4, \\ y=-2 \end{cases}$

C

【分析】
要判断哪个选项不是方程$kx - y + b = 0$的解，首先将方程变形为$y=kx+b$，可知该方程的解就是直线$y=kx+b$上点的坐标。解题思路如下：第一步，从图像中提取直线经过的两个明确的点坐标，用待定系数法求出$k$、$b$的值，得到直线的具体解析式；第二步，将各选项的$x$值代入解析式，计算对应的$y$值，和选项给出的$y$对比，不一致的即为所求。
【解析】
观察图像可得，直线$y=kx+b$经过点$(0,2)$和$(-2,0)$。
1. 求直线解析式：
将$(0,2)$代入$y=kx+b$，得$b=2$；
将$(-2,0)$、$b=2$代入$y=kx+b$，得$0=-2k+2$，解得$k=1$。
因此直线解析式为$y=x+2$，对应二元一次方程为$x - y + 2 = 0$。
2. 逐个验证选项：
A选项：把$x=-2$代入$y=x+2$，得$y=-2+2=0$，与选项中$y=0$一致，是方程的解；
B选项：把$x=-1$代入$y=x+2$，得$y=-1+2=1$，与选项中$y=1$一致，是方程的解；
C选项：把$x=4$代入$y=x+2$，得$y=4+2=6≠2$，与选项中$y=2$不一致，不是方程的解；
D选项：把$x=-4$代入$y=x+2$，得$y=-4+2=-2$，与选项中$y=-2$一致，是方程的解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数图像与对应二元一次方程解的联系，属于基础题型，解题关键是理解“一次函数图像上的点的坐标就是对应二元一次方程的解”，通过已知点求出解析式后代入验证即可得出结果。
【难度系数】
0.8

4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出二元一次方程$2x + y = 8$所对应的直线；
(2)请你根据所画的直线写出当$y = 2,4,6$时，对应的$x$的值分别是多少？

(1) 如图所示。
(2) 当$y=2,4,6$时，对应的x的值分别是3,2,1。

【分析】
(1) 要画二元一次方程对应的直线，依据“两点确定一条直线”，我们可以先找到方程的两组整数解，对应平面直角坐标系中的两个点，通常找直线与x轴、y轴的交点计算更简便，描出这两个点后连线即可得到所求直线。
(2) 求对应y值的x值有两种思路：一是直接把y的值代入二元一次方程，解关于x的一元一次方程即可得到x的值；二是在所画直线上找到纵坐标为2、4、6的点，读取对应点的横坐标即可。
【解析】
(1) 对于方程$2x+y=8$：
令$x=0$，代入得$y=8$，得到点$(0,8)$；
令$y=0$，代入得$2x=8$，解得$x=4$，得到点$(4,0)$；
在平面直角坐标系中描出$(0,8)$和$(4,0)$两个点，过这两个点画直线，即为$2x+y=8$对应的直线。
(2) 采用代入方程计算的方法：
当$y=2$时，代入方程得$2x+2=8$，解得$x=3$；
当$y=4$时，代入方程得$2x+4=8$，解得$x=2$；
当$y=6$时，代入方程得$2x+6=8$，解得$x=1$。
也可直接读取所画直线上对应点的横坐标，结果一致。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 当$y=2,4,6$时，对应的x的值分别是3,2,1。
【知识点】
两点法画直线；一次函数与二元一次方程的关系；代入法解方程
【点评】
本题是一次函数相关的基础题，重点考察一次函数图象的画法以及图象上点的坐标和方程的对应关系，掌握两点法画直线的技巧，能熟练通过代入法求解方程是解决本题的关键。
【难度系数】
0.9

5.若以关于$x$，$y$的二元一次方程$x+3y=b$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-\frac{1}{3}x + b -1$上，则常数$b$的值为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-1$
D.$1$

A

【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程和一次函数的关系：若以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明该二元一次方程变形得到的一次函数解析式与已知直线的解析式完全相同。解题时先把方程$x+3y=b$转化为$y$关于$x$的一次函数形式，再和已知直线对比，令常数项相等即可建立方程求出$b$的值。
【解析】
首先将二元一次方程$x+3y=b$变形，用含$x$的式子表示$y$：
移项得$3y=-x+b$，
两边同时除以3得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{b}{3}$。
因为以方程$x+3y=b$的解为坐标的点都在直线$y=-\frac{1}{3}x + b -1$上，所以两个一次函数解析式完全相同，常数项相等，即：
$\frac{b}{3}=b-1$
解这个一元一次方程：
两边同乘3得$b=3b-3$，
移项合并同类项得$2b=3$，
系数化为1得$b=\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；解一元一次方程
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的联系，解题核心是掌握“同一直线的一次函数解析式对应项系数、常数项均相等”的规律，将二元一次方程整理为一次函数标准形式后列方程求解即可，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

6.一次函数$y=kx+7$($k$为常数,且$k≠0$)的图象必经过点________;关于$x,y$的二元一次方程$kx-y=-7$有无穷多组解,其中必有一组解是________.

$(0,7)$
$\begin{cases}x=0,\\y=7\end{cases}$

【分析】
要找一次函数必过的定点，核心是找到不受参数k影响的坐标：令x的取值使得k的系数为0，就能消去k的干扰，算出对应的y值，得到定点；关于二元一次方程和一次函数的关系，一次函数图象上的所有点的坐标都是对应二元一次方程的解，因此一次函数必过的点对应的坐标，就是方程必有的一组解。
【解析】
1. 求一次函数必经过的点：
对于一次函数$y=kx+7$，令$x=0$，此时无论k取不为0的任意值，代入解析式都可得$y=k×0 +7=7$，因此该函数图象必经过点$(0,7)$。
2. 求方程必有的一组解：
将二元一次方程$kx-y=-7$变形可得$y=kx+7$，和上述一次函数解析式完全对应，一次函数图象上的每一组$(x,y)$都是该方程的解。由于$(0,7)$一定在函数图象上，代入方程验证：左边$=k×0 -7=-7$，和右边相等，因此方程必有一组解为$\begin{cases}x=0\\y=7\end{cases}$。
【答案】
$(0,7)$；$\begin{cases}x=0\\y=7\end{cases}$
【知识点】
一次函数图象特征；二元一次方程的解
【点评】
本题是基础题型，主要考查一次函数过定点的判断方法，以及一次函数与对应二元一次方程解的对应关系，解题关键是掌握消去参数k的思路，牢记一次函数$y=kx+b$恒过$(0,b)$的规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

7.如图,在平面直角坐标系中,把二元一次方程$x+y=4$的若干组解用点表示出来,发现它们都落在同一条直线上.一般地,任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来,它的图象都是一条直线.根据这个结论,解答下列问题:
(1)根据图象判断二元一次方程$x+y=4$的正整数解为(写出所有正整数解);
(2)在直线上取一点$M(1,3)$,将点$M$先向下平移$a$个单位长度,再向右平移$b$个单位长度得到点$M'$,发现点$M'$又重新落在二元一次方程$x+y=4$所对应的函数的图象上,试探究$a,b$之间满足的数量关系.

(1) $\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
(2) 点M平移后得到的点M'的坐标为$(1+b,3-a)$。因为点$M'(1+b,3-a)$在直线$x+y=4$上，所以$1+b+3-a=4$，所以$a=b$。

【分析】
(1) 求二元一次方程$x+y=4$的正整数解，需满足$x$、$y$均为正整数（即$x≥1$，$y≥1$），结合方程代入取值或观察图象上横纵坐标均为正整数的点，即可得到所有符合要求的解；
(2) 先根据点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，求出平移后点$M'$的坐标，再根据直线上的点的坐标满足对应的二元一次方程，将$M'$坐标代入$x+y=4$，化简即可得到$a$、$b$的数量关系。
【解析】
(1) 正整数解要求$x$、$y$均为大于0的整数，结合$x+y=4$：
当$x=1$时，$y=4-1=3$；
当$x=2$时，$y=4-2=2$；
当$x=3$时，$y=4-3=1$；
当$x≥4$时，$y≤0$，不符合正整数的要求，因此所有正整数解为上述3组。
(2) 点$M(1,3)$向下平移$a$个单位，纵坐标变为$3-a$；再向右平移$b$个单位，横坐标变为$1+b$，因此平移后$M'$的坐标为$(1+b,3-a)$。
因为$M'$在$x+y=4$对应的直线上，将坐标代入方程得：
$1+b+3-a=4$
化简得$4+b-a=4$，即$a=b$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
(2) $a=b$
【知识点】
二元一次方程的解；点的平移规律；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合一次函数与二元一次方程的关系考查基础知识点的应用，解题关键是明确正整数解的取值范围、点平移的坐标变化规则，以及函数图象上的点的坐标满足对应方程的特点，整体考查偏向基础，容易得分。
【难度系数】
0.8