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1.如图，$l_1$反映了某公司产品的销售收入与销量之间的关系，$l_2$反映了该公司产品的销售成本与销量之间的关系.当该公司盈利(收入大于成本)时，销量可能是（
A.2 t
B.3 t
C.4 t
D.5 t
D
）A.2 t
B.3 t
C.4 t
D.5 t
答案
D
解析
【分析】
要判断盈利时的销量，首先明确盈利的含义是销售收入大于销售成本，对应到函数图像中就是代表销售收入的直线$l_1$位于代表销售成本的直线$l_2$的上方。首先找到两条直线的交点，交点处销量为4t，此时收入与成本相等，为盈亏平衡点。当销量大于4t时，$l_1$在$l_2$上方，满足盈利条件，只需在选项中找到大于4t的数值即可。
【解析】
观察图像可知：
1. 直线$l_1$与$l_2$的交点坐标为$(4,4000)$，即当销量$x=4\ \mathrm{t}$时，销售收入等于销售成本，此时不盈不亏；
2. 盈利要求销售收入大于销售成本，即$l_1$的函数值大于$l_2$的函数值，对应图像上$l_1$在$l_2$上方的部分，此时销量$x＞4\ \mathrm{t}$；
3. 结合选项，只有$5\ \mathrm{t}$满足$x＞4\ \mathrm{t}$的条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用、一次函数图像的意义
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的图像应用，解题的关键是理解函数交点的实际含义，以及函数值大小关系在图像上的直观体现，结合图像即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断盈利时的销量，首先明确盈利的含义是销售收入大于销售成本，对应到函数图像中就是代表销售收入的直线$l_1$位于代表销售成本的直线$l_2$的上方。首先找到两条直线的交点，交点处销量为4t，此时收入与成本相等，为盈亏平衡点。当销量大于4t时，$l_1$在$l_2$上方，满足盈利条件，只需在选项中找到大于4t的数值即可。
【解析】
观察图像可知：
1. 直线$l_1$与$l_2$的交点坐标为$(4,4000)$，即当销量$x=4\ \mathrm{t}$时，销售收入等于销售成本，此时不盈不亏；
2. 盈利要求销售收入大于销售成本，即$l_1$的函数值大于$l_2$的函数值，对应图像上$l_1$在$l_2$上方的部分，此时销量$x＞4\ \mathrm{t}$；
3. 结合选项，只有$5\ \mathrm{t}$满足$x＞4\ \mathrm{t}$的条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用、一次函数图像的意义
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的图像应用，解题的关键是理解函数交点的实际含义，以及函数值大小关系在图像上的直观体现，结合图像即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 某照相馆推出优惠活动，方案1:一次性先交50元会员费，每打印一张相片，再付0.4元；方案2:不交会员费，每打印一张相片，付0.6元.若打印x张相片，两种方式的费用分别为$y_1$元和$y_2$元.
(1)分别写出$y_1$和$y_2$与$x$之间的函数表达式:________，________；
(2)若打印的张数$x$满足________时，选择方案2合算.
(1)分别写出$y_1$和$y_2$与$x$之间的函数表达式:________，________；
(2)若打印的张数$x$满足________时，选择方案2合算.
答案
(1) $y_1=50+0.4x$ $y_2=0.6x$
(2) $0≤ x＜250$且x为整数
(2) $0≤ x＜250$且x为整数
解析
【分析】
(1) 写函数表达式需明确两种方案的费用构成：方案1总费用=固定会员费+单张打印费×打印张数，方案2总费用=单张打印费×打印张数，对应代入数值即可得到函数式。
(2) “方案2合算”即方案2的费用低于方案1的费用，据此列不等式求解，同时结合打印张数x为非负整数的实际意义，得到最终取值范围。
【解析】
(1) 方案1：先交50元固定会员费，每打印1张付0.4元，打印x张的打印费为0.4x元，因此总费用$y_1=50+0.4x$；
方案2：无会员费，每打印1张付0.6元，打印x张的总费用为$0.6× x$，因此$y_2=0.6x$。
(2) 选择方案2合算，即方案2的费用小于方案1的费用，可得不等式：
$y_2 ＜ y_1$
代入函数式得：$0.6x ＜ 50 + 0.4x$
移项计算：$0.6x - 0.4x ＜ 50$，即$0.2x ＜50$，解得$x＜250$。
又因为打印相片的张数x为非负整数，因此x的取值范围为$0≤ x＜250$且x为整数。
【答案】
(1) $y_1=50+0.4x$，$y_2=0.6x$
(2) $0≤ x＜250$且x为整数
【知识点】
一次函数表达式，不等式实际应用，方案选择问题
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数与不等式的应用，解题关键是准确梳理费用构成，根据“合算”的含义正确列不等式，同时要注意自变量的实际取值限制，避免漏写x为非负整数的条件。
【难度系数】
0.8
(1) 写函数表达式需明确两种方案的费用构成：方案1总费用=固定会员费+单张打印费×打印张数，方案2总费用=单张打印费×打印张数，对应代入数值即可得到函数式。
(2) “方案2合算”即方案2的费用低于方案1的费用，据此列不等式求解，同时结合打印张数x为非负整数的实际意义，得到最终取值范围。
【解析】
(1) 方案1：先交50元固定会员费，每打印1张付0.4元，打印x张的打印费为0.4x元，因此总费用$y_1=50+0.4x$；
方案2：无会员费，每打印1张付0.6元，打印x张的总费用为$0.6× x$，因此$y_2=0.6x$。
(2) 选择方案2合算，即方案2的费用小于方案1的费用，可得不等式：
$y_2 ＜ y_1$
代入函数式得：$0.6x ＜ 50 + 0.4x$
移项计算：$0.6x - 0.4x ＜ 50$，即$0.2x ＜50$，解得$x＜250$。
又因为打印相片的张数x为非负整数，因此x的取值范围为$0≤ x＜250$且x为整数。
【答案】
(1) $y_1=50+0.4x$，$y_2=0.6x$
(2) $0≤ x＜250$且x为整数
【知识点】
一次函数表达式，不等式实际应用，方案选择问题
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数与不等式的应用，解题关键是准确梳理费用构成，根据“合算”的含义正确列不等式，同时要注意自变量的实际取值限制，避免漏写x为非负整数的条件。
【难度系数】
0.8
3.[2026·淮北期末]某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲、乙两商场的优惠条件如表所示：
设学校购买$ x(x＞1) $台电脑，选择甲商场时，所需费用为$ y_1 $元；选择乙商场时，所需费用为$ y_2 $元.
(1)请分别求出$ y_1,y_2 $与$ x $之间的关系式.
(2)当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同？
设学校购买$ x(x＞1) $台电脑，选择甲商场时，所需费用为$ y_1 $元；选择乙商场时，所需费用为$ y_2 $元.
(1)请分别求出$ y_1,y_2 $与$ x $之间的关系式.
(2)当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同？
答案
(1) 由题意，可得$y_1=6000+6000(x-1)×(1-25\%)=4500x+1500$，$y_2=6000x×(1-20\%)=4800x$。
(2) 由$y_1=y_2$，得$4500x+1500=4800x$，解得$x=5$，所以当该学校购买5台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同。
(2) 由$y_1=y_2$，得$4500x+1500=4800x$，解得$x=5$，所以当该学校购买5台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同。
解析
【分析】
解决第(1)问时，先明确两个商场的优惠规则：甲商场第一台按原价6000元收费，剩余(x-1)台每台按原价的75%收费，将两部分费用相加即可得到y₁的关系式；乙商场所有电脑均按原价的80%收费，用台数乘单台优惠后的价格即可得到y₂的关系式。解决第(2)问时，费用相同即y₁=y₂，将第(1)问得到的两个关系式联立为一元一次方程，求解x即可得到对应购买台数。
【解析】
(1) 根据甲商场优惠规则，总费用为第一台费用加剩余(x-1)台的优惠后费用：
$\begin{aligned}y_1&=6000+6000(x-1)×(1-25\%)\\&=6000+4500(x-1)\\&=4500x+1500 \quad (x＞1,且x为正整数)\end{aligned}$
根据乙商场优惠规则，总费用为所有电脑优惠后的总价：
$\begin{aligned}y_2&=6000x×(1-20\%)\\&=4800x \quad (x＞1,且x为正整数)\end{aligned}$
(2) 当两个商场费用相同时，$y_1=y_2$，代入关系式得：
$4500x+1500=4800x$
移项计算得$300x=1500$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $y_1=4500x+1500$（$x＞1$且$x$为正整数），$y_2=4800x$（$x＞1$且$x$为正整数）
(2) 5台
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，一元一次方程求解
【点评】
本题是常见的消费方案选择类应用题，解题核心是读懂优惠规则，理清费用计算的数量关系，正确列出函数表达式后结合方程即可求解，难度较低，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，先明确两个商场的优惠规则：甲商场第一台按原价6000元收费，剩余(x-1)台每台按原价的75%收费，将两部分费用相加即可得到y₁的关系式；乙商场所有电脑均按原价的80%收费，用台数乘单台优惠后的价格即可得到y₂的关系式。解决第(2)问时，费用相同即y₁=y₂，将第(1)问得到的两个关系式联立为一元一次方程，求解x即可得到对应购买台数。
【解析】
(1) 根据甲商场优惠规则，总费用为第一台费用加剩余(x-1)台的优惠后费用：
$\begin{aligned}y_1&=6000+6000(x-1)×(1-25\%)\\&=6000+4500(x-1)\\&=4500x+1500 \quad (x＞1,且x为正整数)\end{aligned}$
根据乙商场优惠规则，总费用为所有电脑优惠后的总价：
$\begin{aligned}y_2&=6000x×(1-20\%)\\&=4800x \quad (x＞1,且x为正整数)\end{aligned}$
(2) 当两个商场费用相同时，$y_1=y_2$，代入关系式得：
$4500x+1500=4800x$
移项计算得$300x=1500$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $y_1=4500x+1500$（$x＞1$且$x$为正整数），$y_2=4800x$（$x＞1$且$x$为正整数）
(2) 5台
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，一元一次方程求解
【点评】
本题是常见的消费方案选择类应用题，解题核心是读懂优惠规则，理清费用计算的数量关系，正确列出函数表达式后结合方程即可求解，难度较低，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
4.某化妆品公司推出一种新护肤品，如图是该公司每月付给销售员推销费的两种方案，其中x(单位:件)表示该公司销售员每月推销产品的数量，y(单位:元)是每月推销费.
(1)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(2)请结合函数表达式解释该公司是如何支付推销费的(按两种方案分别叙述).
(3)如果你是该公司的销售员，你会如何选择推销费的方案？
(1)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(2)请结合函数表达式解释该公司是如何支付推销费的(按两种方案分别叙述).
(3)如果你是该公司的销售员，你会如何选择推销费的方案？
答案
(1) 设$y_1=k_1x$，$y_2=k_2x+b$。
根据题图可得$y_1$经过点$(30,600)$，$y_2$经过点$(30,600)$和$(0,300)$。
将$(30,600)$代入$y_1=k_1x$，得$30k_1=600$，解得$k_1=20$。
将$(30,600)$和$(0,300)$分别代入$y_2=k_2x+b$，得$\begin{cases}30k_2+b=600,\\b=300,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=10,\\b=300.\end{cases}$
所以$y_1=20x$，$y_2=10x+300$。
(2) 方案一：没有基础工资，每推销1件产品支付推销费20元（即$y_1=20x$）；
方案二：每月发基础工资300元，每推销1件产品，再支付10元推销费（即$y_2=10x+300$）。
(3) 当$y_1＞y_2$，即$20x＞10x+300$时，$x＞30$；
当$y_1=y_2$，即$20x=10x+300$时，$x=30$；
当$y_1＜y_2$，即$20x＜10x+300$时，$x＜30$。
所以，若有信心每月推销30件以上的产品，选择方案一；若估计每月推销的产品数不足30件，选择方案二；若估计每月推销的产品数为30件，选择两种方案一样。
根据题图可得$y_1$经过点$(30,600)$，$y_2$经过点$(30,600)$和$(0,300)$。
将$(30,600)$代入$y_1=k_1x$，得$30k_1=600$，解得$k_1=20$。
将$(30,600)$和$(0,300)$分别代入$y_2=k_2x+b$，得$\begin{cases}30k_2+b=600,\\b=300,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=10,\\b=300.\end{cases}$
所以$y_1=20x$，$y_2=10x+300$。
(2) 方案一：没有基础工资，每推销1件产品支付推销费20元（即$y_1=20x$）；
方案二：每月发基础工资300元，每推销1件产品，再支付10元推销费（即$y_2=10x+300$）。
(3) 当$y_1＞y_2$，即$20x＞10x+300$时，$x＞30$；
当$y_1=y_2$，即$20x=10x+300$时，$x=30$；
当$y_1＜y_2$，即$20x＜10x+300$时，$x＜30$。
所以，若有信心每月推销30件以上的产品，选择方案一；若估计每月推销的产品数不足30件，选择方案二；若估计每月推销的产品数为30件，选择两种方案一样。
解析
【分析】
(1) 求函数表达式采用待定系数法：观察图像可知$y_1$是过原点的正比例函数，设为$y_1=k_1x$，代入1个已知点坐标即可求出系数；$y_2$是普通一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，代入2个已知点坐标，解二元一次方程组即可求出系数。
(2) 解释付费方案时，正比例函数无常数项说明无基础工资，x的系数为每件产品的推销费；一次函数的常数项为基础工资，x的系数为每推销1件额外获得的费用。
(3) 选择方案本质是比较两个函数值的大小，分别令$y_1＞y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$，解不等式或方程得到对应的x取值范围，结合推销数量给出选择建议即可。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$，$y_2=k_2x+b$。
根据题图，$y_1$经过点$(30,600)$，将点代入$y_1=k_1x$得：
$30k_1=600$，解得$k_1=20$。
$y_2$经过点$(30,600)$和$(0,300)$，将两点代入$y_2=k_2x+b$得：
$\begin{cases}30k_2+b=600\\b=300\end{cases}$
将$b=300$代入第一个方程，解得$k_2=10$。
因此$y_1=20x$，$y_2=10x+300$。
(2) 方案一对应$y_1$：无基础工资，每推销1件产品支付20元推销费，总推销费和推销数量成正比；
方案二对应$y_2$：每月固定发放300元基础工资，每多推销1件产品，额外支付10元推销费。
(3) 分三种情况比较推销费：
当$y_1＞y_2$时，$20x＞10x+300$，解得$x＞30$，此时方案一收入更高；
当$y_1=y_2$时，$20x=10x+300$，解得$x=30$，此时两种方案收入相同；
当$y_1＜y_2$时，$20x＜10x+300$，解得$x＜30$，此时方案二收入更高。
结合以上结论即可给出选择方案。
【答案】
(1) $y_1=20x$，$y_2=10x+300$；
(2) 方案一：没有基础工资，每推销1件产品支付推销费20元；方案二：每月发基础工资300元，每推销1件产品，再支付10元推销费；
(3) 若有信心每月推销30件以上的产品，选择方案一；若估计每月推销的产品数不足30件，选择方案二；若估计每月推销的产品数为30件，选择两种方案一样。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数值比较
【点评】
本题以真实的工作付费场景为载体，考查一次函数的相关知识，既要求掌握函数解析式的求解方法，也要求能结合函数性质解决实际决策问题，贴合生活，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式采用待定系数法：观察图像可知$y_1$是过原点的正比例函数，设为$y_1=k_1x$，代入1个已知点坐标即可求出系数；$y_2$是普通一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，代入2个已知点坐标，解二元一次方程组即可求出系数。
(2) 解释付费方案时，正比例函数无常数项说明无基础工资，x的系数为每件产品的推销费；一次函数的常数项为基础工资，x的系数为每推销1件额外获得的费用。
(3) 选择方案本质是比较两个函数值的大小，分别令$y_1＞y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$，解不等式或方程得到对应的x取值范围，结合推销数量给出选择建议即可。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$，$y_2=k_2x+b$。
根据题图，$y_1$经过点$(30,600)$，将点代入$y_1=k_1x$得：
$30k_1=600$，解得$k_1=20$。
$y_2$经过点$(30,600)$和$(0,300)$，将两点代入$y_2=k_2x+b$得：
$\begin{cases}30k_2+b=600\\b=300\end{cases}$
将$b=300$代入第一个方程，解得$k_2=10$。
因此$y_1=20x$，$y_2=10x+300$。
(2) 方案一对应$y_1$：无基础工资，每推销1件产品支付20元推销费，总推销费和推销数量成正比；
方案二对应$y_2$：每月固定发放300元基础工资，每多推销1件产品，额外支付10元推销费。
(3) 分三种情况比较推销费：
当$y_1＞y_2$时，$20x＞10x+300$，解得$x＞30$，此时方案一收入更高；
当$y_1=y_2$时，$20x=10x+300$，解得$x=30$，此时两种方案收入相同；
当$y_1＜y_2$时，$20x＜10x+300$，解得$x＜30$，此时方案二收入更高。
结合以上结论即可给出选择方案。
【答案】
(1) $y_1=20x$，$y_2=10x+300$；
(2) 方案一：没有基础工资，每推销1件产品支付推销费20元；方案二：每月发基础工资300元，每推销1件产品，再支付10元推销费；
(3) 若有信心每月推销30件以上的产品，选择方案一；若估计每月推销的产品数不足30件，选择方案二；若估计每月推销的产品数为30件，选择两种方案一样。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数值比较
【点评】
本题以真实的工作付费场景为载体，考查一次函数的相关知识，既要求掌握函数解析式的求解方法，也要求能结合函数性质解决实际决策问题，贴合生活，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
