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5.某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB，OC分别表示每天生产成本$y_1$元，收入$y_2$元与产量$x$ kg之间的函数关系，则每天销售量至少为
30
kg时，销售该食品不亏本。答案
30
解析
【分析】
要解决“不亏本”的问题，首先明确“不亏本”的含义是收入≥生产成本，也就是$y_2 ≥ y_1$。解题思路为：首先用待定系数法分别求出收入函数$y_2$、成本函数$y_1$的一次函数解析式，再列不等式$y_2 ≥ y_1$求解，得到的最小$x$值就是所求的最少销售量。
【解析】
1. 求收入函数$y_2$的解析式：
线段OC过原点$(0,0)$和点$(60,720)$，设$y_2 = k_1x(k_1 ≠ 0)$，将$(60,720)$代入解析式得：
$720 = 60k_1$，解得$k_1 = 12$，因此$y_2 = 12x$（$x ≥ 0$）。
2. 求生产成本函数$y_1$的解析式：
线段AB过点$(0,240)$和点$(60,480)$，设$y_1 = k_2x + b(k_2 ≠ 0)$，将$(0,240)$代入得$b = 240$，再将$(60,480)$代入得：
$480 = 60k_2 + 240$，解得$k_2 = 4$，因此$y_1 = 4x + 240$（$x ≥ 0$）。
3. 计算不亏本的最小销售量：
不亏本满足$y_2 ≥ y_1$，代入两个解析式得：
$12x ≥ 4x + 240$
移项化简得：$8x ≥ 240$，解得$x ≥ 30$
即每天销售量至少为30kg时，销售该食品不亏本。
【答案】
30
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的实际应用，解题核心是把“不亏本”的实际要求转化为数学不等式关系，通过求两个函数的临界值得到结果，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决“不亏本”的问题，首先明确“不亏本”的含义是收入≥生产成本，也就是$y_2 ≥ y_1$。解题思路为：首先用待定系数法分别求出收入函数$y_2$、成本函数$y_1$的一次函数解析式，再列不等式$y_2 ≥ y_1$求解，得到的最小$x$值就是所求的最少销售量。
【解析】
1. 求收入函数$y_2$的解析式：
线段OC过原点$(0,0)$和点$(60,720)$，设$y_2 = k_1x(k_1 ≠ 0)$，将$(60,720)$代入解析式得：
$720 = 60k_1$，解得$k_1 = 12$，因此$y_2 = 12x$（$x ≥ 0$）。
2. 求生产成本函数$y_1$的解析式：
线段AB过点$(0,240)$和点$(60,480)$，设$y_1 = k_2x + b(k_2 ≠ 0)$，将$(0,240)$代入得$b = 240$，再将$(60,480)$代入得：
$480 = 60k_2 + 240$，解得$k_2 = 4$，因此$y_1 = 4x + 240$（$x ≥ 0$）。
3. 计算不亏本的最小销售量：
不亏本满足$y_2 ≥ y_1$，代入两个解析式得：
$12x ≥ 4x + 240$
移项化简得：$8x ≥ 240$，解得$x ≥ 30$
即每天销售量至少为30kg时，销售该食品不亏本。
【答案】
30
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的实际应用，解题核心是把“不亏本”的实际要求转化为数学不等式关系，通过求两个函数的临界值得到结果，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 新考向 传统文化 哪吒闹海是中国古代传统神话故事，它不仅被多次改编为文学作品、戏曲和影视作品，还成为中国传统文化中反抗精神和成长主题的象征.其中哪吒是该故事中的经典人物，深受青少年的喜爱.现有甲、乙两商店推出哪吒系列人物卡通模型购买优惠活动：
(1)若在甲、乙两商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为$y_甲,y_乙$（单位：元），请分别求出$y_甲,y_乙$关于购买数量$x$（单位：个）的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)在哪家商店购买更划算？请通过计算说明.
(1)若在甲、乙两商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为$y_甲,y_乙$（单位：元），请分别求出$y_甲,y_乙$关于购买数量$x$（单位：个）的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)在哪家商店购买更划算？请通过计算说明.
答案
(1) 根据题意，当$0＜x≤3$时，$y_甲=20x$；
当$x＞3$时，$y_甲=20×3+0.6×20(x-3)=12x+24$，
所以$y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3),\\12x+24(x＞3).\end{cases}$
$y_乙=0.8×20x=16x(x＞0)$。
(2) 当$0＜x≤3$时，$20x＞16x$；当$x＞3$时，若$12x+24=16x$，则$x=6$；若$12x+24＞16x$，则$x＜6$，若$12x+24＜16x$，则$x＞6$。
综上所述，当$0＜x＜6$时，到乙商店购买更划算；当$x=6$时，到甲、乙两商店购买花费一样；当$x＞6$时，到甲商店购买更划算。
当$x＞3$时，$y_甲=20×3+0.6×20(x-3)=12x+24$，
所以$y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3),\\12x+24(x＞3).\end{cases}$
$y_乙=0.8×20x=16x(x＞0)$。
(2) 当$0＜x≤3$时，$20x＞16x$；当$x＞3$时，若$12x+24=16x$，则$x=6$；若$12x+24＞16x$，则$x＜6$，若$12x+24＜16x$，则$x＞6$。
综上所述，当$0＜x＜6$时，到乙商店购买更划算；当$x=6$时，到甲、乙两商店购买花费一样；当$x＞6$时，到甲商店购买更划算。
解析
【分析】
(1) 求函数表达式时需结合两店的优惠规则分析：甲商店的优惠分两种情况，购买数量不超过3个时全价付款，超过3个时前3个全价、超出部分六折，因此要分段写$y_甲$的表达式；乙商店所有商品均打八折，直接用单价×折扣×数量即可得到$y_乙$的表达式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 判断哪家商店更划算本质是比较不同购买数量下$y_甲$和$y_乙$的大小，分$0＜x≤3$和$x＞3$两种情况，分别通过解方程、不等式得出不同取值范围对应的更优惠的商店即可。
【解析】
(1) 推导$y_甲$的表达式：
① 当$0＜x≤3$时，无额外优惠，总价=单价×数量，因此$y_甲=20x$；
② 当$x＞3$时，前3个的总价为$20×3$元，超出的$(x-3)$个按六折付款，对应单价为$20×0.6$元，因此总金额为：
$y_甲=20×3 + 0.6×20(x-3)=60+12(x-3)=12x+24$
综上可得$y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3)\\12x+24(x＞3)\end{cases}$。
推导$y_乙$的表达式：乙商店所有商品打八折，优惠后单价为$20×0.8=16$元，因此总金额$y_乙=16x$，自变量取值范围为$x＞0$。
(2) 分情况比较$y_甲$和$y_乙$的大小：
① 当$0＜x≤3$时，$y_甲=20x$，$y_乙=16x$，显然$20x＞16x$，此时乙商店更划算；
② 当$x＞3$时，分三类讨论：
若两家花费相等，即$y_甲=y_乙$，列方程：$12x+24=16x$，解得$x=6$；
若甲商店花费更高，即$y_甲＞y_乙$，列不等式：$12x+24＞16x$，解得$x＜6$，结合$x＞3$，得$3＜x＜6$时乙商店更划算；
若乙商店花费更高，即$y_甲＜y_乙$，列不等式：$12x+24＜16x$，解得$x＞6$，此时甲商店更划算。
综合上述情况即可得到最终结论。
【答案】
(1) $y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3)\\12x+24(x＞3)\end{cases}$；$y_乙=16x(x＞0)$
(2) 当购买数量$0＜x＜6$时，到乙商店购买更划算；当购买数量$x=6$时，到甲、乙两商店购买花费相同；当购买数量$x＞6$时，到甲商店购买更划算。
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案选择
【点评】
本题结合传统文化背景与生活中的促销场景，考查一次函数的实际应用，解题时需注意分段函数的节点条件，通过分类讨论比较函数值大小得到最优方案，能有效锻炼学生的数学应用意识和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式时需结合两店的优惠规则分析：甲商店的优惠分两种情况，购买数量不超过3个时全价付款，超过3个时前3个全价、超出部分六折，因此要分段写$y_甲$的表达式；乙商店所有商品均打八折，直接用单价×折扣×数量即可得到$y_乙$的表达式，注意标注自变量的取值范围。
(2) 判断哪家商店更划算本质是比较不同购买数量下$y_甲$和$y_乙$的大小，分$0＜x≤3$和$x＞3$两种情况，分别通过解方程、不等式得出不同取值范围对应的更优惠的商店即可。
【解析】
(1) 推导$y_甲$的表达式：
① 当$0＜x≤3$时，无额外优惠，总价=单价×数量，因此$y_甲=20x$；
② 当$x＞3$时，前3个的总价为$20×3$元，超出的$(x-3)$个按六折付款，对应单价为$20×0.6$元，因此总金额为：
$y_甲=20×3 + 0.6×20(x-3)=60+12(x-3)=12x+24$
综上可得$y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3)\\12x+24(x＞3)\end{cases}$。
推导$y_乙$的表达式：乙商店所有商品打八折，优惠后单价为$20×0.8=16$元，因此总金额$y_乙=16x$，自变量取值范围为$x＞0$。
(2) 分情况比较$y_甲$和$y_乙$的大小：
① 当$0＜x≤3$时，$y_甲=20x$，$y_乙=16x$，显然$20x＞16x$，此时乙商店更划算；
② 当$x＞3$时，分三类讨论：
若两家花费相等，即$y_甲=y_乙$，列方程：$12x+24=16x$，解得$x=6$；
若甲商店花费更高，即$y_甲＞y_乙$，列不等式：$12x+24＞16x$，解得$x＜6$，结合$x＞3$，得$3＜x＜6$时乙商店更划算；
若乙商店花费更高，即$y_甲＜y_乙$，列不等式：$12x+24＜16x$，解得$x＞6$，此时甲商店更划算。
综合上述情况即可得到最终结论。
【答案】
(1) $y_甲=\begin{cases}20x(0＜x≤3)\\12x+24(x＞3)\end{cases}$；$y_乙=16x(x＞0)$
(2) 当购买数量$0＜x＜6$时，到乙商店购买更划算；当购买数量$x=6$时，到甲、乙两商店购买花费相同；当购买数量$x＞6$时，到甲商店购买更划算。
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案选择
【点评】
本题结合传统文化背景与生活中的促销场景，考查一次函数的实际应用，解题时需注意分段函数的节点条件，通过分类讨论比较函数值大小得到最优方案，能有效锻炼学生的数学应用意识和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
7.[2025·滁州凤阳县期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向3 km～10 km的出行市场,现有A,B两种品牌的共享电动车,给出的图象反映了收费y元与骑行时间x min之间的对应关系,其中A品牌的收费方式对应$y_1$,B品牌的收费方式对应$y_2$.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)写出图中函数$y_1,y_2$的图象的交点P表示的实际意义；
(2)求$y_1,y_2$与x之间的函数表达式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300 m/min,小明家到工厂的距离为5.4 km,那么小明选择
②当x为何值时,两种品牌共享电动车的收费相差4元？
(1)写出图中函数$y_1,y_2$的图象的交点P表示的实际意义；
(2)求$y_1,y_2$与x之间的函数表达式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300 m/min,小明家到工厂的距离为5.4 km,那么小明选择
A
品牌共享电动车更省钱；(填“A”或“B”)②当x为何值时,两种品牌共享电动车的收费相差4元？
答案
(1) 当骑行时间为20 min时，两种品牌共享电动车的收费一样，都是8元。
(2) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，由条件可知$20k_1=8$，解得$k_1=\frac{2}{5}$，所以$y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$。
当$0＜x≤10$时，$y_2=6$。
当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
由条件可知$\begin{cases}10k_2+b=6,\\20k_2+b=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{5},\\b=4.\end{cases}$
所以$y_2=\frac{1}{5}x+4$，所以$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10),\\\frac{1}{5}x+4(x＞10).\end{cases}$
(3) ①A
②当$0＜x≤10$时，$6-\frac{2}{5}x=4$，解得$x=5$。
当$x＞10$时，$\left|\frac{1}{5}x+4-\frac{2}{5}x\right|=4$，即$\left|\frac{1}{5}x-4\right|=4$，解得$x=0$（不合题意，舍去）或$x=40$。
所以$x=5$或$x=40$时，两种品牌共享电动车的收费相差4元。
(2) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，由条件可知$20k_1=8$，解得$k_1=\frac{2}{5}$，所以$y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$。
当$0＜x≤10$时，$y_2=6$。
当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
由条件可知$\begin{cases}10k_2+b=6,\\20k_2+b=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{5},\\b=4.\end{cases}$
所以$y_2=\frac{1}{5}x+4$，所以$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10),\\\frac{1}{5}x+4(x＞10).\end{cases}$
(3) ①A
②当$0＜x≤10$时，$6-\frac{2}{5}x=4$，解得$x=5$。
当$x＞10$时，$\left|\frac{1}{5}x+4-\frac{2}{5}x\right|=4$，即$\left|\frac{1}{5}x-4\right|=4$，解得$x=0$（不合题意，舍去）或$x=40$。
所以$x=5$或$x=40$时，两种品牌共享电动车的收费相差4元。
解析
【分析】
(1) 函数图象交点的横、纵坐标分别对应骑行时间和收费，因此交点P的实际意义可直接结合横纵坐标的含义说明；
(2) 求一次函数表达式用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，已知过点$(20,8)$，代入即可求出系数；$y_2$是分段函数，$0＜x≤10$时收费恒为6元，$x＞10$时是一次函数，已知过$(10,6)$和$(20,8)$两点，代入两点坐标解二元一次方程组即可求出表达式；
(3) ①先根据路程和速度算出骑行时间，再分别代入两个函数算费用，比较大小即可判断更省钱的品牌；②收费相差4元需分情况讨论：$0＜x≤10$时，$y_2$恒为6，直接列差为4的方程求解；$x＞10$时，两个函数值的差的绝对值为4，列方程求解后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 交点P的横坐标为骑行时间，纵坐标为收费，因此实际意义为：当骑行时间为20 min时，两种品牌共享电动车的收费一样，都是8元。
(2) 求$y_1$的函数表达式：
设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，将点$(20,8)$代入得$20k_1=8$，解得$k_1=\frac{2}{5}$，因此$y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$。
求$y_2$的函数表达式：
当$0＜x≤10$时，收费恒为6元，故$y_2=6$；
当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，将$(10,6)$、$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10k_2+b=6\\20k_2+b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{5}\\b=4\end{cases}$，因此此时$y_2=\frac{1}{5}x+4$。
综上，$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10)\\\frac{1}{5}x+4(x＞10)\end{cases}$。
(3) ①先计算骑行时间：$5.4\mathrm{km}=5400\mathrm{m}$，骑行时间$x=5400÷300=18\mathrm{min}$。
代入$y_1$得：$y_1=\frac{2}{5}×18=7.2$元；
$x=18＞10$，代入$y_2$得：$y_2=\frac{1}{5}×18+4=7.6$元。
$7.2＜7.6$，因此选A品牌更省钱。
②分情况讨论：
当$0＜x≤10$时，$y_2 - y_1=4$，即$6-\frac{2}{5}x=4$，解得$x=5$，符合取值范围；
当$x＞10$时，$|y_2 - y_1|=4$，即$\left|\frac{1}{5}x+4-\frac{2}{5}x\right|=4$，化简得$\left|4-\frac{1}{5}x\right|=4$：
当$4-\frac{1}{5}x=4$时，$x=0$，不符合$x＞10$，舍去；
当$4-\frac{1}{5}x=-4$时，解得$x=40$，符合取值范围。
综上，$x=5$或$x=40$时，两种品牌共享电动车的收费相差4元。
【答案】
(1) 当骑行时间为20 min时，两种品牌共享电动车的收费一样，都是8元。
(2) $y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$；$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10)\\\frac{1}{5}x+4(x＞10)\end{cases}$
(3) ①A；②$x=5$或$x=40$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合共享电动车收费的实际场景，考查一次函数的实际应用，解题时要掌握待定系数法求函数解析式的方法，处理分段函数问题时要注意自变量的取值范围，涉及差值问题时要结合分类讨论思想，对解的合理性进行判断。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象交点的横、纵坐标分别对应骑行时间和收费，因此交点P的实际意义可直接结合横纵坐标的含义说明；
(2) 求一次函数表达式用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，已知过点$(20,8)$，代入即可求出系数；$y_2$是分段函数，$0＜x≤10$时收费恒为6元，$x＞10$时是一次函数，已知过$(10,6)$和$(20,8)$两点，代入两点坐标解二元一次方程组即可求出表达式；
(3) ①先根据路程和速度算出骑行时间，再分别代入两个函数算费用，比较大小即可判断更省钱的品牌；②收费相差4元需分情况讨论：$0＜x≤10$时，$y_2$恒为6，直接列差为4的方程求解；$x＞10$时，两个函数值的差的绝对值为4，列方程求解后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 交点P的横坐标为骑行时间，纵坐标为收费，因此实际意义为：当骑行时间为20 min时，两种品牌共享电动车的收费一样，都是8元。
(2) 求$y_1$的函数表达式：
设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，将点$(20,8)$代入得$20k_1=8$，解得$k_1=\frac{2}{5}$，因此$y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$。
求$y_2$的函数表达式：
当$0＜x≤10$时，收费恒为6元，故$y_2=6$；
当$x＞10$时，设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，将$(10,6)$、$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10k_2+b=6\\20k_2+b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{5}\\b=4\end{cases}$，因此此时$y_2=\frac{1}{5}x+4$。
综上，$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10)\\\frac{1}{5}x+4(x＞10)\end{cases}$。
(3) ①先计算骑行时间：$5.4\mathrm{km}=5400\mathrm{m}$，骑行时间$x=5400÷300=18\mathrm{min}$。
代入$y_1$得：$y_1=\frac{2}{5}×18=7.2$元；
$x=18＞10$，代入$y_2$得：$y_2=\frac{1}{5}×18+4=7.6$元。
$7.2＜7.6$，因此选A品牌更省钱。
②分情况讨论：
当$0＜x≤10$时，$y_2 - y_1=4$，即$6-\frac{2}{5}x=4$，解得$x=5$，符合取值范围；
当$x＞10$时，$|y_2 - y_1|=4$，即$\left|\frac{1}{5}x+4-\frac{2}{5}x\right|=4$，化简得$\left|4-\frac{1}{5}x\right|=4$：
当$4-\frac{1}{5}x=4$时，$x=0$，不符合$x＞10$，舍去；
当$4-\frac{1}{5}x=-4$时，解得$x=40$，符合取值范围。
综上，$x=5$或$x=40$时，两种品牌共享电动车的收费相差4元。
【答案】
(1) 当骑行时间为20 min时，两种品牌共享电动车的收费一样，都是8元。
(2) $y_1=\frac{2}{5}x(x＞0)$；$y_2=\begin{cases}6(0＜x≤10)\\\frac{1}{5}x+4(x＞10)\end{cases}$
(3) ①A；②$x=5$或$x=40$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合共享电动车收费的实际场景，考查一次函数的实际应用，解题时要掌握待定系数法求函数解析式的方法，处理分段函数问题时要注意自变量的取值范围，涉及差值问题时要结合分类讨论思想，对解的合理性进行判断。
【难度系数】
0.7
