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1.[2026·合肥肥东县期末]中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情.某商场体育用品需求量微增，采购员计划到生产厂家批发若干个篮球和足球，已知购进2个足球和3个篮球需要295元，购进3个足球和2个篮球需要280元.
(1)足球和篮球的进货单价分别是多少元？
(2)若该商场采购员计划购进足球和篮球共100个，其中足球的购进数量不少于50个，且足球的购进数量不超过篮球的3倍.已知每个足球售价为75元，每个篮球售价为80元.设足球购进了x个，全部售出后的利润为w元.
①求w关于x的函数表达式；
②求w的最大值.
(1)足球和篮球的进货单价分别是多少元？
(2)若该商场采购员计划购进足球和篮球共100个，其中足球的购进数量不少于50个，且足球的购进数量不超过篮球的3倍.已知每个足球售价为75元，每个篮球售价为80元.设足球购进了x个，全部售出后的利润为w元.
①求w关于x的函数表达式；
②求w的最大值.
答案
1.解:(1)设足球的进货单价是x元,篮球的进货单价是y元.
根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=295,\\3x+2y=280.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=65.\end{cases}$
答:足球的进货单价是50元,篮球的进货单价是65元.
(2)①根据题意,得$w=(75-50)x+(80-65)(100-x)=10x+1500$,
所以w关于x的函数表达式为$w=10x+1500$.
②根据题意,得$x≤ 3(100-x)$,解得$x≤ 75$.
又因为$x≥ 50$,所以$50≤ x≤ 75$.
对于$w=10x+1500$,因为$10＞0$,
所以w随x的增大而增大,
所以当$x=75$时,w取最大值2250.
根据题意,得$\begin{cases}2x+3y=295,\\3x+2y=280.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=65.\end{cases}$
答:足球的进货单价是50元,篮球的进货单价是65元.
(2)①根据题意,得$w=(75-50)x+(80-65)(100-x)=10x+1500$,
所以w关于x的函数表达式为$w=10x+1500$.
②根据题意,得$x≤ 3(100-x)$,解得$x≤ 75$.
又因为$x≥ 50$,所以$50≤ x≤ 75$.
对于$w=10x+1500$,因为$10＞0$,
所以w随x的增大而增大,
所以当$x=75$时,w取最大值2250.
解析
【分析】
（1）第一问求解两种球的进货单价，属于二元一次方程组应用问题，可分别设足球和篮球的进货单价为未知数，结合题目给出的两种购进方案的总费用列方程组，解方程组即可得到单价。
（2）①求利润w关于x的函数表达式，依据“总利润=足球总利润+篮球总利润”“单个利润=售价-进价”计算，已知足球购进x个，总购进量为100个，因此篮球购进(100-x)个，代入利润公式整理即可得到函数式。
②求w的最大值，先根据题目给出的足球数量限制条件求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1)设足球的进货单价是x元，篮球的进货单价是y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=295\\3x+2y=280\end{cases}$
给第一个方程乘3，第二个方程乘2，得$\begin{cases}6x+9y=885\\6x+4y=560\end{cases}$，两式相减消去x得$5y=325$，解得$y=65$，将$y=65$代入$2x+3y=295$，解得$x=50$。
答：足球的进货单价是50元，篮球的进货单价是65元。
(2)①已知足球购进x个，则篮球购进$(100-x)$个，单个足球利润为$(75-50)$元，单个篮球利润为$(80-65)$元，因此：
$w=(75-50)x+(80-65)(100-x)$
化简得$w=25x+1500-15x=10x+1500$。
②根据题意，足球购进数量不少于50个，即$x≥50$；足球购进数量不超过篮球的3倍，即$x≤3(100-x)$，解不等式：
$x≤300-3x$
$4x≤300$
$x≤75$
因此x的取值范围为$50≤x≤75$。
对于一次函数$w=10x+1500$，$k=10＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=75$时，w取最大值，代入得$w=10×75+1500=2250$。
【答案】
(1)足球进货单价为50元，篮球进货单价为65元；
(2)①$w=10x+1500$；②w的最大值为2250元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题以商场进货的实际场景为背景，综合考查方程与函数的相关知识，解题关键是找准等量关系列方程组和函数解析式，再结合自变量取值范围与函数增减性求解最值，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求解两种球的进货单价，属于二元一次方程组应用问题，可分别设足球和篮球的进货单价为未知数，结合题目给出的两种购进方案的总费用列方程组，解方程组即可得到单价。
（2）①求利润w关于x的函数表达式，依据“总利润=足球总利润+篮球总利润”“单个利润=售价-进价”计算，已知足球购进x个，总购进量为100个，因此篮球购进(100-x)个，代入利润公式整理即可得到函数式。
②求w的最大值，先根据题目给出的足球数量限制条件求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1)设足球的进货单价是x元，篮球的进货单价是y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=295\\3x+2y=280\end{cases}$
给第一个方程乘3，第二个方程乘2，得$\begin{cases}6x+9y=885\\6x+4y=560\end{cases}$，两式相减消去x得$5y=325$，解得$y=65$，将$y=65$代入$2x+3y=295$，解得$x=50$。
答：足球的进货单价是50元，篮球的进货单价是65元。
(2)①已知足球购进x个，则篮球购进$(100-x)$个，单个足球利润为$(75-50)$元，单个篮球利润为$(80-65)$元，因此：
$w=(75-50)x+(80-65)(100-x)$
化简得$w=25x+1500-15x=10x+1500$。
②根据题意，足球购进数量不少于50个，即$x≥50$；足球购进数量不超过篮球的3倍，即$x≤3(100-x)$，解不等式：
$x≤300-3x$
$4x≤300$
$x≤75$
因此x的取值范围为$50≤x≤75$。
对于一次函数$w=10x+1500$，$k=10＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=75$时，w取最大值，代入得$w=10×75+1500=2250$。
【答案】
(1)足球进货单价为50元，篮球进货单价为65元；
(2)①$w=10x+1500$；②w的最大值为2250元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题以商场进货的实际场景为背景，综合考查方程与函数的相关知识，解题关键是找准等量关系列方程组和函数解析式，再结合自变量取值范围与函数增减性求解最值，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
2.近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验.某露营地提供了A，B两种型号帐篷供游客租用.已知租用1顶A型帐篷和2顶B型帐篷一天的费用是190元；租用2顶A型帐篷和1顶B型帐篷一天的费用是140元.
(1)求租用每顶A型帐篷和每顶B型帐篷一天的费用；
(2)若某游学机构需要租用该露营地A，B两种帐篷共30顶，且租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶A型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
(1)求租用每顶A型帐篷和每顶B型帐篷一天的费用；
(2)若某游学机构需要租用该露营地A，B两种帐篷共30顶，且租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶A型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
答案
2.解:(1)设租用每顶A型帐篷一天的费用为x元,租用每顶B型帐篷一天的费用为y元.
根据题意,得$\begin{cases}x+2y=190,\\2x+y=140.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30,\\y=80.\end{cases}$
答:租用每顶A型帐篷一天的费用为30元,租用每顶B型帐篷一天的费用为80元.
(2)设租用m顶A型帐篷,则租用$(30-m)$顶B型帐篷.
因为租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$,
所以$m≤ \frac{1}{2}(30-m)$,解得$m≤ 10$.
设租用帐篷一天的总费用为w元.
由题意,得$w=30m+80(30-m)=-50m+2400$.
因为$-50＜0$,所以w随m的增大而减小.
所以当$m=10$时,费用最少,最少费用为$-50× 10+2400=1900$(元).
答:应租用10顶A型帐篷,租用帐篷一天的总费用最低为1900元.
根据题意,得$\begin{cases}x+2y=190,\\2x+y=140.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30,\\y=80.\end{cases}$
答:租用每顶A型帐篷一天的费用为30元,租用每顶B型帐篷一天的费用为80元.
(2)设租用m顶A型帐篷,则租用$(30-m)$顶B型帐篷.
因为租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$,
所以$m≤ \frac{1}{2}(30-m)$,解得$m≤ 10$.
设租用帐篷一天的总费用为w元.
由题意,得$w=30m+80(30-m)=-50m+2400$.
因为$-50＜0$,所以w随m的增大而减小.
所以当$m=10$时,费用最少,最少费用为$-50× 10+2400=1900$(元).
答:应租用10顶A型帐篷,租用帐篷一天的总费用最低为1900元.
解析
【分析】
(1)第一问是二元一次方程组的实际应用，首先提取题干的两个等量关系：①1顶A型帐篷单日租金+2顶B型帐篷单日租金=190元；②2顶A型帐篷单日租金+1顶B型帐篷单日租金=140元，设两种帐篷单日租金为未知数列方程组，求解即可得到结果。
(2)第二问是一次函数最值类应用题，首先设租用A型帐篷m顶，可推出B型帐篷数量为$(30-m)$顶，先根据“A型帐篷数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$”列不等式，求出m的取值范围；再列出总费用关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围即可求出最低总费用和对应A型帐篷的租用数量。
【解析】
(1)设租用每顶A型帐篷一天的费用为x元，租用每顶B型帐篷一天的费用为y元。
根据题意，得$\begin{cases}x+2y=190\\2x+y=140\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=30\\y=80\end{cases}$
(2)设租用m顶A型帐篷，则租用$(30-m)$顶B型帐篷。
因为租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$，
所以$m≤ \frac{1}{2}(30-m)$，解得$m≤ 10$。
设租用帐篷一天的总费用为w元。
由题意，得$w=30m+80(30-m)=-50m+2400$。
因为$-50＜0$，所以w随m的增大而减小。
所以当$m=10$时，费用最少，最少费用为$-50× 10+2400=1900$(元)。
【答案】
(1)租用每顶A型帐篷一天的费用为30元，租用每顶B型帐篷一天的费用为80元；
(2)应租用10顶A型帐篷，租用帐篷一天的总费用最低为1900元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合热门的露营场景出题，贴近生活实际，是一次函数实际应用的典型题型，核心考查学生提取题干等量、不等关系的能力，以及结合一次函数增减性求解最值的能力，综合性适中。
【难度系数】
0.7
(1)第一问是二元一次方程组的实际应用，首先提取题干的两个等量关系：①1顶A型帐篷单日租金+2顶B型帐篷单日租金=190元；②2顶A型帐篷单日租金+1顶B型帐篷单日租金=140元，设两种帐篷单日租金为未知数列方程组，求解即可得到结果。
(2)第二问是一次函数最值类应用题，首先设租用A型帐篷m顶，可推出B型帐篷数量为$(30-m)$顶，先根据“A型帐篷数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$”列不等式，求出m的取值范围；再列出总费用关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围即可求出最低总费用和对应A型帐篷的租用数量。
【解析】
(1)设租用每顶A型帐篷一天的费用为x元，租用每顶B型帐篷一天的费用为y元。
根据题意，得$\begin{cases}x+2y=190\\2x+y=140\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=30\\y=80\end{cases}$
(2)设租用m顶A型帐篷，则租用$(30-m)$顶B型帐篷。
因为租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的$\frac{1}{2}$，
所以$m≤ \frac{1}{2}(30-m)$，解得$m≤ 10$。
设租用帐篷一天的总费用为w元。
由题意，得$w=30m+80(30-m)=-50m+2400$。
因为$-50＜0$，所以w随m的增大而减小。
所以当$m=10$时，费用最少，最少费用为$-50× 10+2400=1900$(元)。
【答案】
(1)租用每顶A型帐篷一天的费用为30元，租用每顶B型帐篷一天的费用为80元；
(2)应租用10顶A型帐篷，租用帐篷一天的总费用最低为1900元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合热门的露营场景出题，贴近生活实际，是一次函数实际应用的典型题型，核心考查学生提取题干等量、不等关系的能力，以及结合一次函数增减性求解最值的能力，综合性适中。
【难度系数】
0.7
