3. 某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元.在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元.设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为$x$($x$为非负整数).
(1)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为$y_1$元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为$y_2$元，分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式；
(2)当$x≥50$时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由.

3.解:(1)$y_1=2x$.
当$0≤ x≤ 20$时,$y_2=2.4x$;
当$x＞20$时,$y_2=2.4× 20+1.8(x-20)=1.8x+12$,
所以$y_2=\begin{cases}2.4x(0≤ x≤ 20),\\1.8x+12(x＞20).\end{cases}$
(2)如图,画出$y_1,y_2$关于x的图象.
由图象可知,当$50≤ x＜60$时,$y_1＜y_2$;
当$x=60$时,$y_1=y_2$;
当$x＞60$时,$y_1＞y_2$.
所以当$50≤ x＜60$时,在甲文具店购买这种笔记本的花费少;
当$x=60$时,在两家文具店购买这种笔记本的花费相等;
当$x＞60$时,在乙文具店购买这种笔记本的花费少.

【分析】
(1) 求解函数表达式可依据“付款金额=单价×购买数量”的等量关系：甲店单价固定为2元，直接代入数量x即可得到$y_1$的表达式；乙店是分段收费规则，购买数量不超过20本时单价为2.4元，超过20本时前20本按2.4元收费、超出部分按1.8元收费，因此需分$0≤x≤20$和$x＞20$两种情况，分别推导$y_2$的表达式，最终写成分段函数形式。
(2) 当$x≥50$时，购买数量已经超过20本，因此只需用$x＞20$对应的$y_2$解析式与$y_1$比较大小：可以先求解$y_1=y_2$时的x值作为分界点，再分区间讨论两个函数的大小关系，也可以结合函数图像的高低直接判断花费多少，最终结合$x≥50$的限制条件得出结论。
【解析】
(1) 甲文具店每本售价2元，购买x本的总付款为单价乘数量，因此：
$y_1=2x$（x为非负整数）
乙文具店分两种情况计算费用：
① 当$0≤x≤20$时，每本售价2.4元，因此$y_2=2.4x$；
② 当$x＞20$时，前20本的总费用为$2.4×20$元，超出20本的$(x-20)$本每本1.8元，这部分费用为$1.8(x-20)$，因此总费用：
$y_2=2.4×20 + 1.8(x-20)=48+1.8x-36=1.8x+12$
综上得到$y_2$的分段函数表达式。
(2) 当$x≥50$时，$x＞20$，此时$y_2=1.8x+12$，通过比较$y_1$和$y_2$的大小判断花费：
令$2x=1.8x+12$，解得$x=60$，即购买60本时两家费用相等；
当$x＜60$时，$2x＜1.8x+12$，即甲店费用更低；
当$x＞60$时，$2x＞1.8x+12$，即乙店费用更低。
结合$x≥50$的前提，即可分三类得到最终结论，也可结合函数图像直接观察得出结果。
【答案】
3.解:(1)$y_1=2x$.
当$0≤ x≤ 20$时,$y_2=2.4x$;
当$x＞20$时,$y_2=2.4× 20+1.8(x-20)=1.8x+12$,
所以$y_2=\begin{cases}2.4x(0≤ x≤ 20),\\1.8x+12(x＞20).\end{cases}$
(2)如图,画出$y_1,y_2$关于x的图象.
由图象可知,当$50≤ x＜60$时,$y_1＜y_2$;
当$x=60$时,$y_1=y_2$;
当$x＞60$时,$y_1＞y_2$.
所以当$50≤ x＜60$时,在甲文具店购买这种笔记本的花费少;
当$x=60$时,在两家文具店购买这种笔记本的花费相等;
当$x＞60$时,在乙文具店购买这种笔记本的花费少.
【知识点】
一次函数表达式，分段函数，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景考查一次函数的应用，要求学生准确把握不同收费规则对应的自变量范围，通过分类讨论或数形结合的方法比较函数大小，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.65

4.[2025·合肥庐阳区期末]为进一步推动绿色生态文明建设,走可持续发展之路,某工厂在生产过程中同步进行污水处理,有两种处理方案.
方案1:污水纳入污水处理厂统一处理,每生产1件产品需付7元的排污费;
方案2:积极响应“无废城市”号召,使用专业设备,通过有效方法,对污水进行循环利用.每生产1件产品需付1元的设备原料费,并且设备损耗费为每月b元.
若工厂每月生产x件产品,产品的成本价为25元/件,出厂价为50元/件,方案1、方案2的月利润y(单位:元)与x之间的函数关系如图所示.结合图象回答问题:
(1)填空:a=,b=.
(2)当工厂每月生产300件产品时,两种方案的月利润相差多少元?
(3)当两种方案的月利润相差1 500元时,求x的值.

4.解:(1)500 3000
(2)根据题意,方案1的月利润$y_1$(单位:元)与x之间的函数表达为$y_1=(50-25-7)x$,即$y_1=18x$;
方案2的月利润$y_2$(单位:元)与x之间的函数表达式为$y_2=(50-25-1)x-3000$,即$y_2=24x-3000$.
当$x=300$时,$y_1=18× 300=5400$,$y_2=24× 300-3000=4200$,$5400-4200=1200$(元).
答:两种方案的月利润相差1200元.
(3)根据题意,得$|y_2-y_1|=1500$,
即$|24x-3000-18x|=1500$,解得$x=250$或$x=750$.
答:x的值为250或750.

【分析】
(1) 先根据“利润=单件利润×产量”推导两个方案的利润函数：方案1单件利润为出厂价减去成本价再减去排污费，即50-25-7=18元，因此利润函数为$y_1=18x$。图象中两函数交点处$y=9000$，代入$y_1=18x$即可求出$a$的值；方案2单件利润为50-25-1=24元，减去固定设备损耗费$b$，因此利润函数为$y_2=24x-b$，将交点坐标$(a,9000)$代入即可求出$b$的值。
(2) 将$x=300$分别代入两个利润函数，求出对应利润后作差即可得到利润差。
(3) 两方案利润差为1500元，即$|y_2-y_1|=1500$，代入函数表达式解绝对值方程，分两种情况讨论避免漏解。
【解析】
(1) 方案1的月利润：$y_1=(50-25-7)x=18x$，
由图象可知当$y=9000$时$x=a$，代入得$9000=18a$，解得$a=500$；
方案2的月利润：$y_2=(50-25-1)x-b=24x-b$，
将$(500,9000)$代入得$9000=24×500-b$，解得$b=3000$。
(2) 由(1)得$y_1=18x$，$y_2=24x-3000$，
当$x=300$时，$y_1=18×300=5400$，$y_2=24×300-3000=4200$，
利润差为$5400-4200=1200$元。
(3) 根据题意得$|y_2-y_1|=1500$，即$|24x-3000-18x|=1500$，
化简得$|6x-3000|=1500$：
① 当$6x-3000=1500$时，解得$x=750$；
② 当$6x-3000=-1500$时，解得$x=250$。
【答案】
(1) $\boxed{500}$，$\boxed{3000}$；
(2) 两种方案的月利润相差$\boxed{1200}$元；
(3) $x$的值为$\boxed{250}$或$\boxed{750}$。
【知识点】
一次函数的实际应用，一次函数图象的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题以污水处理的实际场景为背景，考查一次函数在利润计算中的应用，核心是结合题意正确建立函数模型，利用图象交点的意义求解参数，解决利润差问题时要注意考虑两种利润大小关系，避免漏解，题目贴合生活实际，能较好地考查数学知识的应用能力。
【难度系数】
0.7