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10. 新考向 跨物理 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点。若$∠ 1=150°$，$∠ 2=25°$，则$∠ 3$的度数为（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
D
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
10.D
解析
【分析】
首先结合物理中凸透镜的光线特点，明确平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，先利用平行线的性质求出折射光线与主光轴的夹角；再结合过光心的光线与主光轴的夹角∠2，利用三角形外角的性质即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，
∴∠1与折射光线和主光轴的夹角互为同旁内角，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得折射光线与主光轴的锐角夹角为：
$180°-∠1=180°-150°=30°$。
又
∵经过光心的光线与主光轴的夹角为$∠2=25°$，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠3=30°+25°=55°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合凸透镜光学规律考查几何角度计算，体现了跨学科融合的考向，解题关键是找准图中角的位置关系，结合几何性质运算即可。
【难度系数】
0.7
首先结合物理中凸透镜的光线特点，明确平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，先利用平行线的性质求出折射光线与主光轴的夹角；再结合过光心的光线与主光轴的夹角∠2，利用三角形外角的性质即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，
∴∠1与折射光线和主光轴的夹角互为同旁内角，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得折射光线与主光轴的锐角夹角为：
$180°-∠1=180°-150°=30°$。
又
∵经过光心的光线与主光轴的夹角为$∠2=25°$，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠3=30°+25°=55°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合凸透镜光学规律考查几何角度计算，体现了跨学科融合的考向，解题关键是找准图中角的位置关系，结合几何性质运算即可。
【难度系数】
0.7
11.[2026·安庆期中]如图，BP是$△ ABC$的内角$∠ ABC$的平分线，CP是$△ ABC$的外角$∠ ACM$的平分线.若$∠ ABP=20°,∠ ACP=50°$,则$∠ P$的度数为
30°
.答案
11.$30°$
解析
【分析】
解题时首先结合角平分线的定义，由已知的∠ABP、∠ACP分别求出∠PBC和∠PCM的度数；再观察图形找到△PBC的外角∠PCM，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立∠P与已知角的数量关系，代入数值计算即可得到∠P的度数。
【解析】
解：
∵ BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°
∴ ∠PBC=∠ABP=20°
∵ CP是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACP=50°
∴ ∠PCM=∠ACP=50°
∵ ∠PCM是△PBC的外角
∴ ∠PCM=∠P+∠PBC
∴ ∠P=∠PCM - ∠PBC=50° - 20°=30°
【答案】
30°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角定理，准确识别外角对应的内角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合角平分线的定义，由已知的∠ABP、∠ACP分别求出∠PBC和∠PCM的度数；再观察图形找到△PBC的外角∠PCM，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立∠P与已知角的数量关系，代入数值计算即可得到∠P的度数。
【解析】
解：
∵ BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°
∴ ∠PBC=∠ABP=20°
∵ CP是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACP=50°
∴ ∠PCM=∠ACP=50°
∵ ∠PCM是△PBC的外角
∴ ∠PCM=∠P+∠PBC
∴ ∠P=∠PCM - ∠PBC=50° - 20°=30°
【答案】
30°
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角定理，准确识别外角对应的内角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.[整体思想][2026·合肥五十中期中]小明把一副含$45°$,$30°$角的直角三角板如图摆放,其中$∠ C=∠ F=90°$,$∠ A=45°$,$∠ D=30°$,则$∠α+∠β$等于
210°
。答案
12.$210°$
解析
【分析】
首先明确两个直角三角板的已知内角度数：等腰直角三角板中∠C=90°，∠A=∠B=45°；含30°角的直角三角板中∠F=90°，∠D=30°，∠E=60°。本题不需要单独求出∠α和∠β的度数，可利用三角形内角和定理、对顶角相等的性质，结合整体思想计算两个角的和，通过角度之间的等量代换即可快速得到结果。
【解析】
已知∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°。
结合三角形外角性质、对顶角相等的性质，对∠α和∠β做等量代换可得：
∠α + ∠β = ∠A + ∠B + ∠D + ∠F
代入已知角度计算：
∠α + ∠β = 45° + 45° + 30° + 90° = 210°
【答案】
$210°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，整体代换思想
【点评】
本题是角度和计算的常见题型，核心是灵活运用三角形的相关性质，避免单独求解单个角的度数，运用整体思想可以大幅简化解题过程，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
首先明确两个直角三角板的已知内角度数：等腰直角三角板中∠C=90°，∠A=∠B=45°；含30°角的直角三角板中∠F=90°，∠D=30°，∠E=60°。本题不需要单独求出∠α和∠β的度数，可利用三角形内角和定理、对顶角相等的性质，结合整体思想计算两个角的和，通过角度之间的等量代换即可快速得到结果。
【解析】
已知∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°。
结合三角形外角性质、对顶角相等的性质，对∠α和∠β做等量代换可得：
∠α + ∠β = ∠A + ∠B + ∠D + ∠F
代入已知角度计算：
∠α + ∠β = 45° + 45° + 30° + 90° = 210°
【答案】
$210°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，整体代换思想
【点评】
本题是角度和计算的常见题型，核心是灵活运用三角形的相关性质，避免单独求解单个角的度数，运用整体思想可以大幅简化解题过程，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2=∠ 3$.
(1)求证:$∠ BAC=∠ DEF$;
(2)若$∠ BAC=70°,∠ DFE=50°$,求$∠ ABC$的度数.
(1)求证:$∠ BAC=∠ DEF$;
(2)若$∠ BAC=70°,∠ DFE=50°$,求$∠ ABC$的度数.
答案
13.(1)证明:在$△ ACE$中,$∠ DEF=∠ 3+∠ CAE.$
$\because ∠ 1=∠ 3,\therefore ∠ DEF=∠ 1+∠ CAE.$
$\because ∠ BAC=∠ 1+∠ CAE,\therefore ∠ BAC=∠ DEF.$
(2)解:在$△ BCF$中,$∠ DFE=∠ 2+∠ BCF.$
$\because ∠ 2=∠ 3,\therefore ∠ DFE=∠ 3+∠ BCF,$即$∠ DFE=∠ ACB.$
在$△ ABC$中,$\because ∠ BAC=70°,∠ ACB=∠ DFE=50°,$
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-70°-50°=60°.$
$\because ∠ 1=∠ 3,\therefore ∠ DEF=∠ 1+∠ CAE.$
$\because ∠ BAC=∠ 1+∠ CAE,\therefore ∠ BAC=∠ DEF.$
(2)解:在$△ BCF$中,$∠ DFE=∠ 2+∠ BCF.$
$\because ∠ 2=∠ 3,\therefore ∠ DFE=∠ 3+∠ BCF,$即$∠ DFE=∠ ACB.$
在$△ ABC$中,$\because ∠ BAC=70°,∠ ACB=∠ DFE=50°,$
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-70°-50°=60°.$
解析
【分析】
（1）要证明∠BAC=∠DEF，可利用三角形外角的性质推导：首先找到∠DEF所在的外角结构，∠DEF是△ACE的外角，根据外角性质可拆分为两个内角的和，再结合已知∠1=∠3做等量代换，就能和∠BAC的组成建立关联，完成证明。
（2）要求∠ABC的度数，已知△ABC中∠BAC的度数，只需先求出∠ACB的度数，再用三角形内角和计算即可。同理用外角性质分析∠DFE，结合已知∠2=∠3做等量代换，可得∠DFE与∠ACB相等，代入已知角度后就能算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 证明：
在△ACE中，∠DEF是△ACE的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ DEF=∠ 3+∠ CAE$。
$\because ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore ∠ DEF=∠ 1+∠ CAE$。
又$\because ∠ BAC=∠ 1+∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DEF$。
(2) 解：
在△BCF中，∠DFE是△BCF的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ DFE=∠ 2+∠ BCF$。
$\because ∠ 2=∠ 3$，
$\therefore ∠ DFE=∠ 3+∠ BCF$，即$∠ DFE=∠ ACB$。
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=70°$，$∠ ACB=∠ DFE=50°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-70°-50°=60°$。
【答案】
(1) $∠ BAC=∠ DEF$，证明成立；
(2) $∠ ABC=60°$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查三角形相关性质的灵活应用，解题的关键是通过等量代换沟通已知角和未知角的关系，能有效训练几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠BAC=∠DEF，可利用三角形外角的性质推导：首先找到∠DEF所在的外角结构，∠DEF是△ACE的外角，根据外角性质可拆分为两个内角的和，再结合已知∠1=∠3做等量代换，就能和∠BAC的组成建立关联，完成证明。
（2）要求∠ABC的度数，已知△ABC中∠BAC的度数，只需先求出∠ACB的度数，再用三角形内角和计算即可。同理用外角性质分析∠DFE，结合已知∠2=∠3做等量代换，可得∠DFE与∠ACB相等，代入已知角度后就能算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 证明：
在△ACE中，∠DEF是△ACE的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ DEF=∠ 3+∠ CAE$。
$\because ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore ∠ DEF=∠ 1+∠ CAE$。
又$\because ∠ BAC=∠ 1+∠ CAE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DEF$。
(2) 解：
在△BCF中，∠DFE是△BCF的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ DFE=∠ 2+∠ BCF$。
$\because ∠ 2=∠ 3$，
$\therefore ∠ DFE=∠ 3+∠ BCF$，即$∠ DFE=∠ ACB$。
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=70°$，$∠ ACB=∠ DFE=50°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-70°-50°=60°$。
【答案】
(1) $∠ BAC=∠ DEF$，证明成立；
(2) $∠ ABC=60°$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查三角形相关性质的灵活应用，解题的关键是通过等量代换沟通已知角和未知角的关系，能有效训练几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
14. 新考向 动手操作 实践与探究:某数学小组的同学发现,折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC,BC上的点,若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为D.
(1)如图①,若点D恰好落在BC边上,则∠1与∠ACB的数量关系是
(2)如图②,若点D落在△ABC内部,∠ACB=35°,求∠1+∠2的度数;
(3)如图③,若点D落在△ABC外部,则∠1,∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系?并给出证明.
(1)如图①,若点D恰好落在BC边上,则∠1与∠ACB的数量关系是
∠1=2∠ACB
;(2)如图②,若点D落在△ABC内部,∠ACB=35°,求∠1+∠2的度数;
(3)如图③,若点D落在△ABC外部,则∠1,∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系?并给出证明.
答案
14.(1)$∠ 1=2∠ ACB$
(2)解:$\because ∠ ACB=35°,$
$\therefore ∠ CMN+∠ CNM=180°-∠ ACB=145°.$
由题意,得$∠ DMN=∠ CMN,∠ DNM=∠ CNM.$
$\therefore ∠ CMD+∠ CND=2(∠ CMN+∠ CNM)=2× 145°=290°.$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°+180°-(∠ CMD+∠ CND)=360°-290°=70°.$
(3)$∠ 2-∠ 1=2∠ ACB$.证明如下:
由题意,得$∠ D=∠ ACB.$
$\because ∠ CEN$是$△ DEM$的外角,$\therefore ∠ CEN=∠ 1+∠ D.$
$\because ∠ 2$是$△ CEN$的外角,
$\therefore ∠ 2=∠ ACB+∠ CEN=∠ ACB+∠ 1+∠ D=2∠ ACB+∠ 1.$
$\therefore ∠ 2-∠ 1=2∠ ACB.$
(2)解:$\because ∠ ACB=35°,$
$\therefore ∠ CMN+∠ CNM=180°-∠ ACB=145°.$
由题意,得$∠ DMN=∠ CMN,∠ DNM=∠ CNM.$
$\therefore ∠ CMD+∠ CND=2(∠ CMN+∠ CNM)=2× 145°=290°.$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°+180°-(∠ CMD+∠ CND)=360°-290°=70°.$
(3)$∠ 2-∠ 1=2∠ ACB$.证明如下:
由题意,得$∠ D=∠ ACB.$
$\because ∠ CEN$是$△ DEM$的外角,$\therefore ∠ CEN=∠ 1+∠ D.$
$\because ∠ 2$是$△ CEN$的外角,
$\therefore ∠ 2=∠ ACB+∠ CEN=∠ ACB+∠ 1+∠ D=2∠ ACB+∠ 1.$
$\therefore ∠ 2-∠ 1=2∠ ACB.$
解析
【分析】
本题是三角形折叠类角度探究题，解题核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等），结合三角形内角和、外角性质推导角度关系。
(1) 先明确折叠后对应边、对应角相等，可得MC=MD，∠ACB=∠MDC，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和即可推出∠1和∠ACB的关系；
(2) 点落在三角形内部时，先根据三角形内角和求出△CMN中两个锐角的和，再由折叠性质得到翻折后两组对应角的总和，最后用两个平角的和减去翻折后四个角的和，即可求出∠1+∠2的度数；
(3) 点落在三角形外部时，两次运用三角形外角的性质，结合折叠后∠D=∠ACB的对应角关系，即可推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠性质得MC=MD，∠ACB=∠MDC，
∵∠1是△MDC的外角，
∴∠1=∠ACB+∠MDC=2∠ACB。
(2) 解：
∵∠ACB=35°，
∴在△CMN中，∠CMN+∠CNM=180°-∠ACB=145°，
由折叠的性质可知：∠DMN=∠CMN，∠DNM=∠CNM，
∴∠CMD+∠CND=2(∠CMN+∠CNM)=2×145°=290°，
∵∠1+∠CMD=180°，∠2+∠CND=180°，
∴∠1+∠2=180°+180°-(∠CMD+∠CND)=360°-290°=70°。
(3) 数量关系为∠2-∠1=2∠ACB，证明如下：
由折叠的性质可得：∠D=∠ACB，
∵∠CEN是△DEM的外角，
∴∠CEN=∠1+∠D，
又
∵∠2是△CEN的外角，
∴∠2=∠ACB+∠CEN=∠ACB+∠1+∠D，
将∠D=∠ACB代入得∠2=2∠ACB+∠1，
移项得∠2-∠1=2∠ACB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1=2∠ACB}$
(2) $\boldsymbol{70°}$
(3) $\boldsymbol{∠2-∠1=2∠ACB}$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题以折纸操作为背景，考查三角形角的相关计算与推导，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，灵活运用三角形内角和、外角定理建立角之间的联系，是一类兼顾实践操作与逻辑推理考查的典型习题。
【难度系数】
0.7
本题是三角形折叠类角度探究题，解题核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等），结合三角形内角和、外角性质推导角度关系。
(1) 先明确折叠后对应边、对应角相等，可得MC=MD，∠ACB=∠MDC，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和即可推出∠1和∠ACB的关系；
(2) 点落在三角形内部时，先根据三角形内角和求出△CMN中两个锐角的和，再由折叠性质得到翻折后两组对应角的总和，最后用两个平角的和减去翻折后四个角的和，即可求出∠1+∠2的度数；
(3) 点落在三角形外部时，两次运用三角形外角的性质，结合折叠后∠D=∠ACB的对应角关系，即可推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠性质得MC=MD，∠ACB=∠MDC，
∵∠1是△MDC的外角，
∴∠1=∠ACB+∠MDC=2∠ACB。
(2) 解：
∵∠ACB=35°，
∴在△CMN中，∠CMN+∠CNM=180°-∠ACB=145°，
由折叠的性质可知：∠DMN=∠CMN，∠DNM=∠CNM，
∴∠CMD+∠CND=2(∠CMN+∠CNM)=2×145°=290°，
∵∠1+∠CMD=180°，∠2+∠CND=180°，
∴∠1+∠2=180°+180°-(∠CMD+∠CND)=360°-290°=70°。
(3) 数量关系为∠2-∠1=2∠ACB，证明如下：
由折叠的性质可得：∠D=∠ACB，
∵∠CEN是△DEM的外角，
∴∠CEN=∠1+∠D，
又
∵∠2是△CEN的外角，
∴∠2=∠ACB+∠CEN=∠ACB+∠1+∠D，
将∠D=∠ACB代入得∠2=2∠ACB+∠1，
移项得∠2-∠1=2∠ACB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1=2∠ACB}$
(2) $\boldsymbol{70°}$
(3) $\boldsymbol{∠2-∠1=2∠ACB}$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题以折纸操作为背景，考查三角形角的相关计算与推导，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，灵活运用三角形内角和、外角定理建立角之间的联系，是一类兼顾实践操作与逻辑推理考查的典型习题。
【难度系数】
0.7
