1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是（）

1.D

【分析】
要判断∠1是不是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，需满足三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的某条边；③另一条边是三角形另一条边的延长线。我们只需对照这三个特征逐一分析四个选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一判断：
选项A：∠1的顶点为点C，但∠1的两条边都不是△ABC的边，不符合外角的特征，排除；
选项B：∠1的顶点为点A，但∠1的其中一条边不属于△ABC的边或边的延长线，不符合外角的特征，排除；
选项C：∠1的顶点为点C，但∠1的其中一条边不属于△ABC的边或边的延长线，不符合外角的特征，排除；
选项D：∠1的顶点是△ABC的顶点B，一条边是△ABC的边AB的延长线，另一条边是△ABC的边BC所在直线，完全符合三角形外角的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对三角形外角定义的理解，只要牢记外角的三个判定特征就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

2.[2026·合肥长丰县期末]如图,在$△ ABC$中,D是边BC延长线上一点.若$∠ ACD=74°$,$∠ A=33°$,则$∠ B$的度数为 ()

A.$33°$
B.$40°$
C.$41°$
D.$43°$

2.C

【分析】首先识别出∠ACD是△ABC的外角，结合所学三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可建立∠ACD、∠A、∠B三个角的数量关系，代入已知角度计算即可求出∠B的度数。
【解析】解：
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质可得：$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，
∴$∠ B = ∠ ACD - ∠ A$，
将$∠ ACD=74°$，$∠ A=33°$代入得：
$∠ B = 74° - 33° = 41°$。
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形外角的性质
【点评】本题属于基础题，主要考查三角形外角性质的直接应用，熟记相关性质是解题的关键，计算时注意数值运算准确即可。
【难度系数】0.9

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ B=80°,CD$是$∠ ACB$的平分线,则$∠ BDC$的度数是（）

A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$80°$

3.B

【分析】
要计算∠BDC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，得到∠ACD（或∠BCD）的度数；最后利用三角形外角的性质（或再次用三角形内角和定理）即可求出∠BDC的度数。
【解析】
步骤1：求∠ACB的度数
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三个内角和为180°，已知∠A=30°，∠B=80°，因此：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-80°=70°$
步骤2：求∠BCD的度数
因为CD是∠ACB的平分线，根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，因此：
$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$
步骤3：求∠BDC的度数
在△BDC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-80°-35°=65°$
（也可利用外角性质计算：∠BDC是△ADC的外角，因此$∠ BDC=∠ A+∠ ACD=30°+35°=65°$，结果一致）
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，考查核心定理的直接应用，只要熟练掌握三角形相关的基础性质，按步骤推导即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4. 新考向 情境题 一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置$OP_1$和$OP_2$与吊绳的夹角分别是$38°$和$70°$，则吊杆前后两次所在位置的夹角$∠ P_1OP_2=$（）

A.$20°$
B.$22°$
C.$32°$
D.$38°$

4.C

【分析】
首先观察图形可知两条吊绳$P_1A$、$P_2B$均为竖直方向，因此$P_1A // P_2B$，可先利用平行线的同位角相等得到$∠ OAP_1=∠ OP_2B=70°$；再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知$∠ OAP_1$是$△ OP_1A$的外角，等于$∠ OP_1A$与$∠ P_1OP_2$的和，代入已知角度即可求出$∠ P_1OP_2$的度数。
【解析】
解：由题意得吊绳均为竖直方向，故$P_1A // P_2B$，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ OAP_1 = ∠ OP_2B = 70°$。
∵$∠ OAP_1$是$△ OP_1A$的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ OAP_1 = ∠ OP_1A + ∠ P_1OP_2$，
则$∠ P_1OP_2 = ∠ OAP_1 - ∠ OP_1A = 70° - 38° = 32°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合起重机工作的实际情境考查几何知识的应用，解题关键是找准图形中的平行关系和外角关系，将实际问题转化为几何角度计算问题，难度适中。
【难度系数】
0.7

5.【教材P82练习T2变式题】如图，∠A，∠1，∠2的大小关系为（）

A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠A＞∠2＞∠1
C.∠2＞∠1＞∠A
D.∠2＞∠A＞∠1

5.C

【分析】
要比较∠A、∠1、∠2的大小，我们可以借助三角形外角的性质来推导。首先回忆核心知识点：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。第一步先判断∠1的所属：∠1是包含∠A的小三角形的外角，因此可推出∠1和∠A的大小关系；第二步判断∠2的所属：∠2是包含∠1的三角形的外角，可推出∠2和∠1的大小关系，最后串联两个关系就能得到三个角的排序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
1. ∠1是左侧含∠A的小三角形的外角，∠A是和这个外角不相邻的内角，因此$∠ 1＞∠ A$；
2. ∠2是含∠1的三角形的外角，∠1是和这个外角不相邻的内角，因此$∠ 2＞∠ 1$。
综上可得$∠ 2＞∠ 1＞∠ A$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确判断每个角对应的三角形外角与不相邻内角的关系，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.将一副分别含有$30°$和$45°$角的两个直角三角板拼成如图所示的图形，则$∠α$的度数是________。

6.$15°$

【分析】
首先明确两块直角三角板的固有锐角角度：含45°角的等腰直角三角板的锐角为45°，含30°角的直角三角板的较小锐角为30°。要求∠α的度数，可利用三角形外角的性质，找到∠α和两个已知锐角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知，图中45°三角板的锐角为45°，30°三角板的较小锐角为30°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$45° = ∠α + 30°$
移项计算得：
$∠α = 45° - 30° = 15°$
【答案】
$15°$
【知识点】
三角板角度特征、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟记常见三角板的角度，灵活运用三角形外角的性质推导角的和差关系。
【难度系数】
0.85

7.【教材 P81 例5变式题】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD=125°,则∠BAE+∠CBF=°.

7.235

【分析】
我们可以从三角形外角和的角度思考：首先回忆三角形外角和定理，任意三角形的三个外角之和为360°。题目已知△ABC的三个外角中的∠ACD=125°，要求另外两个外角的和，直接用三个外角的总和减去已知外角的度数，即可快速得到结果。也可以通过邻补角性质、三角形内角和定理逐步推导，两种思路都符合所学知识。
【解析】
根据三角形外角和定理，三角形的三个外角和为360°，即：
$∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD = 360°$
已知$∠ ACD=125°$，代入计算得：
$∠ BAE + ∠ CBF = 360° - 125° = 235°$
【答案】
235
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形外角相关的基础题型，既可以直接用外角和定理快速求解，也可以结合内角和、邻补角的性质推导，解题时优先选择更简便的外角和定理即可，核心是对三角形外角相关性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.85

8.如图,在$△ ABC$中,D,E分别在BC,AB的延长线上,若$∠ EBD = 107°$, $∠ CAD = 26°$, $∠ D=39°$,求$∠ BAC$的度数.

8.解:$\because ∠ CAD=26°,∠ D=39°,$
$\therefore ∠ BCA=∠ CAD+∠ D=26°+39°=65°.$
$\because ∠ EBD=107°,$
$\therefore ∠ BAC=∠ EBD-∠ BCA=107°-65°=42°.$

【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。首先观察图形，∠BCA是△ACD的外角，可先结合已知的∠CAD和∠D的度数，利用外角性质求出∠BCA的度数；再观察到∠EBD是△ABC的外角，根据外角性质可知∠EBD等于∠BAC与∠BCA的和，代入已求的∠BCA和已知的∠EBD的度数，即可求出∠BAC的大小。
【解析】
解：$\because ∠CAD=26°,∠D=39°,$
$\therefore ∠BCA=∠CAD+∠D=26°+39°=65°.$
$\because ∠EBD=107°,$
$\therefore ∠BAC=∠EBD-∠BCA=107°-65°=42°.$
【答案】
$42°$
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题核心是准确识别三角形的外角，明确外角和其不相邻两个内角的对应关系，代入数值计算即可，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=40°$,$△ ABC$的外角$∠ CBD$的平分线$BE$交$AC$的延长线于点$E$,$F$为$AE$延长线上的一点,连接$DF$.
(1)求$∠ CBE$的度数;
(2)若$∠ F=25°$,求证:$BE// DF$.

9.(1)解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ ACB=90°,∠ A=40°,$
$\therefore ∠ CBD=∠ ACB+∠ A=130°.$
$\because BE$是$∠ CBD$的平分线,$\therefore ∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=65°.$
(2)证明:$\because ∠ ACB=90°,∠ CBE=65°,∠ CEB+∠ CBE=∠ ACB,$
$\therefore ∠ CEB=90°-∠ CBE=25°.$
又$\because ∠ F=25°,\therefore ∠ F=∠ CEB,\therefore BE// DF.$

【分析】
(1) 求∠CBE的度数时，先利用三角形外角的性质求出外角∠CBD的度数，再结合角平分线的定义，即可算出∠CBE的大小。
(2) 要证明BE//DF，可通过证明同位角相等推导。先在△BCE中求出∠CEB的度数，将其与已知的∠F的度数对比，若二者相等，根据平行线的判定定理即可证得两直线平行。
【解析】
(1) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=40°,$
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ CBD=∠ ACB+∠ A=90°+40°=130°.$
$\because BE$是$∠ CBD$的平分线，
$\therefore ∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°.$
(2) 证明：
$\because ∠ ACB=90°,∠ CBE=65°,$
在$△ BCE$中，$∠ CEB + ∠ CBE = ∠ ACB$，
$\therefore ∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°.$
又$\because ∠ F=25°,$
$\therefore ∠ F=∠ CEB$，
根据同位角相等，两直线平行，
$\therefore BE// DF.$
【答案】
(1) $∠ CBE=65°$；
(2) 证明成立，$BE// DF$。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是理清图中角的数量关系，熟练运用相关性质和定理即可快速求解，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8