登录
9. [2026·合肥四十五中期中]在$△ ABC$中，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则下列条件：①$∠ A=2∠ B,∠ C=3∠ B$；②$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；③$∠ A=∠ B=\frac{1}{3}∠ C$；④$∠ A=90°-∠ C$。其中能判断$△ ABC$是直角三角形的条件为（
A.①②
B.①④
C.②④
D.②③
B
）A.①②
B.①④
C.②④
D.②③
答案
B
解析
【分析】要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只需结合每个给出的角的关系，计算三角形的内角，看是否存在90°的角即可。我们逐个分析4个条件：先根据条件设出未知角，利用内角和列方程求解各角度数，再判断有无直角。
【解析】我们利用三角形内角和为180°，逐个判断：
1. 对条件①：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x。
由内角和得：$2x+x+3x=180°$，解得$x=30°$，则∠C=3×30°=90°，故△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对条件②：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为$3+4+5=12$，每份角度为$180°÷12=15°$，最大角∠C=$5×15°=75°＜90°$，故不是直角三角形，②不符合要求。
3. 对条件③：设∠A=∠B=x，则∠C=3x。
由内角和得：$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，则∠C=$3×36°=108°＞90°$，是钝角三角形，③不符合要求。
4. 对条件④：由∠A=90°-∠C，可得∠A+∠C=90°，则∠B=$180°-(∠A+∠C)=90°$，故△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①④能判断△ABC是直角三角形。
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】本题是三角形形状判断的基础题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合给定的角的关系计算最大角的度数，判断是否为直角即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】我们利用三角形内角和为180°，逐个判断：
1. 对条件①：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x。
由内角和得：$2x+x+3x=180°$，解得$x=30°$，则∠C=3×30°=90°，故△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对条件②：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为$3+4+5=12$，每份角度为$180°÷12=15°$，最大角∠C=$5×15°=75°＜90°$，故不是直角三角形，②不符合要求。
3. 对条件③：设∠A=∠B=x，则∠C=3x。
由内角和得：$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，则∠C=$3×36°=108°＞90°$，是钝角三角形，③不符合要求。
4. 对条件④：由∠A=90°-∠C，可得∠A+∠C=90°，则∠B=$180°-(∠A+∠C)=90°$，故△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①④能判断△ABC是直角三角形。
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】本题是三角形形状判断的基础题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，结合给定的角的关系计算最大角的度数，判断是否为直角即可快速解题。
【难度系数】0.8
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ BCD=30°$,$∠ ACB=80°$,$CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是
100°
.答案
100°
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，可利用三角形内角和定理，先求出△AEB中另外两个内角∠B和∠EAB的度数。第一步：根据CD是AB边上的高，得∠CDB=90°，结合已知∠BCD=30°，在Rt△BCD中算出∠B的度数；第二步：在△ABC中，已知∠ACB和∠B的度数，用三角形内角和算出∠CAB的度数；第三步：根据AE是∠CAB的平分线，求出∠EAB的度数；第四步：在△AEB中用内角和定理即可算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ ∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴ ∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合三角形高、角平分线的性质逐步推导所求角度即可，计算过程中注意角度运算不要出错。
【难度系数】
0.7
要求∠AEB的度数，可利用三角形内角和定理，先求出△AEB中另外两个内角∠B和∠EAB的度数。第一步：根据CD是AB边上的高，得∠CDB=90°，结合已知∠BCD=30°，在Rt△BCD中算出∠B的度数；第二步：在△ABC中，已知∠ACB和∠B的度数，用三角形内角和算出∠CAB的度数；第三步：根据AE是∠CAB的平分线，求出∠EAB的度数；第四步：在△AEB中用内角和定理即可算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ ∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴ ∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合三角形高、角平分线的性质逐步推导所求角度即可，计算过程中注意角度运算不要出错。
【难度系数】
0.7
11. 新考向 动手操作 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在CD边上的点A'处。若∠BA'C=70°，则∠A'BD的度数为
25°
。答案
25°
解析
【分析】
解题时先利用折叠性质得到对应角相等，再结合平行线的性质推导角的等量关系，最后用三角形内角和定理计算未知角。第一步先在直角△BCA'中求出∠A'BC的度数，第二步利用平角定义求出∠BA'D的度数，第三步结合平行线内错角相等、折叠对应角相等，得到∠A'DB和∠DBC的等量关系，最后在△BA'D中利用内角和列等式求解即可。
【解析】
1. 已知DC⊥BC，故∠C=90°，在Rt△BA'C中，∠BA'C=70°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A'BC=180°-90°-70°=20°$
2. 由折叠的性质可得：$∠ ABD=∠ A'BD$，$∠ ADB=∠ A'DB$。
3. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”得$∠ ADB=∠ DBC$，因此$∠ A'DB=∠ DBC$。
又$∠ DBC=∠ A'BD+∠ A'BC=∠ A'BD+20°$，故$∠ A'DB=∠ A'BD+20°$。
4. 点$A'$在CD边上，因此$∠ BA'D=180°-∠ BA'C=180°-70°=110°$。
5. 在△BA'D中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A'BD+∠ A'DB+∠ BA'D=180°$
代入$∠ A'DB=∠ A'BD+20°$、$∠ BA'D=110°$得：
$∠ A'BD+(∠ A'BD+20°)+110°=180°$
$2∠ A'BD=50°$
$∠ A'BD=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合折叠操作考查几何基础定理的应用，解题关键是找准折叠前后相等的角，结合平行线、三角形内角和建立角的数量关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.65
解题时先利用折叠性质得到对应角相等，再结合平行线的性质推导角的等量关系，最后用三角形内角和定理计算未知角。第一步先在直角△BCA'中求出∠A'BC的度数，第二步利用平角定义求出∠BA'D的度数，第三步结合平行线内错角相等、折叠对应角相等，得到∠A'DB和∠DBC的等量关系，最后在△BA'D中利用内角和列等式求解即可。
【解析】
1. 已知DC⊥BC，故∠C=90°，在Rt△BA'C中，∠BA'C=70°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A'BC=180°-90°-70°=20°$
2. 由折叠的性质可得：$∠ ABD=∠ A'BD$，$∠ ADB=∠ A'DB$。
3. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”得$∠ ADB=∠ DBC$，因此$∠ A'DB=∠ DBC$。
又$∠ DBC=∠ A'BD+∠ A'BC=∠ A'BD+20°$，故$∠ A'DB=∠ A'BD+20°$。
4. 点$A'$在CD边上，因此$∠ BA'D=180°-∠ BA'C=180°-70°=110°$。
5. 在△BA'D中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A'BD+∠ A'DB+∠ BA'D=180°$
代入$∠ A'DB=∠ A'BD+20°$、$∠ BA'D=110°$得：
$∠ A'BD+(∠ A'BD+20°)+110°=180°$
$2∠ A'BD=50°$
$∠ A'BD=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合折叠操作考查几何基础定理的应用，解题关键是找准折叠前后相等的角，结合平行线、三角形内角和建立角的数量关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.65
12.如图①，在$△ ABC$中，$CD ⊥ BA$交$BA$的延长线于点$D$，$DE ⊥ AC$于点$E$。
(1)若$∠ B = 35°$，$∠ CDE = 60°$，求$∠ ACB$的度数；
(2)如图②，若$CA$平分$∠ BCD$，$BF ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$F$，直接写出与$∠ ACB$相等的角($∠ ACB$除外)。
(1)若$∠ B = 35°$，$∠ CDE = 60°$，求$∠ ACB$的度数；
(2)如图②，若$CA$平分$∠ BCD$，$BF ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$F$，直接写出与$∠ ACB$相等的角($∠ ACB$除外)。
答案
解:(1)
∵CD⊥BD,
∴∠BDC=90°,
∴∠B+∠BCD=90°.
∵∠B=35°,
∴∠BCD=55°.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°.
∵∠CDE=60°,
∴∠DCE=30°,
∴∠ACB=∠BCD-∠DCE=55°-30°=25°.
(2)∠ACD,∠ADE,∠ABF. 【解析】
∵CA平分∠BCD,
∴∠ACD=∠ACB.
∵∠ADE+∠CDE=∠ACD+∠CDE=90°,
∴∠ADE=∠ACD=∠ACB.
∵BF⊥AC,DE⊥AC,
∴BF//DE,
∴∠ABF=∠ADE=∠ACB,
∴与∠ACB相等的角有∠ACD,∠ADE,∠ABF.
∵CD⊥BD,
∴∠BDC=90°,
∴∠B+∠BCD=90°.
∵∠B=35°,
∴∠BCD=55°.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°.
∵∠CDE=60°,
∴∠DCE=30°,
∴∠ACB=∠BCD-∠DCE=55°-30°=25°.
(2)∠ACD,∠ADE,∠ABF. 【解析】
∵CA平分∠BCD,
∴∠ACD=∠ACB.
∵∠ADE+∠CDE=∠ACD+∠CDE=90°,
∴∠ADE=∠ACD=∠ACB.
∵BF⊥AC,DE⊥AC,
∴BF//DE,
∴∠ABF=∠ADE=∠ACB,
∴与∠ACB相等的角有∠ACD,∠ADE,∠ABF.
解析
【分析】
(1) 解题思路：遇到垂直条件可得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，先结合∠B的度数求出∠BCD的度数，再结合∠CDE的度数求出∠DCE的度数，最后用∠BCD减去∠DCE即可得到∠ACB的度数。
(2) 解题思路：首先根据角平分线的定义直接得到∠ACD与∠ACB相等；再利用同角的余角相等，推导得出∠ADE与∠ACB相等；最后根据两条直线都垂直于同一条直线可判定平行，结合平行线同位角相等的性质，推导得出∠ABF与∠ACB相等。
【解析】
(1)
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
∵∠B=35°，
∴∠BCD=90° - 35°=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴在Rt△CDE中，∠CDE + ∠DCE = 90°，
∵∠CDE=60°，
∴∠DCE=90° - 60°=30°，
∴∠ACB=∠BCD - ∠DCE=55° - 30°=25°。
(2) 推导过程：
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵DE⊥AC，CD⊥BA，
∴∠ADE + ∠CDE = 90°，∠ACD + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE=∠ACD=∠ACB，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴BF//DE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠ABF=∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABF=∠ACB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$
(2) $\boldsymbol{∠ACD,∠ADE,∠ABF}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，核心考查角度等量代换的方法，需要熟练掌握垂直、角平分线、平行线对应的角度关系，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：遇到垂直条件可得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，先结合∠B的度数求出∠BCD的度数，再结合∠CDE的度数求出∠DCE的度数，最后用∠BCD减去∠DCE即可得到∠ACB的度数。
(2) 解题思路：首先根据角平分线的定义直接得到∠ACD与∠ACB相等；再利用同角的余角相等，推导得出∠ADE与∠ACB相等；最后根据两条直线都垂直于同一条直线可判定平行，结合平行线同位角相等的性质，推导得出∠ABF与∠ACB相等。
【解析】
(1)
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
∵∠B=35°，
∴∠BCD=90° - 35°=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴在Rt△CDE中，∠CDE + ∠DCE = 90°，
∵∠CDE=60°，
∴∠DCE=90° - 60°=30°，
∴∠ACB=∠BCD - ∠DCE=55° - 30°=25°。
(2) 推导过程：
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵DE⊥AC，CD⊥BA，
∴∠ADE + ∠CDE = 90°，∠ACD + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE=∠ACD=∠ACB，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴BF//DE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠ABF=∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABF=∠ACB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$
(2) $\boldsymbol{∠ACD,∠ADE,∠ABF}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，核心考查角度等量代换的方法，需要熟练掌握垂直、角平分线、平行线对应的角度关系，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在△ABC中,点D在边AC上,AE平分∠BAC分别交BC,BD于点E,F,AG是BC边上的高,交CB的延长线于点G.已知∠ABG=2∠C,∠BAG=∠CAE,∠CBD=3∠BAG.
(1)求证:△CBD是直角三角形;
(2)求∠BFE的度数.
(1)求证:△CBD是直角三角形;
(2)求∠BFE的度数.
答案
(1)证明:
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠BAG=∠CAE,
∴∠BAG=∠CAE=∠BAE,
∴∠CAG=∠CAE+∠BAE+∠BAG=3∠BAG.
∵∠CBD=3∠BAG,
∴∠CBD=∠CAG.
∵AG是BC边上的高,
∴∠G=90°,
∴∠CAG+∠C= 90°,
∴∠CBD+∠C=90°.
∴△CBD是直角三角形.
(2)解:由(1)知,∠BAG=∠BAE=∠CAE,∠G=90°,
∴∠ABG=90°-∠BAG,∠C=90°-3∠BAG.
∵∠ABG=2∠C,
∴90°-∠BAG=2(90°-3∠BAG),
∴∠BAG=∠BAE=∠CAE=18°,
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=36°,∠CBD=3∠BAG=54°.
∴∠AEG=90°-∠EAG=54°.
∴∠BFE=180°-∠CBD-∠AEG=72°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠BAG=∠CAE,
∴∠BAG=∠CAE=∠BAE,
∴∠CAG=∠CAE+∠BAE+∠BAG=3∠BAG.
∵∠CBD=3∠BAG,
∴∠CBD=∠CAG.
∵AG是BC边上的高,
∴∠G=90°,
∴∠CAG+∠C= 90°,
∴∠CBD+∠C=90°.
∴△CBD是直角三角形.
(2)解:由(1)知,∠BAG=∠BAE=∠CAE,∠G=90°,
∴∠ABG=90°-∠BAG,∠C=90°-3∠BAG.
∵∠ABG=2∠C,
∴90°-∠BAG=2(90°-3∠BAG),
∴∠BAG=∠BAE=∠CAE=18°,
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=36°,∠CBD=3∠BAG=54°.
∴∠AEG=90°-∠EAG=54°.
∴∠BFE=180°-∠CBD-∠AEG=72°.
解析
【分析】
(1) 要证明△CBD是直角三角形，只需证∠CBD+∠C=90°即可。首先根据角平分线性质得∠CAE=∠BAE，结合已知∠BAG=∠CAE，可推出∠CAG=3∠BAG，再结合∠CBD=3∠BAG得到∠CBD=∠CAG；最后利用AG是高，Rt△AGC中两锐角互余得∠CAG+∠C=90°，等量代换即可得证。
(2) 求∠BFE的度数时，先将∠ABG和∠C用含∠BAG的式子表示，结合∠ABG=2∠C列方程求出∠BAG的度数，再推导得到相关角的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠BFE即可。
【解析】
(1)证明：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE。
∵∠BAG=∠CAE，
∴∠BAG=∠CAE=∠BAE，
∴∠CAG=∠CAE+∠BAE+∠BAG=3∠BAG。
∵∠CBD=3∠BAG，
∴∠CBD=∠CAG。
∵AG是BC边上的高，
∴∠G=90°，
∴∠CAG+∠C= 90°，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴△CBD是直角三角形。
(2)解：由(1)知，∠BAG=∠BAE=∠CAE，∠G=90°，
∴∠ABG=90°-∠BAG，∠C=90°-3∠BAG。
∵∠ABG=2∠C，
∴90°-∠BAG=2(90°-3∠BAG)，
解得∠BAG=∠BAE=∠CAE=18°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=36°，∠CBD=3∠BAG=54°。
在Rt△AGE中，∠AEG=90°-∠EAG=54°。
在△BEF中，∠BFE=180°-∠CBD-∠AEG=180°-54°-54°=72°。
【答案】
(1) 已证明△CBD是直角三角形；
(2) $\boxed{72°}$
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角的计算与证明综合题，解题核心是利用已知角的等量关系进行代换，通过建立方程求解未知角，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了用代数方法解决几何问题的转化思想。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△CBD是直角三角形，只需证∠CBD+∠C=90°即可。首先根据角平分线性质得∠CAE=∠BAE，结合已知∠BAG=∠CAE，可推出∠CAG=3∠BAG，再结合∠CBD=3∠BAG得到∠CBD=∠CAG；最后利用AG是高，Rt△AGC中两锐角互余得∠CAG+∠C=90°，等量代换即可得证。
(2) 求∠BFE的度数时，先将∠ABG和∠C用含∠BAG的式子表示，结合∠ABG=2∠C列方程求出∠BAG的度数，再推导得到相关角的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠BFE即可。
【解析】
(1)证明：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE。
∵∠BAG=∠CAE，
∴∠BAG=∠CAE=∠BAE，
∴∠CAG=∠CAE+∠BAE+∠BAG=3∠BAG。
∵∠CBD=3∠BAG，
∴∠CBD=∠CAG。
∵AG是BC边上的高，
∴∠G=90°，
∴∠CAG+∠C= 90°，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴△CBD是直角三角形。
(2)解：由(1)知，∠BAG=∠BAE=∠CAE，∠G=90°，
∴∠ABG=90°-∠BAG，∠C=90°-3∠BAG。
∵∠ABG=2∠C，
∴90°-∠BAG=2(90°-3∠BAG)，
解得∠BAG=∠BAE=∠CAE=18°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=36°，∠CBD=3∠BAG=54°。
在Rt△AGE中，∠AEG=90°-∠EAG=54°。
在△BEF中，∠BFE=180°-∠CBD-∠AEG=180°-54°-54°=72°。
【答案】
(1) 已证明△CBD是直角三角形；
(2) $\boxed{72°}$
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角的计算与证明综合题，解题核心是利用已知角的等量关系进行代换，通过建立方程求解未知角，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了用代数方法解决几何问题的转化思想。
【难度系数】
0.65
