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1.【教材P80练习T1变式题】如图，在探究三角形的内角和的小组活动中，元元作出如下辅助线：延长△ABC的边BC到点D，作CE//AB，于是元元得出三角形内角和定理的证明方法.请你写出证明过程.
答案
证明:
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
解析
【分析】
要证明三角形内角和为180°，核心思路是将三角形分散的三个内角转化为一个平角。本题已给出辅助线CE//AB，首先可借助平行线的性质，把∠A、∠B分别转化为顶点在C点的∠ACE、∠ECD，此时这两个角与∠ACB刚好组成平角∠BCD，再结合平角的定义，通过等量代换即可推导出三角形三个内角的和为180°。
【解析】
证明:
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
【答案】
证明:
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，通过作平行线实现角的转移，将分散的内角拼接为平角，体现了转化的数学思想，能帮助大家理解几何证明中辅助线的构造逻辑和作用。
【难度系数】
0.8
要证明三角形内角和为180°，核心思路是将三角形分散的三个内角转化为一个平角。本题已给出辅助线CE//AB，首先可借助平行线的性质，把∠A、∠B分别转化为顶点在C点的∠ACE、∠ECD，此时这两个角与∠ACB刚好组成平角∠BCD，再结合平角的定义，通过等量代换即可推导出三角形三个内角的和为180°。
【解析】
证明:
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
【答案】
证明:
∵CE//AB,(所作)
∴∠A=∠ACE,(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠ECD.(两直线平行,同位角相等)
∵点B,C,D在同一条直线上,(所作)
∴∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°,(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
【知识点】
平行线的性质、平角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，通过作平行线实现角的转移，将分散的内角拼接为平角，体现了转化的数学思想，能帮助大家理解几何证明中辅助线的构造逻辑和作用。
【难度系数】
0.8
2.[2026·合肥包河区期中]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=42°$，则$∠ B=$
48°
.答案
48°
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件：三角形为直角三角形，其中∠C=90°，∠A=42°。我们首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180°，因此直角三角形中两个锐角的和为180°-90°=90°，即直角三角形的两个锐角互余。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角∠B的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=90°$，$∠ A=42°$，代入上式得：
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ A = 180° - 90° - 42° = 48°$
也可根据直角三角形两锐角互余的性质直接计算：$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 42° = 48°$
【答案】
$48°$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题目，直接考查三角形内角和定理的应用，牢记直角三角形两个锐角和为90°的性质可快速解题，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确已知条件：三角形为直角三角形，其中∠C=90°，∠A=42°。我们首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180°，因此直角三角形中两个锐角的和为180°-90°=90°，即直角三角形的两个锐角互余。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角∠B的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=90°$，$∠ A=42°$，代入上式得：
$∠ B = 180° - ∠ C - ∠ A = 180° - 90° - 42° = 48°$
也可根据直角三角形两锐角互余的性质直接计算：$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 42° = 48°$
【答案】
$48°$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题目，直接考查三角形内角和定理的应用，牢记直角三角形两个锐角和为90°的性质可快速解题，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
3.在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大20°，则较小的锐角的度数是
35°
。答案
35°
解析
【分析】
首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形有一个内角是90°，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知两个锐角的度数差为20°，我们可以设较小的锐角为未知数，根据两锐角和为90°建立方程求解，也可以用和差问题的算术方法直接计算。
【解析】
∵ 直角三角形的直角为90°，三角形内角和为180°
∴ 直角三角形的两个锐角之和为$180° - 90° = 90°$
设较小的锐角的度数为$x°$，则较大的锐角的度数为$(x+20)°$
根据两锐角和为$90°$列方程：
$x + (x + 20) = 90$
合并同类项得：$2x + 20 = 90$
移项计算得：$2x = 70$
解得：$x = 35$
也可用算术法直接计算：根据和差问题公式，较小数=(和-差)÷2，因此较小锐角度数为$(90° - 20°)÷2 = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内角和相关的基础常考题，核心考查直角三角形的锐角性质，结合已知的角度差关系即可快速求解，既可以用方程思想解答，也可以用算术方法直接计算。
【难度系数】
0.9
首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形有一个内角是90°，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知两个锐角的度数差为20°，我们可以设较小的锐角为未知数，根据两锐角和为90°建立方程求解，也可以用和差问题的算术方法直接计算。
【解析】
∵ 直角三角形的直角为90°，三角形内角和为180°
∴ 直角三角形的两个锐角之和为$180° - 90° = 90°$
设较小的锐角的度数为$x°$，则较大的锐角的度数为$(x+20)°$
根据两锐角和为$90°$列方程：
$x + (x + 20) = 90$
合并同类项得：$2x + 20 = 90$
移项计算得：$2x = 70$
解得：$x = 35$
也可用算术法直接计算：根据和差问题公式，较小数=(和-差)÷2，因此较小锐角度数为$(90° - 20°)÷2 = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内角和相关的基础常考题，核心考查直角三角形的锐角性质，结合已知的角度差关系即可快速求解，既可以用方程思想解答，也可以用算术方法直接计算。
【难度系数】
0.9
4. 新考向 跨物理 一个物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$ G $的方向竖直向下，支持力$ F_1 $的方向与斜面垂直，摩擦力$ F_2 $的方向与斜面平行。若斜面的坡角$ α = 30° $，则摩擦力$ F_2 $与重力$ G $方向的夹角$ β $的度数为（
A.$ 150° $
B.$ 130° $
C.$ 120° $
D.$ 70° $
C
）A.$ 150° $
B.$ 130° $
C.$ 120° $
D.$ 70° $
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确各方向的位置关系：水平面和竖直方向互相垂直，夹角为90°，已知斜面和水平面的坡角α=30°，先求出斜面和竖直方向的夹角，再结合摩擦力F₂沿斜面向上、重力G竖直向下的方向特征，即可求出两个力的夹角β。
【解析】
解：
∵ 水平面与竖直方向互相垂直，夹角为90°，
又
∵ 斜面坡角α=30°，即斜面与水平面的夹角为30°，
∴ 斜面与竖直方向的夹角为：$90° - 30° = 60°$，
∵ 摩擦力$F_2$沿斜面向上，重力$G$竖直向下，
∴ 二者的夹角$β = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂直的特征
2. 角度的计算
3. 余角的应用
【点评】
本题结合物理受力分析的背景考查几何角度计算，解题的核心是将物理中的方向问题转化为几何中的角的关系问题，注重不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确各方向的位置关系：水平面和竖直方向互相垂直，夹角为90°，已知斜面和水平面的坡角α=30°，先求出斜面和竖直方向的夹角，再结合摩擦力F₂沿斜面向上、重力G竖直向下的方向特征，即可求出两个力的夹角β。
【解析】
解：
∵ 水平面与竖直方向互相垂直，夹角为90°，
又
∵ 斜面坡角α=30°，即斜面与水平面的夹角为30°，
∴ 斜面与竖直方向的夹角为：$90° - 30° = 60°$，
∵ 摩擦力$F_2$沿斜面向上，重力$G$竖直向下，
∴ 二者的夹角$β = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂直的特征
2. 角度的计算
3. 余角的应用
【点评】
本题结合物理受力分析的背景考查几何角度计算，解题的核心是将物理中的方向问题转化为几何中的角的关系问题，注重不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7
5.【教材P87复习题T6变式题】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$，$BE⊥ AD$的延长线于点$E$.若$∠ CAB=46°$，求$∠ DBE$的度数. 
答案
解:
∵BE⊥AD,
∴∠E=∠C=90°,
∴∠CAD+∠ADC=90°,∠DBE+∠BDE=90°.
∵∠ADC=∠BDE,
∴∠CAD=∠DBE.
∵AD平分∠CAB,∠CAB=46°,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=23°,
∴∠DBE=23°.
∵BE⊥AD,
∴∠E=∠C=90°,
∴∠CAD+∠ADC=90°,∠DBE+∠BDE=90°.
∵∠ADC=∠BDE,
∴∠CAD=∠DBE.
∵AD平分∠CAB,∠CAB=46°,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=23°,
∴∠DBE=23°.
解析
【分析】
要求∠DBE的度数，可通过角的关系转化求解：首先观察到∠C和∠E都是直角，结合直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CAD与∠ADC互余、∠DBE与∠BDE互余；再由∠ADC和∠BDE是对顶角，度数相等，可推出二者的余角∠CAD和∠DBE相等。最后根据角平分线的定义算出∠CAD的度数，即可得到∠DBE的度数。
【解析】
∵BE⊥AD，
∴∠E=∠C=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，∠DBE+∠BDE=90°。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠DBE。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=46°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}×46°=23°$，
∴∠DBE=23°。
【答案】
$23°$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用等角的余角相等将未知角转化为可直接计算的角，只要熟练掌握角平分线性质和直角三角形的角的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
要求∠DBE的度数，可通过角的关系转化求解：首先观察到∠C和∠E都是直角，结合直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CAD与∠ADC互余、∠DBE与∠BDE互余；再由∠ADC和∠BDE是对顶角，度数相等，可推出二者的余角∠CAD和∠DBE相等。最后根据角平分线的定义算出∠CAD的度数，即可得到∠DBE的度数。
【解析】
∵BE⊥AD，
∴∠E=∠C=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，∠DBE+∠BDE=90°。
∵∠ADC和∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠DBE。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=46°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}×46°=23°$，
∴∠DBE=23°。
【答案】
$23°$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用等角的余角相等将未知角转化为可直接计算的角，只要熟练掌握角平分线性质和直角三角形的角的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
6.在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 90°$，则$△ ABC$的形状是 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先明确三个内角的度数特征。首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，结合题目给出的∠A+∠B=90°的条件，可先计算出第三个角∠C的度数，再根据三角形按角分类的标准判断形状即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A + ∠ B = 90°$，代入上式计算$∠ C$的度数：
$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° - 90° = 90°$
有一个角是直角的三角形为直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形内角和定理的简单应用，以及三角形形状的判定方法，难度较低，掌握核心基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断△ABC的形状，需先明确三个内角的度数特征。首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，结合题目给出的∠A+∠B=90°的条件，可先计算出第三个角∠C的度数，再根据三角形按角分类的标准判断形状即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A + ∠ B = 90°$，代入上式计算$∠ C$的度数：
$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° - 90° = 90°$
有一个角是直角的三角形为直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形内角和定理的简单应用，以及三角形形状的判定方法，难度较低，掌握核心基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7.如图，E是$△ ABC$的边AC上一点，过点E作$ED⊥ AB$，垂足为点D.若$∠ 1=∠ 2$，则$△ ABC$是直角三角形吗？为什么？
答案
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°.
∴△ADE是直角三角形.
∴∠1+∠A=90°.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°.
∴△ADE是直角三角形.
∴∠1+∠A=90°.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是证明其存在90°的内角。我们可以先从已知的垂直条件入手：ED垂直AB可得△ADE为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，能得到∠1与∠A的和为90°；再结合题目给出的∠1=∠2，通过等量代换得到∠2与∠A的和也为90°，最后利用三角形内角和定理即可推出△ABC中∠C为直角，即可完成判定。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，△ADE为直角三角形，
∴∠1 + ∠A = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2 + ∠A = 90°（等量代换）。
根据三角形内角和定理，△ABC中∠A + ∠2 + ∠C = 180°，
∴∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是灵活运用垂直的性质、角的等量代换以及三角形相关定理推导待证结论，有助于巩固三角形内角和与直角三角形相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是证明其存在90°的内角。我们可以先从已知的垂直条件入手：ED垂直AB可得△ADE为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，能得到∠1与∠A的和为90°；再结合题目给出的∠1=∠2，通过等量代换得到∠2与∠A的和也为90°，最后利用三角形内角和定理即可推出△ABC中∠C为直角，即可完成判定。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，△ADE为直角三角形，
∴∠1 + ∠A = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2 + ∠A = 90°（等量代换）。
根据三角形内角和定理，△ABC中∠A + ∠2 + ∠C = 180°，
∴∠C = 180° - (∠A + ∠2) = 180° - 90° = 90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是灵活运用垂直的性质、角的等量代换以及三角形相关定理推导待证结论，有助于巩固三角形内角和与直角三角形相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
8.如图，已知$∠ AOD=30°$，C是射线OD上的一个动点.在点C运动的过程中，当$∠ A$的度数为
60°或90°
时，$△ AOC$恰好是直角三角形. 答案
60°或90°
解析
【分析】
要使△AOC为直角三角形，需分情况讨论直角顶点的位置：首先排除直角顶点为O的情况（已知∠AOD=30°，不可能为直角），剩余两种情况分别是直角顶点为A、直角顶点为C，结合三角形内角和定理分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
已知△AOC是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A时，∠A=90°，此时△AOC为直角三角形，符合要求；
2. 当直角顶点为点C时，∠ACO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AOD - ∠ ACO = 180° - 30° - 90° = 60°$。
因为∠AOD=30°，不可能为直角，所以无需考虑直角顶点在O的情况。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题是典型的分类讨论题型，解题时需注意直角三角形的直角顶点位置不唯一，要全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要使△AOC为直角三角形，需分情况讨论直角顶点的位置：首先排除直角顶点为O的情况（已知∠AOD=30°，不可能为直角），剩余两种情况分别是直角顶点为A、直角顶点为C，结合三角形内角和定理分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
已知△AOC是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A时，∠A=90°，此时△AOC为直角三角形，符合要求；
2. 当直角顶点为点C时，∠ACO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AOD - ∠ ACO = 180° - 30° - 90° = 60°$。
因为∠AOD=30°，不可能为直角，所以无需考虑直角顶点在O的情况。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题是典型的分类讨论题型，解题时需注意直角三角形的直角顶点位置不唯一，要全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
