登录
1.[一题多解]如图,求证:$∠ BDC=∠ A+∠ B+∠ C$. 
答案
1.证法一:如图①,连接 AD 并延长.
∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
证法二:如图②,延长 BD 交 AC 于点 E,则∠BDC=∠BEC+∠C.
又
∵∠BEC=∠A+∠B,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.
解析
【分析】
要证明∠BDC与∠A、∠B、∠C的和相等，可利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），通过添加辅助线构造外角转化角度关系。思路一：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个外角，分别对应含∠B和∠C的外角，两式相加合并角即可得到结论；思路二：延长BD交AC于点E，先推导△ABE的外角∠BEC与∠A、∠B的关系，再推导△CDE的外角∠BDC与∠BEC、∠C的关系，代入代换即可得证。
【解析】
证法一：如图①，连接AD并延长。
根据三角形外角的性质可得：∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，
将两个等式左右两边分别相加，得∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，
因为∠BDC=∠2+∠4，∠BAC=∠1+∠3，
所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C。
证法二：如图②，延长BD交AC于点E。
∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质得∠BEC=∠A+∠B，
∠BDC是△CDE的外角，同理可得∠BDC=∠BEC+∠C，
将∠BEC=∠A+∠B代入上式，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。
【答案】
证法一:如图①,连接 AD 并延长.
∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
证法二:如图②,延长 BD 交 AC 于点 E,则∠BDC=∠BEC+∠C.
又
∵∠BEC=∠A+∠B,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.
【知识点】
三角形外角性质，角的和差运算
【点评】
本题是经典的“飞镖型”角度证明题，两种解法均通过添加辅助线将未知角度关系转化为三角形内外角的已知关系，解题核心是灵活运用三角形外角的性质，这类模型是角度计算和证明中常用的基础模型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要证明∠BDC与∠A、∠B、∠C的和相等，可利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），通过添加辅助线构造外角转化角度关系。思路一：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个外角，分别对应含∠B和∠C的外角，两式相加合并角即可得到结论；思路二：延长BD交AC于点E，先推导△ABE的外角∠BEC与∠A、∠B的关系，再推导△CDE的外角∠BDC与∠BEC、∠C的关系，代入代换即可得证。
【解析】
证法一：如图①，连接AD并延长。
根据三角形外角的性质可得：∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，
将两个等式左右两边分别相加，得∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，
因为∠BDC=∠2+∠4，∠BAC=∠1+∠3，
所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C。
证法二：如图②，延长BD交AC于点E。
∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质得∠BEC=∠A+∠B，
∠BDC是△CDE的外角，同理可得∠BDC=∠BEC+∠C，
将∠BEC=∠A+∠B代入上式，可得∠BDC=∠A+∠B+∠C。
【答案】
证法一:如图①,连接 AD 并延长.
∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
证法二:如图②,延长 BD 交 AC 于点 E,则∠BDC=∠BEC+∠C.
又
∵∠BEC=∠A+∠B,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.
【知识点】
三角形外角性质，角的和差运算
【点评】
本题是经典的“飞镖型”角度证明题，两种解法均通过添加辅助线将未知角度关系转化为三角形内外角的已知关系，解题核心是灵活运用三角形外角的性质，这类模型是角度计算和证明中常用的基础模型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2. 新考向 情境题 如图①是小禾同学在航展上观察到的带底座的无人机简易模型，图②是其示意图.若$∠ ACD = 105°$，$∠ B = 69°$，则$∠ A + ∠ BDC$的度数是（
A.$15°$
B.$21°$
C.$36°$
D.$48°$
C
）A.$15°$
B.$21°$
C.$36°$
D.$48°$
答案
2.C
解析
【分析】
观察图形结构，可通过作辅助线延长AC交BD于点M，利用三角形外角的性质推导角度关系：先得到△ABM的外角∠CMD与∠A、∠B的关系，再得到△CDM的外角∠ACD与∠CMD、∠BDC的关系，整理两个式子即可求出∠A+∠BDC的度数，也可直接利用飞镖型角度结论快速计算。
【解析】
解：延长AC交BD于点M。
∵ ∠CMD是△ABM的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠CMD = ∠A + ∠B。
又
∵ ∠ACD是△CDM的外角，
∴ ∠ACD = ∠CMD + ∠BDC。
将∠CMD = ∠A + ∠B代入上式，可得：
∠ACD = ∠A + ∠B + ∠BDC，
变形得∠A + ∠BDC = ∠ACD - ∠B。
把∠ACD=105°，∠B=69°代入计算：
∠A + ∠BDC = 105° - 69° = 36°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，飞镖型角度计算
【点评】
本题结合无人机模型的生活情境考查角度计算，解题核心是熟练掌握三角形外角性质，通过构造辅助线转化角度关系即可求解，也可直接利用飞镖模型的结论快速得到答案，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
观察图形结构，可通过作辅助线延长AC交BD于点M，利用三角形外角的性质推导角度关系：先得到△ABM的外角∠CMD与∠A、∠B的关系，再得到△CDM的外角∠ACD与∠CMD、∠BDC的关系，整理两个式子即可求出∠A+∠BDC的度数，也可直接利用飞镖型角度结论快速计算。
【解析】
解：延长AC交BD于点M。
∵ ∠CMD是△ABM的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ ∠CMD = ∠A + ∠B。
又
∵ ∠ACD是△CDM的外角，
∴ ∠ACD = ∠CMD + ∠BDC。
将∠CMD = ∠A + ∠B代入上式，可得：
∠ACD = ∠A + ∠B + ∠BDC，
变形得∠A + ∠BDC = ∠ACD - ∠B。
把∠ACD=105°，∠B=69°代入计算：
∠A + ∠BDC = 105° - 69° = 36°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，飞镖型角度计算
【点评】
本题结合无人机模型的生活情境考查角度计算，解题核心是熟练掌握三角形外角性质，通过构造辅助线转化角度关系即可求解，也可直接利用飞镖模型的结论快速得到答案，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
270
°。答案
3.270
解析
【分析】
本题是多个角的求和问题，可结合飞镖模型、三角形内角和定理解题：首先观察图形中的135°特殊角，利用飞镖模型可直接得到其中三个角的和等于135°；再求出135°角的邻补角，结合三角形内角和定理得到剩余三个角的和，最后将两部分和相加即可得到结果。
【解析】
解：根据飞镖模型的结论：凹四边形的凹角度数等于其余三个内角度数之和。
1. 对于由顶点A、C、E和135°角的顶点组成的凹四边形，可得：$∠ A + ∠ C + ∠ E = 135°$；
2. 135°角的邻补角为 $180° - 135° = 45°$，结合三角形内角和定理，可得$∠ B + ∠ D + ∠ F = 180° - 45° = 135°$；
3. 因此六个角的和为：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F = 135° + 135° = 270°$。
【答案】
270
【知识点】
飞镖模型，三角形内角和，三角形外角性质
【点评】
本题属于角度求和的常见题型，解题核心是将分散的多个角通过模型或外角性质转化集中，熟练掌握相关几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是多个角的求和问题，可结合飞镖模型、三角形内角和定理解题：首先观察图形中的135°特殊角，利用飞镖模型可直接得到其中三个角的和等于135°；再求出135°角的邻补角，结合三角形内角和定理得到剩余三个角的和，最后将两部分和相加即可得到结果。
【解析】
解：根据飞镖模型的结论：凹四边形的凹角度数等于其余三个内角度数之和。
1. 对于由顶点A、C、E和135°角的顶点组成的凹四边形，可得：$∠ A + ∠ C + ∠ E = 135°$；
2. 135°角的邻补角为 $180° - 135° = 45°$，结合三角形内角和定理，可得$∠ B + ∠ D + ∠ F = 180° - 45° = 135°$；
3. 因此六个角的和为：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F = 135° + 135° = 270°$。
【答案】
270
【知识点】
飞镖模型，三角形内角和，三角形外角性质
【点评】
本题属于角度求和的常见题型，解题核心是将分散的多个角通过模型或外角性质转化集中，熟练掌握相关几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4.如图，在四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的平分线相交于点P，若∠B=16°，∠C=42°，则∠P=
13
°。答案
4.13
解析
【分析】
本题可通过飞镖模型结合角平分线性质求解，解题思路如下：1. 先回忆飞镖模型结论：凹四边形中，凹角等于另外三个内角的和，对飞镖ABOC应用该结论可得到∠BOC、∠BAC、∠B、∠C的关系；2. 结合AP平分∠BAC、OP平分∠BOC的条件，设两个角平分线分出的小角分别为α、β，将∠BAC、∠BOC用α、β替换，得到β与α的关系式；3. 对飞镖ABPO再次应用飞镖模型，列出含∠P的等式，代入β与α的关系消去未知量即可求出∠P。
【解析】
首先利用飞镖模型（可通过延长AO，结合三角形外角性质证明）得：
$∠ BOC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$
设$∠ BAP=∠ CAP=α$，$∠ BOP=∠ COP=β$，则$∠ BAC=2α$，$∠ BOC=2β$，代入已知$∠ B=16°$，$∠ C=42°$得：
$2β=2α+16°+42°$
化简得：$β=α+29°$ ①
再对飞镖ABPO应用飞镖模型得：
$∠ BOP=∠ B+∠ BAP+∠ P$，即$β=16°+α+∠ P$ ②
将①代入②：$α+29°=16°+α+∠ P$
消去$α$后解得$∠ P=13°$
【答案】
13
【知识点】
飞镖模型求角度，角平分线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何模型的典型应用题，熟练掌握飞镖模型这类基础几何模型，可快速建立角度间的关系，省略重复的外角推导步骤，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.65
本题可通过飞镖模型结合角平分线性质求解，解题思路如下：1. 先回忆飞镖模型结论：凹四边形中，凹角等于另外三个内角的和，对飞镖ABOC应用该结论可得到∠BOC、∠BAC、∠B、∠C的关系；2. 结合AP平分∠BAC、OP平分∠BOC的条件，设两个角平分线分出的小角分别为α、β，将∠BAC、∠BOC用α、β替换，得到β与α的关系式；3. 对飞镖ABPO再次应用飞镖模型，列出含∠P的等式，代入β与α的关系消去未知量即可求出∠P。
【解析】
首先利用飞镖模型（可通过延长AO，结合三角形外角性质证明）得：
$∠ BOC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$
设$∠ BAP=∠ CAP=α$，$∠ BOP=∠ COP=β$，则$∠ BAC=2α$，$∠ BOC=2β$，代入已知$∠ B=16°$，$∠ C=42°$得：
$2β=2α+16°+42°$
化简得：$β=α+29°$ ①
再对飞镖ABPO应用飞镖模型得：
$∠ BOP=∠ B+∠ BAP+∠ P$，即$β=16°+α+∠ P$ ②
将①代入②：$α+29°=16°+α+∠ P$
消去$α$后解得$∠ P=13°$
【答案】
13
【知识点】
飞镖模型求角度，角平分线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是几何模型的典型应用题，熟练掌握飞镖模型这类基础几何模型，可快速建立角度间的关系，省略重复的外角推导步骤，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.65
5.如图，AD，BC相交于点O，得到一个“8”字.求证：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
模型总结 如图，$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$.
模型总结 如图，$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$.
答案
5.证明:
∵$∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD$,
∴$∠A+∠B=∠C+∠D$.
∵$∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD$,
∴$∠A+∠B=∠C+∠D$.
解析
【分析】
要证明∠A+∠B=∠C+∠D，首先观察角的位置：∠A、∠B是△AOB的内角，∠C、∠D是△COD的内角。我们可以先利用三角形内角和定理分别写出两个三角形的内角和等式，再结合△AOB和△COD的对顶角∠AOB与∠COD相等的性质，消去等式中相等的角，即可推导得到待证结论。
【解析】
证明:
∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
【答案】
证明:
∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题是“8字型”角度模型的基础推导，该模型是几何中常见的角度关系模型，熟练掌握后可大幅提升相关角度计算、证明类题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
要证明∠A+∠B=∠C+∠D，首先观察角的位置：∠A、∠B是△AOB的内角，∠C、∠D是△COD的内角。我们可以先利用三角形内角和定理分别写出两个三角形的内角和等式，再结合△AOB和△COD的对顶角∠AOB与∠COD相等的性质，消去等式中相等的角，即可推导得到待证结论。
【解析】
证明:
∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
【答案】
证明:
∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题是“8字型”角度模型的基础推导，该模型是几何中常见的角度关系模型，熟练掌握后可大幅提升相关角度计算、证明类题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
6.如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为
180°
。答案
6.180°
解析
【分析】
本题要求五个分散角的度数和，无法直接分别计算每个角的度数，因此需要采用角度转化的思路：首先找到BD与CE的交点，构造两个有对顶角的三角形，利用三角形内角和定理和对顶角相等的性质，将∠D+∠E转化为∠OBC+∠OCB，此时五个角的和就转化为大△ABC的三个内角之和，再结合三角形内角和为180°即可求解。
【解析】
解：设BD与CE交于点O。
在△EOD和△BOC中：
∵∠EOD与∠BOC是对顶角，
∴∠EOD=∠BOC。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D+∠ E + ∠ EOD = 180°$，$∠ OBC+∠ OCB + ∠ BOC=180°$，
∴$∠ D+∠ E = ∠ OBC + ∠ OCB$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ OBC$，$∠ ACB = ∠ C + ∠ OCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B + ∠ OBC + ∠ C + ∠ OCB = 180°$，
将$∠ OBC+∠ OCB$替换为$∠ D+∠ E$，可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；角度转化
【点评】
本题是不规则多角求和的典型题，核心解题思路是通过构造“8字型”对顶三角形，将分散的未知角转化到同一个三角形中，借助三角形内角和定理快速得到结果，避免了单独求解每个角的繁琐。
【难度系数】
0.7
本题要求五个分散角的度数和，无法直接分别计算每个角的度数，因此需要采用角度转化的思路：首先找到BD与CE的交点，构造两个有对顶角的三角形，利用三角形内角和定理和对顶角相等的性质，将∠D+∠E转化为∠OBC+∠OCB，此时五个角的和就转化为大△ABC的三个内角之和，再结合三角形内角和为180°即可求解。
【解析】
解：设BD与CE交于点O。
在△EOD和△BOC中：
∵∠EOD与∠BOC是对顶角，
∴∠EOD=∠BOC。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ D+∠ E + ∠ EOD = 180°$，$∠ OBC+∠ OCB + ∠ BOC=180°$，
∴$∠ D+∠ E = ∠ OBC + ∠ OCB$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
其中$∠ ABC = ∠ B + ∠ OBC$，$∠ ACB = ∠ C + ∠ OCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ B + ∠ OBC + ∠ C + ∠ OCB = 180°$，
将$∠ OBC+∠ OCB$替换为$∠ D+∠ E$，可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；角度转化
【点评】
本题是不规则多角求和的典型题，核心解题思路是通过构造“8字型”对顶三角形，将分散的未知角转化到同一个三角形中，借助三角形内角和定理快速得到结果，避免了单独求解每个角的繁琐。
【难度系数】
0.7
7.如图，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求证：∠B+∠D=2∠E. 
答案
7.证明:
∵ $∠B+∠BAF+∠AFB=180°,∠E+∠ECF+∠EFC=180°,∠AFB=∠EFC$,
∴$∠B+∠BAE=∠E+∠ECF$.
同理,$∠D+∠DCE=∠E+∠EAD$.
∴$∠B+∠BAE+∠D+∠DCE=2∠E+∠ECF+∠EAD$.
∵AE,CE 分别平分$∠BAD,∠BCD$,
∴$∠BAE=∠EAD,∠DCE=∠ECF,∴∠B+∠D=2∠E$.
∵ $∠B+∠BAF+∠AFB=180°,∠E+∠ECF+∠EFC=180°,∠AFB=∠EFC$,
∴$∠B+∠BAE=∠E+∠ECF$.
同理,$∠D+∠DCE=∠E+∠EAD$.
∴$∠B+∠BAE+∠D+∠DCE=2∠E+∠ECF+∠EAD$.
∵AE,CE 分别平分$∠BAD,∠BCD$,
∴$∠BAE=∠EAD,∠DCE=∠ECF,∴∠B+∠D=2∠E$.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，可找到两组含对顶角的“8字型”三角形结构。首先利用三角形内角和定理结合对顶角相等，分别得到两组角的和相等的关系式；再根据角平分线的定义得到两组相等的角，将两个关系式相加后消去相等的角，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $∠ B+∠ BAF+∠ AFB=180°$，$∠ E+∠ ECF+∠ EFC=180°$，$∠ AFB=∠ EFC$（对顶角相等），
∴ $∠ B+∠ BAE=∠ E+∠ ECF$ ①，
同理可得 $∠ D+∠ DCE=∠ E+∠ EAD$ ②，
将①+②得：$∠ B+∠ BAE+∠ D+∠ DCE=2∠ E+∠ ECF+∠ EAD$，
∵ AE、CE分别平分$∠ BAD$、$∠ BCD$，
∴ $∠ BAE=∠ EAD$，$∠ DCE=∠ ECF$，
代入等式化简可得$∠ B+∠ D=2∠ E$。
【答案】
$∠ B+∠ D=2∠ E$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是典型的利用“8字型”几何模型推导角度关系的题型，解题核心是找到对应的“8字型”三角形结构得到角度等量关系，结合角平分线性质通过等式变形消去中间角即可得到结论，熟练掌握常见几何模型的角度规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，可找到两组含对顶角的“8字型”三角形结构。首先利用三角形内角和定理结合对顶角相等，分别得到两组角的和相等的关系式；再根据角平分线的定义得到两组相等的角，将两个关系式相加后消去相等的角，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $∠ B+∠ BAF+∠ AFB=180°$，$∠ E+∠ ECF+∠ EFC=180°$，$∠ AFB=∠ EFC$（对顶角相等），
∴ $∠ B+∠ BAE=∠ E+∠ ECF$ ①，
同理可得 $∠ D+∠ DCE=∠ E+∠ EAD$ ②，
将①+②得：$∠ B+∠ BAE+∠ D+∠ DCE=2∠ E+∠ ECF+∠ EAD$，
∵ AE、CE分别平分$∠ BAD$、$∠ BCD$，
∴ $∠ BAE=∠ EAD$，$∠ DCE=∠ ECF$，
代入等式化简可得$∠ B+∠ D=2∠ E$。
【答案】
$∠ B+∠ D=2∠ E$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是典型的利用“8字型”几何模型推导角度关系的题型，解题核心是找到对应的“8字型”三角形结构得到角度等量关系，结合角平分线性质通过等式变形消去中间角即可得到结论，熟练掌握常见几何模型的角度规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
