1 有下列式子：$-2x^2$，$ax$，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{13}x$，$1+a$，$-b$，$3+2a$，$\frac{x+y}{2}$。其中，是单项式的共有（）

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

1.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。同时要注意两类不属于单项式的情况：一是分母中含有字母的式子（属于分式，不是整式，更不是单项式）；二是含有加减运算的整式（属于多项式，不是单项式）。接下来我们逐个判断给出的式子是否符合单项式的定义，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确单项式的判定规则：只有数与字母的乘积、单独的数、单独的字母是单项式，分母含字母的式子、含加减运算的整式都不是单项式。我们逐个分析给出的式子：
1. $-2x^2$：是数$-2$与$x^2$的乘积，属于单项式；
2. $ax$：是字母$a$与$x$的乘积，属于单项式；
3. $\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，是分式，不属于单项式；
4. $\frac{1}{13}x$：是数$\frac{1}{13}$与$x$的乘积，属于单项式；
5. $1+a$：含有加法运算，是多项式，不属于单项式；
6. $-b$：是数$-1$与$b$的乘积，属于单项式；
7. $3+2a$：含有加法运算，是多项式，不属于单项式；
8. $\frac{x+y}{2}$：可变形为$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$，含有加法运算，是多项式，不属于单项式。
综上，属于单项式的共有4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式的判定标准，做题时要注意区分单项式、多项式和分式，避免误将分母含字母或含加减运算的式子判定为单项式。
【难度系数】
0.7

2 下列说法错误的是 （）

A.数字1的次数是0
B.单项式$-a$的系数与次数都是1
C.$\frac{1}{2}xy$是二次单项式
D.$-\frac{3ab}{7}$的系数是$-\frac{3}{7}$

2.B

【分析】
本题考查单项式的系数、次数相关概念，解题思路为：先明确单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，单独的数字是常数项，次数为0，再逐一分析每个选项的表述是否符合概念，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 单独的数字是常数项，所有常数项的次数都是0，数字1是常数，次数为0，该选项表述正确，不符合题意；
B. 单项式$-a$的数字因数是$-1$，因此系数是$-1$，字母$a$的指数是1，因此次数是1，选项中说系数是1的表述错误，符合题意；
C. 单项式$\frac{1}{2}xy$中，$x$的指数是1，$y$的指数是1，所有字母指数和为$1+1=2$，因此是二次单项式，该选项表述正确，不符合题意；
D. 单项式$-\frac{3ab}{7}$可以变形为$-\frac{3}{7}ab$，数字因数是$-\frac{3}{7}$，因此系数是$-\frac{3}{7}$，该选项表述正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数、单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式系数、次数的定义，易错点是容易忽略单项式系数的负号，或者误将常数项的次数记为1。
【难度系数】
0.8

3 下列各组单项式中,次数相同的是 ()

A.$2ab$ 与 $4xy^2$
B.$3π$ 与 $a$
C.$\frac{1}{3}x^2y^2$ 与 $xy$
D.$a^3$ 与 $xy^2$

3.D

【分析】
本题考查单项式次数的判断，解题首先要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和为该单项式的次数，注意单独的数字（常数项）次数为0，π属于常数，不算作字母。解题时我们只需分别计算每个选项中两个单项式的次数，对比后选出次数相同的选项即可。
【解析】
首先明确单项式次数的计算规则：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单独的常数项次数为0。
我们逐个分析选项：
A选项：$2ab$的次数为$1+1=2$，$4xy^2$的次数为$1+2=3$，次数不相等，不符合要求；
B选项：$3π$是常数，次数为0，$a$的次数为1，次数不相等，不符合要求；
C选项：$\frac{1}{3}x^2y^2$的次数为$2+2=4$，$xy$的次数为$1+1=2$，次数不相等，不符合要求；
D选项：$a^3$的次数为3，$xy^2$的次数为$1+2=3$，次数相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将$π$当作字母计算次数，或忽略常数项的次数为0，只要准确掌握单项式次数的计算规则，就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

4 若单项式$2x^{n}yz^{2}$的次数是8，则$n$的值是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

4.D

【分析】
解题时首先要回忆单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。本题已知单项式的总次数为8，我们只需要找出该单项式中所有字母的指数，相加后等于8列方程，即可求出n的值，注意单独出现的字母y的指数是1，不要漏算。
【解析】
解：根据单项式次数的定义，单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。
在单项式$2x^{n}yz^{2}$中，x的指数为$n$，y的指数为1，z的指数为2，已知该单项式次数为8，可列方程：
$n + 1 + 2 = 8$
解得$n = 8 - 3 = 5$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的次数，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对单项式次数概念的理解，解题的关键是不要遗漏指数为1的字母的指数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

5 教材P94习题T2变式 新考向 结论开放题 请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母$x$，$y$；②系数是－5；③次数是6.这个单项式可以为.

5. 答案不唯一，如$-5x^5y$

【分析】
要构造符合要求的单项式，我们可以结合单项式的相关概念，分步匹配题干给出的三个条件：首先明确单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。第一步根据条件②确定数字部分为-5；第二步根据条件①，保证式子中同时包含x、y两个字母；第三步根据条件③，让x和y的指数相加的和等于6即可，x和y的指数只要是正整数且和为6都满足要求，因此有多个符合条件的答案。
【解析】
我们按要求逐步构造单项式：
1. 确定系数：由条件②可知系数为-5，先写出数字部分：-5；
2. 确定所含字母：由条件①可知需同时含有字母x、y，在系数后添加字母x和y；
3. 确定字母指数：由条件③可知单项式次数为6，即x的指数与y的指数之和为6，我们可取x的指数为5，y的指数为1，满足5+1=6的次数要求，即可得到单项式$-5x^5y$。也可选择其他指数组合，如x的指数为3、y的指数为3，得到$-5x^3y^3$，同样符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$-5x^5y$
【知识点】
单项式的系数、单项式的次数
【点评】
本题属于结论开放类题目，核心考查对单项式相关概念的理解，解题时紧扣系数、所含字母、次数三个限定条件即可快速写出答案，答案不唯一，只要满足三个要求均为正确。
【难度系数】
0.9

6 教材P91练习T1变式 填表：
| 单项式 | $30a$ | $-x^3$ | $y$ | $ab^2c^3$ | $\frac{-3xy^3}{4}$ | $π r^2$ |
|--------|-------|--------|-----|-----------|---------------------|-----------|
| 系 数 | | | | | | |
| 次 数 | | | | | | |

6. 第一行:$30,-1,1,1,-\frac{3}{4},π$ 第二行:$1,3,1,6,4,2$

【分析】
要完成本题，首先需要明确单项式的系数和次数的定义：①单项式的系数：指单项式中的数字因数，注意单独的字母前面省略数字时，系数为1或-1，π是常数，属于系数的一部分；②单项式的次数：指单项式中所有字母的指数之和，指数为1时通常省略不写，计算时不要遗漏。接下来逐个对每个单项式分析计算即可。
【解析】
我们逐个计算每个单项式的系数和次数：
1. 单项式$30a$：数字因数是$30$，故系数为$30$；只有字母$a$，指数为$1$，故次数为$1$。
2. 单项式$-x^3$：数字因数是$-1$（省略了数字$1$），故系数为$-1$；只有字母$x$，指数为$3$，故次数为$3$。
3. 单项式$y$：数字因数是$1$（省略了数字$1$），故系数为$1$；只有字母$y$，指数为$1$，故次数为$1$。
4. 单项式$ab^2c^3$：数字因数是$1$（省略了数字$1$），故系数为$1$；字母$a$指数为$1$、$b$指数为$2$、$c$指数为$3$，总次数为$1+2+3=6$，故次数为$6$。
5. 单项式$\frac{-3xy^3}{4}$：数字因数是$-\frac{3}{4}$，故系数为$-\frac{3}{4}$；字母$x$指数为$1$、$y$指数为$3$，总次数为$1+3=4$，故次数为$4$。
6. 单项式$π r^2$：$π$是常数，数字因数是$π$，故系数为$π$；只有字母$r$，指数为$2$，故次数为$2$。
【答案】
系数行：$30,-1,1,1,-\frac{3}{4},π$
次数行：$1,3,1,6,4,2$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题的关键是准确理解系数和次数的定义，易错点是容易把π当作字母计算次数，或者忽略省略的系数1、-1的符号，以及漏掉指数为1的字母的指数。
【难度系数】
0.8

7 教材 P94 习题 T5 变式 若一批计算机的进价为每台 m 元，涨价 30%后出售，则每台计算机的售价为（）

A.$\frac{3}{10}m$元
B.$0.7m$元
C.$1.3m$元
D.$\frac{10}{3}m$元

7.C

【分析】
本题是销售类的代数式列写问题，解题时首先明确单位“1”是进价m元，涨价30%的含义是售价比进价多了进价的30%，因此售价等于进价加上上涨的金额，也可以直接用进价乘以（1+涨价的百分比）来计算，再对照选项选出答案即可。
【解析】
已知每台计算机的进价为m元，涨价30%后，上涨的金额为30%m元，因此每台的售价为：
$m + 30\%m = (1 + 0.3)m = 1.3m$元
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列代数式
2. 百分数的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查销售问题中涨价后的售价计算，解题的核心是找准单位“1”，理清涨价后售价与进价的数量关系，这类题型是代数式应用的常见基础考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85

8 教材P90例1变式 用单项式填空.
（1）学校购买了一批图书，共a箱，每箱有b册，将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书有册.
（2）若一个直角三角形的一条直角边的长为x cm，另一条直角边的长为9 cm，则该直角三角形的面积为cm².
（3）新能源汽车具有低能耗、低碳等特点，市场认可度持续提升.某品牌新能源汽车为了进一步提高市场占有率，将原价为a万元/辆的汽车按九折出售.若一周内销售了这种汽车b辆，则这周的销售额为万元.

8. (1) $\frac{1}{2}ab$ (2) $\frac{9}{2}x$ (3) $0.9ab$

【分析】
解题时先明确每道小题的数量关系，再根据数量关系列出代数式，最后按照单项式的书写规范整理结果即可：
1. 第（1）题先计算图书总册数，再求总册数的一半；
2. 第（2）题直接套用直角三角形面积公式列式计算；
3. 第（3）题先算出打折后的单价，再根据“销售额=单价×销售量”列式。
【解析】
（1）这批图书的总册数为$a× b=ab$册，捐出一半即总册数乘$\frac{1}{2}$，因此捐给社区的图书有$\frac{1}{2}ab$册；
（2）直角三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1× 直角边\_\_\_\_\_\_2$，代入两条直角边的长度$x\mathrm{cm}$和$9\mathrm{cm}$，可得面积为$\frac{1}{2}× x×9=\frac{9}{2}x\mathrm{cm}^2$；
（3）九折就是原价的90%，因此打折后的汽车单价为$0.9a$万元/辆，一周销售$b$辆的销售额为$0.9a× b=0.9ab$万元。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}ab$；（2）$\frac{9}{2}x$；（3）$0.9ab$
【知识点】
列代数式；单项式书写规范；常见数量关系
【点评】
本题是单项式的基础应用题型，核心是准确提取题目中的数量关系，列式时要注意符合单项式的书写要求，比如数字因数写在字母因数前面，分数系数要写成最简分数形式，是巩固单项式概念的典型习题。
【难度系数】
0.85

9 单项式 $5 × 10^2 a^5 b^3$ 的次数是

9. 8

【分析】
解题前首先要明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，仅统计字母的指数，系数中数字的指数不需要计入。解题时先找出该单项式里包含的所有字母，分别确定每个字母的指数，再将指数相加即可得到结果，注意不要误把系数里$10$的指数2计入总次数。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
在单项式$5 × 10^2 a^5 b^3$中，$5×10^2$是系数部分，10属于数字，它的指数2不计入次数；包含的字母为a和b，a的指数是5，b的指数是3。
因此该单项式的次数为$5+3=8$。
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题核心考查对单项式次数概念的理解，易错点是容易将系数中数字的指数误算入总次数，解题时需明确仅统计所有字母的指数之和。
【难度系数】
0.8

10 已知$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x$，$y$的五次单项式，则$m$的值是。

10. $-3$ 【解析】由题意,得$|m|+1+1=5,m-3≠0$,所以$m=-3$.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心知识点：一是单项式的次数定义，即单项式的次数是所有字母的指数和；二是单项式的系数不能为0，否则式子的值为0，就不符合单项式的要求。解题时先根据“五次单项式”的次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x$，$y$的五次单项式
∴首先满足次数要求：$x$的指数为1，$y$的指数为$|m|+1$，总次数为5，可得：
$1 + |m| + 1 = 5$
化简得$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$
其次满足单项式系数不为0的要求：$m-3≠0$，即$m≠3$
综上，$m$的值为$-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
单项式的次数，单项式的系数，绝对值的性质
【点评】
本题属于单项式概念的基础应用题型，易错点是容易忽略单项式系数不能为0的限制，误将$m=3$当作正确结果，解题时要结合定义梳理全所有约束条件，避免漏解错解。
【难度系数】
0.6

11 已知$x^2 y^{|a|} + (b + 5)$是关于$x,y$的四次单项式，求$a^2 - 3ab$的值。

11. 由题意,得$b+5=0,2+|a|=4$. 所以$b=-5,a=2$或$-2$.
所以当$a=2,b=-5$时,$a^2-3ab=4+30=34$;当$a=-2,b=-5$时,$a^2-3ab=4-30=-26$

【分析】
要解决本题，首先需明确四次单项式的两个核心要求：第一，单项式是数与字母的乘积，不能存在单独的常数项相加，因此本题中附加的常数项$(b+5)$必须等于0，才能保证整个式子是单项式；第二，单项式的次数是式子中所有字母的指数之和，本题中x的指数为2，y的指数为$|a|$，二者相加需等于4。我们先根据这两个条件求出a、b的取值，再分情况代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ $x^2 y^{|a|} + (b + 5)$ 是关于x、y的四次单项式
∴ 常数项为0，且所有字母的指数和为4，可列方程组：
$\begin{cases} b + 5 = 0 \\ 2 + |a| = 4 \end{cases}$
解得：$b = -5$，$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$。
① 当$a=2$，$b=-5$时：
$a^2 - 3ab = 2^2 - 3×2×(-5) = 4 + 30 = 34$
② 当$a=-2$，$b=-5$时：
$a^2 - 3ab = (-2)^2 - 3×(-2)×(-5) = 4 - 30 = -26$
【答案】
34或-26
【知识点】
单项式的定义，单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题重点考查单项式相关概念的应用，解题时需注意：若多项式形式的式子为单项式，必须让额外的常数项为0；同时绝对值方程的解有两个，需要分类代入计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6