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1 教材P93练习T1变式 有下列式子：$\frac{1}{3}ab$，$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$，$x^2+x-3$。其中，多项式共有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断式子是不是多项式，首先要明确相关概念：几个单项式的和叫做多项式，而单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不能含有字母，分母含字母的式子属于分式，不属于整式，自然也不是多项式。解题时我们先逐个分析给出的4个式子，先排除不是整式的，再从整式里区分单项式和多项式，统计多项式的个数即可。
【解析】
首先明确判定规则：①分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，也不是多项式；②几个单项式的和为多项式。
逐个分析各式子：
1. $\frac{1}{3}ab$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$：分母含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$：是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义；整式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是先区分整式和分式，再结合多项式的定义进行判断，要注意含分母的式子只有分母不含字母时才有可能是整式。
【难度系数】
0.8
要判断式子是不是多项式，首先要明确相关概念：几个单项式的和叫做多项式，而单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不能含有字母，分母含字母的式子属于分式，不属于整式，自然也不是多项式。解题时我们先逐个分析给出的4个式子，先排除不是整式的，再从整式里区分单项式和多项式，统计多项式的个数即可。
【解析】
首先明确判定规则：①分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，也不是多项式；②几个单项式的和为多项式。
逐个分析各式子：
1. $\frac{1}{3}ab$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$：分母含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$：是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义；整式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是先区分整式和分式，再结合多项式的定义进行判断，要注意含分母的式子只有分母不含字母时才有可能是整式。
【难度系数】
0.8
2 关于多项式 $3a^2 - 4a^3 -1$，下列说法中正确的是（
A.它是五次三项式
B.它的最高次项的系数是4
C.它的常数项是1
D.它是三次三项式
D
）A.它是五次三项式
B.它的最高次项的系数是4
C.它的常数项是1
D.它是三次三项式
答案
2. D
解析
【分析】
要判断关于多项式的说法是否正确，首先需要明确多项式的相关概念：多项式的项数是指多项式中单项式的个数，多项式的次数是指次数最高的项的次数，最高次项的系数是该项的数字因数（需带符号），常数项是不含字母的项（同样需带符号）。解题时先拆分出该多项式的所有项，分别确定各项的次数、系数，再逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先整理多项式：$3a^2 - 4a^3 -1 = -4a^3 + 3a^2 -1$，该多项式共有3个单项式，属于三项式，各项属性如下：
1. 最高次项是$-4a^3$，次数为3，系数为$-4$；
2. 二次项是$3a^2$，系数为3；
3. 常数项是不含字母的$-1$。
据此逐一判断选项：
A选项：多项式最高次数为3，是三次三项式，不是五次三项式，错误；
B选项：最高次项的系数是$-4$，不是4，错误；
C选项：常数项是$-1$，不是1，错误；
D选项：该多项式次数为3，共3项，是三次三项式，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，常数项
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题的核心是熟练掌握多项式相关定义，注意判断项的系数、常数项时要连同项前面的符号一起分析，避免因忽略符号出现判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断关于多项式的说法是否正确，首先需要明确多项式的相关概念：多项式的项数是指多项式中单项式的个数，多项式的次数是指次数最高的项的次数，最高次项的系数是该项的数字因数（需带符号），常数项是不含字母的项（同样需带符号）。解题时先拆分出该多项式的所有项，分别确定各项的次数、系数，再逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先整理多项式：$3a^2 - 4a^3 -1 = -4a^3 + 3a^2 -1$，该多项式共有3个单项式，属于三项式，各项属性如下：
1. 最高次项是$-4a^3$，次数为3，系数为$-4$；
2. 二次项是$3a^2$，系数为3；
3. 常数项是不含字母的$-1$。
据此逐一判断选项：
A选项：多项式最高次数为3，是三次三项式，不是五次三项式，错误；
B选项：最高次项的系数是$-4$，不是4，错误；
C选项：常数项是$-1$，不是1，错误；
D选项：该多项式次数为3，共3项，是三次三项式，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，常数项
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题的核心是熟练掌握多项式相关定义，注意判断项的系数、常数项时要连同项前面的符号一起分析，避免因忽略符号出现判断错误。
【难度系数】
0.8
3 教材 P93 练习 T2 变式 填表：
多项式 $-5x^2 + 6x - 1$ $x^2y^2 - 2x^3 - 1$
项
次数
多项式 $\frac{π - $
$^2}{3}$ $2^5 - x^2y - xy^3$
项
次数
多项式 $-5x^2 + 6x - 1$ $x^2y^2 - 2x^3 - 1$
项
次数
多项式 $\frac{π - $
$^2}{3}$ $2^5 - x^2y - xy^3$项
次数
答案
3. 第一行：$-5x^2,6x,-1$；$x^2y^2,-2x^3,-1$ 第二行：2；4
第三行：$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；$2^5,-x^2y,-xy^3$ 第四行：3；4
第三行：$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；$2^5,-x^2y,-xy^3$ 第四行：3；4
解析
【分析】
要解决这个填表题，首先回忆两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每一个单项式都是多项式的项，注意要包含单项式前面的符号，单独的常数也是多项式的项；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，计算单项式次数时只统计所有字母的指数和，π是常数，不算作字母，常数项的次数为0。接下来逐个分析每个多项式的项和最高次项的次数即可。
【解析】
1. 对多项式$-5x^2 + 6x -1$：
组成它的单项式为$-5x^2$、$6x$、$-1$，即它的项是$-5x^2,6x,-1$；
各项次数分别为2、1、0，最高次数为2，因此该多项式次数为2。
2. 对多项式$x^2y^2 - 2x^3 -1$：
组成它的单项式为$x^2y^2$、$-2x^3$、$-1$，即它的项是$x^2y^2,-2x^3,-1$；
各项次数分别为$2+2=4$、3、0，最高次数为4，因此该多项式次数为4。
3. 对多项式$\frac{π - xy^2}{3}$：
拆分可得$\frac{π}{3} - \frac{xy^2}{3}$，组成它的单项式为$\frac{π}{3}$、$-\frac{xy^2}{3}$，即它的项是$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；
各项次数分别为0、$1+2=3$，最高次数为3，因此该多项式次数为3。
4. 对多项式$2^5 - x^2y - xy^3$：
组成它的单项式为$2^5$、$-x^2y$、$-xy^3$，即它的项是$2^5,-x^2y,-xy^3$；
各项次数分别为0、$2+1=3$、$1+3=4$，最高次数为4，因此该多项式次数为4。
【答案】
第一行（项）：$-5x^2,6x,-1$；$x^2y^2,-2x^3,-1$
第二行（次数）：$2$；$4$
第三行（项）：$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；$2^5,-x^2y,-xy^3$
第四行（次数）：$3$；$4$
【知识点】
多项式的项，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是多项式基础概念的应用题，解题的易错点有三个：一是写多项式的项时容易漏掉前面的负号，二是误将π当作字母计算次数，三是误将常数$2^5$的指数5算作多项式的次数，掌握基本概念即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个填表题，首先回忆两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每一个单项式都是多项式的项，注意要包含单项式前面的符号，单独的常数也是多项式的项；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，计算单项式次数时只统计所有字母的指数和，π是常数，不算作字母，常数项的次数为0。接下来逐个分析每个多项式的项和最高次项的次数即可。
【解析】
1. 对多项式$-5x^2 + 6x -1$：
组成它的单项式为$-5x^2$、$6x$、$-1$，即它的项是$-5x^2,6x,-1$；
各项次数分别为2、1、0，最高次数为2，因此该多项式次数为2。
2. 对多项式$x^2y^2 - 2x^3 -1$：
组成它的单项式为$x^2y^2$、$-2x^3$、$-1$，即它的项是$x^2y^2,-2x^3,-1$；
各项次数分别为$2+2=4$、3、0，最高次数为4，因此该多项式次数为4。
3. 对多项式$\frac{π - xy^2}{3}$：
拆分可得$\frac{π}{3} - \frac{xy^2}{3}$，组成它的单项式为$\frac{π}{3}$、$-\frac{xy^2}{3}$，即它的项是$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；
各项次数分别为0、$1+2=3$，最高次数为3，因此该多项式次数为3。
4. 对多项式$2^5 - x^2y - xy^3$：
组成它的单项式为$2^5$、$-x^2y$、$-xy^3$，即它的项是$2^5,-x^2y,-xy^3$；
各项次数分别为0、$2+1=3$、$1+3=4$，最高次数为4，因此该多项式次数为4。
【答案】
第一行（项）：$-5x^2,6x,-1$；$x^2y^2,-2x^3,-1$
第二行（次数）：$2$；$4$
第三行（项）：$\frac{π}{3},-\frac{xy^2}{3}$；$2^5,-x^2y,-xy^3$
第四行（次数）：$3$；$4$
【知识点】
多项式的项，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是多项式基础概念的应用题，解题的易错点有三个：一是写多项式的项时容易漏掉前面的负号，二是误将π当作字母计算次数，三是误将常数$2^5$的指数5算作多项式的次数，掌握基本概念即可避免出错。
【难度系数】
0.7
4 有下列代数式：① $-\dfrac{1}{2}mn$；② $m$；③ $\dfrac{1}{2}$；④ $\dfrac{b}{a}$；⑤ $2m + 1$；⑥ $\dfrac{x - y}{5}$；⑦ $\dfrac{2x + y}{x - y}$；⑧ $x^2 + 2x + \dfrac{2}{3}$；⑨ $y^3 - 5y + \dfrac{3}{y}$。其中，整式共有
6
个。答案
4. 6
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，核心判定规则是代数式的分母中不能含有字母。解题时先逐个排查给出的9个代数式，排除分母含字母的，再数剩余符合要求的代数式的个数即可。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式（数与字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式）和多项式（几个单项式的和）统称为整式，且整式的分母中不含有字母。
我们逐个判断每个代数式：
① $-\dfrac{1}{2}mn$ 是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
② $m$ 是单独的字母，属于单项式，是整式；
③ $\dfrac{1}{2}$ 是单独的数，属于单项式，是整式；
④ $\dfrac{b}{a}$ 分母含有字母$a$，不属于整式；
⑤ $2m + 1$ 是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑥ $\dfrac{x - y}{5}$ 可变形为$\dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{5}$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦ $\dfrac{2x + y}{x - y}$ 分母含有字母$x、y$，不属于整式；
⑧ $x^2 + 2x + \dfrac{2}{3}$ 是三个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑨ $y^3 - 5y + \dfrac{3}{y}$ 分母含有字母$y$，不属于整式。
综上，属于整式的有①②③⑤⑥⑧，共6个。
【答案】
6
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题关键是牢记“分母中含有字母的代数式不属于整式”这一核心判定要点，只要能准确区分整式和非整式即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，核心判定规则是代数式的分母中不能含有字母。解题时先逐个排查给出的9个代数式，排除分母含字母的，再数剩余符合要求的代数式的个数即可。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式（数与字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式）和多项式（几个单项式的和）统称为整式，且整式的分母中不含有字母。
我们逐个判断每个代数式：
① $-\dfrac{1}{2}mn$ 是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
② $m$ 是单独的字母，属于单项式，是整式；
③ $\dfrac{1}{2}$ 是单独的数，属于单项式，是整式；
④ $\dfrac{b}{a}$ 分母含有字母$a$，不属于整式；
⑤ $2m + 1$ 是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑥ $\dfrac{x - y}{5}$ 可变形为$\dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{5}$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦ $\dfrac{2x + y}{x - y}$ 分母含有字母$x、y$，不属于整式；
⑧ $x^2 + 2x + \dfrac{2}{3}$ 是三个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑨ $y^3 - 5y + \dfrac{3}{y}$ 分母含有字母$y$，不属于整式。
综上，属于整式的有①②③⑤⑥⑧，共6个。
【答案】
6
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题关键是牢记“分母中含有字母的代数式不属于整式”这一核心判定要点，只要能准确区分整式和非整式即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
5 教材P92例2变式 用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)弟弟比哥哥小3岁，当哥哥x岁时，弟弟的年龄是
(2)a的3倍与b的平方的2倍的和为
(3) 数形结合思想 古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”，把一幅七巧板按如图所示的方式摆放，其中，部分构件的尺寸图中已标出，则图中“箭头”ABCDEFG的面积为
(1)弟弟比哥哥小3岁，当哥哥x岁时，弟弟的年龄是
$(x-3)$
岁.该多项式的项为$x,-3$
，次数为1
.(2)a的3倍与b的平方的2倍的和为
$3a+2b^2$
.该多项式的项为$3a,2b^2$
，次数为2
.(3) 数形结合思想 古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”，把一幅七巧板按如图所示的方式摆放，其中，部分构件的尺寸图中已标出，则图中“箭头”ABCDEFG的面积为
$\frac{a^2}{2}+2ab$
.该多项式的项为$\frac{a^2}{2},2ab$
，次数为2
.答案
5. (1) $(x-3)$ $x,-3$ 1 (2) $3a+2b^2$ $3a,2b^2$ 2
(3) $\frac{a^2}{2}+2ab$ $\frac{a^2}{2},2ab$ 2
(3) $\frac{a^2}{2}+2ab$ $\frac{a^2}{2},2ab$ 2
解析
【分析】
(1) 根据年龄差不变的关系，弟弟年龄=哥哥年龄-3，据此列出代数式；再结合多项式的项、次数的定义，确定对应的项和次数即可。
(2) 先分别表示出“a的3倍”和“b的平方的2倍”，再求和得到代数式，后续根据多项式相关定义判断项和次数。
(3) “箭头ABCDEFG”的面积由阴影等腰直角三角形和阴影平行四边形的面积两部分组成：先分别计算两部分的面积再求和得到总面积，再判断该多项式的项和次数即可。
【解析】
(1) 哥哥年龄为x岁，弟弟比哥哥小3岁，因此弟弟的年龄为$(x-3)$岁；该多项式由单项式$x$和$-3$组成，因此项为$x,-3$；最高次项为$x$，次数为1。
(2) a的3倍为$3a$，b的平方的2倍为$2b^2$，两者的和为$3a+2b^2$；该多项式由单项式$3a$和$2b^2$组成，因此项为$3a,2b^2$；最高次项为$2b^2$，次数为2。
(3) 阴影等腰直角三角形的直角边长为$a$，面积$S_1=\frac{1}{2}× a× a=\frac{a^2}{2}$；阴影平行四边形相邻两边长为$2a$和$b$，面积$S_2=2a× b=2ab$，因此总面积为$\frac{a^2}{2}+2ab$；该多项式由单项式$\frac{a^2}{2}$和$2ab$组成，因此项为$\frac{a^2}{2},2ab$；最高次项的次数为2，因此多项式次数为2。
【答案】
(1) $(x-3)$；$x,-3$；$1$
(2) $3a+2b^2$；$3a,2b^2$；$2$
(3) $\frac{a^2}{2}+2ab$；$\frac{a^2}{2},2ab$；$2$
【知识点】
列代数式，多项式的项，多项式的次数
【点评】
本题结合生活情境、数形结合思想考查多项式相关知识，既要求能准确根据题意或图形关系列出代数式，也需要熟练掌握多项式的项、次数的定义，侧重基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
(1) 根据年龄差不变的关系，弟弟年龄=哥哥年龄-3，据此列出代数式；再结合多项式的项、次数的定义，确定对应的项和次数即可。
(2) 先分别表示出“a的3倍”和“b的平方的2倍”，再求和得到代数式，后续根据多项式相关定义判断项和次数。
(3) “箭头ABCDEFG”的面积由阴影等腰直角三角形和阴影平行四边形的面积两部分组成：先分别计算两部分的面积再求和得到总面积，再判断该多项式的项和次数即可。
【解析】
(1) 哥哥年龄为x岁，弟弟比哥哥小3岁，因此弟弟的年龄为$(x-3)$岁；该多项式由单项式$x$和$-3$组成，因此项为$x,-3$；最高次项为$x$，次数为1。
(2) a的3倍为$3a$，b的平方的2倍为$2b^2$，两者的和为$3a+2b^2$；该多项式由单项式$3a$和$2b^2$组成，因此项为$3a,2b^2$；最高次项为$2b^2$，次数为2。
(3) 阴影等腰直角三角形的直角边长为$a$，面积$S_1=\frac{1}{2}× a× a=\frac{a^2}{2}$；阴影平行四边形相邻两边长为$2a$和$b$，面积$S_2=2a× b=2ab$，因此总面积为$\frac{a^2}{2}+2ab$；该多项式由单项式$\frac{a^2}{2}$和$2ab$组成，因此项为$\frac{a^2}{2},2ab$；最高次项的次数为2，因此多项式次数为2。
【答案】
(1) $(x-3)$；$x,-3$；$1$
(2) $3a+2b^2$；$3a,2b^2$；$2$
(3) $\frac{a^2}{2}+2ab$；$\frac{a^2}{2},2ab$；$2$
【知识点】
列代数式，多项式的项，多项式的次数
【点评】
本题结合生活情境、数形结合思想考查多项式相关知识，既要求能准确根据题意或图形关系列出代数式，也需要熟练掌握多项式的项、次数的定义，侧重基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
6 教材P100练习T4变式 某地居民的生活用水收费标准如下:每月用水量不超过12 m³,每立方米a元,超过的部分每立方米b元.若该地区某家庭上月的用水量为15 m³,则应缴水费
$(12a+3b)$
元,这是一个一
次二
项式.答案
6. $(12a+3b)$ 一 二
解析
【分析】
首先明确水费的分段计费规则：用水量不超过12m³时按单价a元收费，超过12m³的部分按单价b元收费。解题时第一步先判断给定用水量15m³超出了基准量12m³，因此总水费需分两部分计算：12m³以内的费用、超出12m³部分的费用，两部分相加即可得到总水费的代数式。再根据多项式的定义判断该式的次数和项数：多项式的项数是所含单项式的个数，多项式的次数是所有项中最高次项的次数，据此分析即可。
【解析】
1. 计算应缴水费：
已知上月用水量为15m³，$15＞12$，因此：
① 12m³以内的水费：$12 × a = 12a$（元）
② 超出12m³的水量：$15 - 12 = 3$（m³），超出部分水费：$3 × b = 3b$（元）
总水费为两部分之和：$12a + 3b$（元）
2. 判断多项式的次数和项数：
代数式$12a+3b$由$12a$和$3b$两个单项式组成，因此是二项式；
两个单项式的次数均为1（字母的指数均为1），最高次项的次数为1，因此是一次多项式。
综上，该式是一次二项式。
【答案】
$(12a+3b)$；一；二
【知识点】
分段计费、多项式的项、多项式的次数
【点评】
本题结合生活实际中的收费场景，既考查了列代数式的能力，又考查了多项式的基本概念，解题的关键是正确理解分段计费的规则，紧扣多项式次数和项数的定义进行判断。
【难度系数】
0.8
首先明确水费的分段计费规则：用水量不超过12m³时按单价a元收费，超过12m³的部分按单价b元收费。解题时第一步先判断给定用水量15m³超出了基准量12m³，因此总水费需分两部分计算：12m³以内的费用、超出12m³部分的费用，两部分相加即可得到总水费的代数式。再根据多项式的定义判断该式的次数和项数：多项式的项数是所含单项式的个数，多项式的次数是所有项中最高次项的次数，据此分析即可。
【解析】
1. 计算应缴水费：
已知上月用水量为15m³，$15＞12$，因此：
① 12m³以内的水费：$12 × a = 12a$（元）
② 超出12m³的水量：$15 - 12 = 3$（m³），超出部分水费：$3 × b = 3b$（元）
总水费为两部分之和：$12a + 3b$（元）
2. 判断多项式的次数和项数：
代数式$12a+3b$由$12a$和$3b$两个单项式组成，因此是二项式；
两个单项式的次数均为1（字母的指数均为1），最高次项的次数为1，因此是一次多项式。
综上，该式是一次二项式。
【答案】
$(12a+3b)$；一；二
【知识点】
分段计费、多项式的项、多项式的次数
【点评】
本题结合生活实际中的收费场景，既考查了列代数式的能力，又考查了多项式的基本概念，解题的关键是正确理解分段计费的规则，紧扣多项式次数和项数的定义进行判断。
【难度系数】
0.8
7 已知多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的次数是5，单项式$xy^{5-n}$的次数与这个多项式的二次项系数相同，则$m^n$的值为
$-8$
。答案
7. $-8$
解析
【分析】
解题时首先要明确三个核心概念：①多项式的次数是多项式中次数最高项的次数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；③多项式中某一项的系数是该项除字母外的常数部分。第一步先根据多项式的次数为5，列方程求出m的值；第二步找到多项式的二次项系数，再根据单项式次数与该系数相等的条件，列方程求出n的值；最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
1. 求m的值：
已知多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的次数是5，观察各项次数：
$xy^2$的次数为$1+2=3$，$3x^2$的次数为2，$-6$是常数项次数为0，因此最高次项为$2x^2y^{1-m}$，它的次数为5。
根据项的次数计算规则列方程：
$2+(1-m)=5$
解得：$m=-2$
2. 求n的值：
多项式的二次项为$3x^2$，其系数为3。
已知单项式$xy^{5-n}$的次数等于该二次项系数，即次数为3。
根据单项式次数计算规则列方程：
$1+(5-n)=3$
解得：$n=3$
3. 计算$m^n$：
$m^n=(-2)^3=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式的相关概念；单项式的相关概念；有理数的乘方
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心是准确理解多项式次数、单项式次数、项的系数的定义，按照定义列方程求解参数即可，计算乘方时要注意负数的奇次幂仍为负数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确三个核心概念：①多项式的次数是多项式中次数最高项的次数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；③多项式中某一项的系数是该项除字母外的常数部分。第一步先根据多项式的次数为5，列方程求出m的值；第二步找到多项式的二次项系数，再根据单项式次数与该系数相等的条件，列方程求出n的值；最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
1. 求m的值：
已知多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的次数是5，观察各项次数：
$xy^2$的次数为$1+2=3$，$3x^2$的次数为2，$-6$是常数项次数为0，因此最高次项为$2x^2y^{1-m}$，它的次数为5。
根据项的次数计算规则列方程：
$2+(1-m)=5$
解得：$m=-2$
2. 求n的值：
多项式的二次项为$3x^2$，其系数为3。
已知单项式$xy^{5-n}$的次数等于该二次项系数，即次数为3。
根据单项式次数计算规则列方程：
$1+(5-n)=3$
解得：$n=3$
3. 计算$m^n$：
$m^n=(-2)^3=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式的相关概念；单项式的相关概念；有理数的乘方
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心是准确理解多项式次数、单项式次数、项的系数的定义，按照定义列方程求解参数即可，计算乘方时要注意负数的奇次幂仍为负数。
【难度系数】
0.7
8（易错题）若多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m+2)x +7$是关于x的二次三项式，则$m=$
$2$
。答案
8. 2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合二次三项式的定义拆解条件：首先，“二次”说明多项式的最高次项的次数为2；其次，“三项式”说明多项式包含3个非零的项，我们需要分别根据这两个要求列出关于m的关系式，再求解得到m的取值。
【解析】
已知多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m+2)x +7$是关于x的二次三项式：
1. 由“二次”的要求可得：最高次项$x$的次数为2，即$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 由“三项式”的要求可得：多项式的三个项都不能为0，其中二次项系数$\frac{1}{2}≠0$，常数项$7≠0$，因此只需保证一次项系数不为0，即$-(m+2)≠0$，解得$m≠-2$。
结合上述两个结论，排除$m=-2$，可得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易只考虑“二次”的条件得到$m=±2$，忽略“三项式”要求下一次项系数不能为0的限制，求解这类多项式定义的题目时要同时满足次数和项数的全部约束条件。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要结合二次三项式的定义拆解条件：首先，“二次”说明多项式的最高次项的次数为2；其次，“三项式”说明多项式包含3个非零的项，我们需要分别根据这两个要求列出关于m的关系式，再求解得到m的取值。
【解析】
已知多项式$\frac{1}{2}x^{|m|} - (m+2)x +7$是关于x的二次三项式：
1. 由“二次”的要求可得：最高次项$x$的次数为2，即$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 由“三项式”的要求可得：多项式的三个项都不能为0，其中二次项系数$\frac{1}{2}≠0$，常数项$7≠0$，因此只需保证一次项系数不为0，即$-(m+2)≠0$，解得$m≠-2$。
结合上述两个结论，排除$m=-2$，可得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易只考虑“二次”的条件得到$m=±2$，忽略“三项式”要求下一次项系数不能为0的限制，求解这类多项式定义的题目时要同时满足次数和项数的全部约束条件。
【难度系数】
0.6
9 教材 P94 习题 T7 变式 某排球比赛的积分规则如下:比赛中以3－0(胜3局负0局)或者3－1取胜的球队积3分,负队积0分;比赛中以3－2取胜的球队积2分,负队积1分.若n(n是正整数,n＞1)支排球队进行单循环比赛(参赛的每两队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分的和为
$\frac{3n(n-1)}{2}$
分(用含n的代数式表示).答案
9. $\frac{3n(n-1)}{2}$
【解析】依题意,可得每支球队需与其他$(n-1)$支球队比赛一场,总共进行$\frac{n(n-1)}{2}$场比赛.因为每场比赛无论结果如何,积分总和都为3分,所以所有球队的总积分等于比赛场次乘每场比赛的积分总和,即$\frac{3n(n-1)}{2}$分.
【解析】依题意,可得每支球队需与其他$(n-1)$支球队比赛一场,总共进行$\frac{n(n-1)}{2}$场比赛.因为每场比赛无论结果如何,积分总和都为3分,所以所有球队的总积分等于比赛场次乘每场比赛的积分总和,即$\frac{3n(n-1)}{2}$分.
解析
【分析】
解题时首先要明确单循环比赛的总场次计算方法：n支球队参赛，每两队之间只赛1场，每队要赛(n-1)场，每场比赛对应2支球队，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$场。其次观察不同赛果的积分总和：3-0或3-1的比赛，胜队3分、负队0分，两队总积分为3分；3-2的比赛，胜队2分、负队1分，两队总积分也为3分，因此每场比赛的总积分固定为3分。最后用总场次乘每场的固定总积分，即可得到所有球队的总积分。
【解析】
解：n支球队进行单循环比赛，总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
对任意一场比赛：
①若比赛结果为3-0或3-1，两队积分和为$3+0=3$分；
②若比赛结果为3-2，两队积分和为$2+1=3$分。
因此每场比赛的积分总和恒为3分。
所有球队的总积分 = 总场次 × 每场积分和 = $\frac{n(n-1)}{2} × 3 = \frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
单循环场次计算，列代数式，整式实际应用
【点评】
本题结合体育比赛积分场景考查代数式的应用，解题的核心是发现“每场比赛总积分固定为3分”这一隐藏规律，无需分类讨论不同赛果即可快速计算，同时需熟练掌握单循环比赛的场次计算方法，是整式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确单循环比赛的总场次计算方法：n支球队参赛，每两队之间只赛1场，每队要赛(n-1)场，每场比赛对应2支球队，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$场。其次观察不同赛果的积分总和：3-0或3-1的比赛，胜队3分、负队0分，两队总积分为3分；3-2的比赛，胜队2分、负队1分，两队总积分也为3分，因此每场比赛的总积分固定为3分。最后用总场次乘每场的固定总积分，即可得到所有球队的总积分。
【解析】
解：n支球队进行单循环比赛，总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
对任意一场比赛：
①若比赛结果为3-0或3-1，两队积分和为$3+0=3$分；
②若比赛结果为3-2，两队积分和为$2+1=3$分。
因此每场比赛的积分总和恒为3分。
所有球队的总积分 = 总场次 × 每场积分和 = $\frac{n(n-1)}{2} × 3 = \frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
单循环场次计算，列代数式，整式实际应用
【点评】
本题结合体育比赛积分场景考查代数式的应用，解题的核心是发现“每场比赛总积分固定为3分”这一隐藏规律，无需分类讨论不同赛果即可快速计算，同时需熟练掌握单循环比赛的场次计算方法，是整式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
