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1. 一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100 m，那么他上升的最大高度是(
A.30 m
B.10 m
C.$30\sqrt{10}$ m
D.$10\sqrt{10}$ m
D
)A.30 m
B.10 m
C.$30\sqrt{10}$ m
D.$10\sqrt{10}$ m
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是铅直高度与水平宽度的比值。本题中沿公路前进的距离是直角三角形的斜边长度，我们可以设上升的最大高度为未知数，根据坡度表示出水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设他上升的最大高度为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 公路的坡度为1:3，即铅直高度与水平宽度的比为1:3，
∴ 他前进的水平宽度为$ 3x \, \mathrm{m} $。
沿公路前进的100m是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$ x^2 + (3x)^2 = 100^2 $
整理得：$ 10x^2 = 10000 $
解得：$ x = 10\sqrt{10} $（长度为正数，舍去负根）
因此上升的最大高度为$ 10\sqrt{10} \, \mathrm{m} $，故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 坡度的定义 2. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是正确理解坡度的概念，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是铅直高度与水平宽度的比值。本题中沿公路前进的距离是直角三角形的斜边长度，我们可以设上升的最大高度为未知数，根据坡度表示出水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设他上升的最大高度为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 公路的坡度为1:3，即铅直高度与水平宽度的比为1:3，
∴ 他前进的水平宽度为$ 3x \, \mathrm{m} $。
沿公路前进的100m是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$ x^2 + (3x)^2 = 100^2 $
整理得：$ 10x^2 = 10000 $
解得：$ x = 10\sqrt{10} $（长度为正数，舍去负根）
因此上升的最大高度为$ 10\sqrt{10} \, \mathrm{m} $，故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 坡度的定义 2. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是正确理解坡度的概念，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,坡角为$30°$的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m,则两树间的坡面距离AB为(
A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
C
)A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察图形可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=30°，水平距离AC是∠A的邻边，要求的坡面距离AB是斜边。根据锐角三角函数中余弦的定义，余弦值为邻边与斜边的比值，因此可通过余弦公式建立AC和AB的关系，代入已知数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2m。
根据余弦函数的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
变形得：$AB = \frac{AC}{\cos A}$
代入$AC=2m$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$AB = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；余弦函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题的核心是准确识别直角三角形中的边角对应关系，熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意完成分母有理化即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=30°，水平距离AC是∠A的邻边，要求的坡面距离AB是斜边。根据锐角三角函数中余弦的定义，余弦值为邻边与斜边的比值，因此可通过余弦公式建立AC和AB的关系，代入已知数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2m。
根据余弦函数的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
变形得：$AB = \frac{AC}{\cos A}$
代入$AC=2m$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$AB = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；余弦函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题的核心是准确识别直角三角形中的边角对应关系，熟练掌握特殊角的三角函数值，计算时注意完成分母有理化即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东$60°$的$500$ m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(
A.$250$ m
B.$250\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{500}{3}\sqrt{3}$ m
D.$250\sqrt{2}$ m
A
)A.$250$ m
B.$250\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{500}{3}\sqrt{3}$ m
D.$250\sqrt{2}$ m
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据方向角的定义确定角的度数：正北与正东方向夹角为90°，已知A在O的北偏东60°方向，可推出OA与正东方向OB的夹角∠AOB=90°-60°=30°；第二步，判断三角形形状：AB是水塔到东西走向公路的距离，因此AB⊥OB，△ABO为直角三角形，∠ABO=90°；第三步，利用特殊直角三角形的性质计算：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边OA长度已知，直接代入即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得：∠AOB = 90° - 60° = 30°，∠ABO = 90°，OA = 500 m。
在Rt△ABO中，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×500=250\ \mathrm{m}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角，直角三角形性质，含30°角直角三角形特征
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的实际应用，解题核心是通过方向角得到直角三角形的30°内角，再利用特殊直角三角形的性质求解边长，属于基础题，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据方向角的定义确定角的度数：正北与正东方向夹角为90°，已知A在O的北偏东60°方向，可推出OA与正东方向OB的夹角∠AOB=90°-60°=30°；第二步，判断三角形形状：AB是水塔到东西走向公路的距离，因此AB⊥OB，△ABO为直角三角形，∠ABO=90°；第三步，利用特殊直角三角形的性质计算：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边OA长度已知，直接代入即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得：∠AOB = 90° - 60° = 30°，∠ABO = 90°，OA = 500 m。
在Rt△ABO中，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×500=250\ \mathrm{m}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角，直角三角形性质，含30°角直角三角形特征
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的实际应用，解题核心是通过方向角得到直角三角形的30°内角，再利用特殊直角三角形的性质求解边长，属于基础题，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的中线.已知$CD=2,AC=3$,则$\sin B$的值是(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
D
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
4. D
5. 如果∠A是锐角，且$\sin A = \cos A$，那么∠A等于(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
B
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
5. B
解析
【分析】
首先审题明确已知条件：∠A是锐角，且sinA=cosA。解题可采用两种思路：一是直接回忆各特殊锐角的三角函数值，逐一对比选项中各角度的正弦、余弦值是否相等；二是利用锐角三角函数的互余关系：对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)，结合已知条件推导角度大小。解题时先排除不符合“锐角”条件的选项，再验证剩余选项即可。
【解析】
步骤1：明确锐角的范围为0°＜∠A＜90°，因此D选项90°不符合锐角要求，直接排除。
步骤2：回忆特殊角的三角函数值逐一验证：
A选项：sin30°=$\frac{1}{2}$，cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，二者不相等，不符合要求；
B选项：sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，二者相等，符合要求；
C选项：sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$，二者不相等，不符合要求。
也可通过互余关系推导：由锐角三角函数性质得sinA=cos(90°-A)，结合已知sinA=cosA，可得cos(90°-A)=cosA。因锐角范围内余弦函数随角度增大而减小，故90°-A=A，解得∠A=45°。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过记忆特殊角的三角函数值快速作答，也可以通过锐角三角函数的互余关系推导得出结果，核心是对特殊角三角函数值的熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先审题明确已知条件：∠A是锐角，且sinA=cosA。解题可采用两种思路：一是直接回忆各特殊锐角的三角函数值，逐一对比选项中各角度的正弦、余弦值是否相等；二是利用锐角三角函数的互余关系：对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)，结合已知条件推导角度大小。解题时先排除不符合“锐角”条件的选项，再验证剩余选项即可。
【解析】
步骤1：明确锐角的范围为0°＜∠A＜90°，因此D选项90°不符合锐角要求，直接排除。
步骤2：回忆特殊角的三角函数值逐一验证：
A选项：sin30°=$\frac{1}{2}$，cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，二者不相等，不符合要求；
B选项：sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，二者相等，符合要求；
C选项：sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$，二者不相等，不符合要求。
也可通过互余关系推导：由锐角三角函数性质得sinA=cos(90°-A)，结合已知sinA=cosA，可得cos(90°-A)=cosA。因锐角范围内余弦函数随角度增大而减小，故90°-A=A，解得∠A=45°。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过记忆特殊角的三角函数值快速作答，也可以通过锐角三角函数的互余关系推导得出结果，核心是对特殊角三角函数值的熟练掌握。
【难度系数】
0.8
6. 等腰三角形的一腰长为6 cm，底边长为$6\sqrt{3}$ cm，则其底角为(
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
A
)A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是等腰三角形角度计算问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点向底边作高，可将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，同时将底边平分；接下来在得到的直角三角形中，根据锐角三角函数的定义求出底角的余弦值，最后结合特殊角的三角函数值即可确定底角的度数。
【解析】
解：设等腰三角形为△ABC，AB=AC=6cm（腰长），BC=6√3 cm（底边长），过点A作AD⊥BC于点D。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分BC，因此：
$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB为斜边，BD是∠B的邻边，根据余弦的定义：
$\cos∠B = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BD}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为底角∠B为锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠B=30°，即该等腰三角形的底角为30°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握等腰三角形性质和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
本题是等腰三角形角度计算问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点向底边作高，可将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，同时将底边平分；接下来在得到的直角三角形中，根据锐角三角函数的定义求出底角的余弦值，最后结合特殊角的三角函数值即可确定底角的度数。
【解析】
解：设等腰三角形为△ABC，AB=AC=6cm（腰长），BC=6√3 cm（底边长），过点A作AD⊥BC于点D。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分BC，因此：
$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB为斜边，BD是∠B的邻边，根据余弦的定义：
$\cos∠B = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BD}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为底角∠B为锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠B=30°，即该等腰三角形的底角为30°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握等腰三角形性质和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
7. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为$60°$，则平行四边形的面积是(
A.150
B.$75\sqrt{3}$
C.9
D.7
B
)A.150
B.$75\sqrt{3}$
C.9
D.7
答案
7. B
解析
【分析】
要计算平行四边形的面积，首先回忆平行四边形的面积公式为“底×高”。题目已知平行四边形相邻两边的长度和夹角，我们可以将其中一边作为底，利用三角函数求出该底对应的高，再代入面积公式计算即可。
【解析】
平行四边形的面积公式为$ S = \mathrm{底} × \mathrm{高} $。
选取长度为15的边作为底，设该底对应的高为$ h $。
已知相邻两边夹角为$ 60° $，邻边长为10，由三角函数的定义可得：
$ h = 10 × \sin60° = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $
代入面积公式计算得：
$ S = 15 × 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} $
【答案】
B
【知识点】
平行四边形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平行四边形面积的计算方法，结合特殊角的三角函数值求解对应高，掌握相关基础公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要计算平行四边形的面积，首先回忆平行四边形的面积公式为“底×高”。题目已知平行四边形相邻两边的长度和夹角，我们可以将其中一边作为底，利用三角函数求出该底对应的高，再代入面积公式计算即可。
【解析】
平行四边形的面积公式为$ S = \mathrm{底} × \mathrm{高} $。
选取长度为15的边作为底，设该底对应的高为$ h $。
已知相邻两边夹角为$ 60° $，邻边长为10，由三角函数的定义可得：
$ h = 10 × \sin60° = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $
代入面积公式计算得：
$ S = 15 × 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} $
【答案】
B
【知识点】
平行四边形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平行四边形面积的计算方法，结合特殊角的三角函数值求解对应高，掌握相关基础公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8
8. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，下列等式中不成立的是(
A.$\tan B = \dfrac{b}{a}$
B.$\cos B = \dfrac{a}{c}$
C.$\sin A = \dfrac{a}{c}$
D.$\tan A = \dfrac{b}{a}$
D
)A.$\tan B = \dfrac{b}{a}$
B.$\cos B = \dfrac{a}{c}$
C.$\sin A = \dfrac{a}{c}$
D.$\tan A = \dfrac{b}{a}$
答案
8. D
解析
【分析】
要判断等式是否成立，核心是掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。首先明确各边与角的对应关系：在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，所以斜边为$c$，$∠A$的对边是$a$、邻边是$b$，$∠B$的对边是$b$、邻边是$a$。接下来逐个将选项中的三角函数按照“正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边”的定义写出表达式，和选项给出的式子对比即可找出不成立的选项。
【解析】
根据锐角三角函数的定义，对各选项逐一验证：
1. 验证选项A：$\tan B$是$∠B$的正切，等于$∠B$的对边比邻边，即$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，A成立，不符合题意。
2. 验证选项B：$\cos B$是$∠B$的余弦，等于$∠B$的邻边比斜边，即$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，B成立，不符合题意。
3. 验证选项C：$\sin A$是$∠A$的正弦，等于$∠A$的对边比斜边，即$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，C成立，不符合题意。
4. 验证选项D：$\tan A$是$∠A$的正切，等于$∠A$的对边比邻边，即$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}≠\frac{b}{a}$，D不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；直角三角形的边角关系
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边，避免混淆边角对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断等式是否成立，核心是掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。首先明确各边与角的对应关系：在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，所以斜边为$c$，$∠A$的对边是$a$、邻边是$b$，$∠B$的对边是$b$、邻边是$a$。接下来逐个将选项中的三角函数按照“正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边”的定义写出表达式，和选项给出的式子对比即可找出不成立的选项。
【解析】
根据锐角三角函数的定义，对各选项逐一验证：
1. 验证选项A：$\tan B$是$∠B$的正切，等于$∠B$的对边比邻边，即$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，A成立，不符合题意。
2. 验证选项B：$\cos B$是$∠B$的余弦，等于$∠B$的邻边比斜边，即$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，B成立，不符合题意。
3. 验证选项C：$\sin A$是$∠A$的正弦，等于$∠A$的对边比斜边，即$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，C成立，不符合题意。
4. 验证选项D：$\tan A$是$∠A$的正切，等于$∠A$的对边比邻边，即$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}≠\frac{b}{a}$，D不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；直角三角形的边角关系
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题的关键是准确区分每个锐角对应的对边、邻边，避免混淆边角对应关系。
【难度系数】
0.8
9. 如图，两条宽度均为40 m的公路相交所成的角为α，那么这两条公路在相交处的公共部分(
中阴影部分)的路面面积是(
A.$\dfrac{1600}{\sin α}\ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{1600}{\cos α}\ \mathrm{m}^2$
C.$1600\sin α\ \mathrm{m}^2$
D.$1600\cos α\ \mathrm{m}^2$
中阴影部分)的路面面积是(A
)A.$\dfrac{1600}{\sin α}\ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{1600}{\cos α}\ \mathrm{m}^2$
C.$1600\sin α\ \mathrm{m}^2$
D.$1600\cos α\ \mathrm{m}^2$
答案
9. A
解析
【分析】
首先观察阴影部分的形状，可判断为平行四边形，平行四边形的面积公式为“底×高”。已知两条公路的宽度均为40m，即平行四边形的高为40m，接下来需要求平行四边形的底边长。结合图中的角α，可利用锐角三角函数的定义，在由底、高和角α构成的直角三角形中，通过sinα的关系推导出底边长，最后代入面积公式即可求出结果。
【解析】
解：阴影部分为平行四边形，平行四边形的高等于公路宽度，即$h=40\ \mathrm{m}$。
设平行四边形的底边长为$x$，在底、高和角$α$构成的直角三角形中，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{h}{x}$
因此底边长$x=\frac{h}{\sinα}=\frac{40}{\sinα}\ \mathrm{m}$。
根据平行四边形面积公式：
$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}=x× h=\frac{40}{\sinα}×40=\frac{1600}{\sinα}\ \mathrm{m}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形面积计算
2. 锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中公路相交的实际场景，考查平行四边形面积与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是明确公路宽度对应平行四边形的高，再利用三角函数求出底边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
首先观察阴影部分的形状，可判断为平行四边形，平行四边形的面积公式为“底×高”。已知两条公路的宽度均为40m，即平行四边形的高为40m，接下来需要求平行四边形的底边长。结合图中的角α，可利用锐角三角函数的定义，在由底、高和角α构成的直角三角形中，通过sinα的关系推导出底边长，最后代入面积公式即可求出结果。
【解析】
解：阴影部分为平行四边形，平行四边形的高等于公路宽度，即$h=40\ \mathrm{m}$。
设平行四边形的底边长为$x$，在底、高和角$α$构成的直角三角形中，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{h}{x}$
因此底边长$x=\frac{h}{\sinα}=\frac{40}{\sinα}\ \mathrm{m}$。
根据平行四边形面积公式：
$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}=x× h=\frac{40}{\sinα}×40=\frac{1600}{\sinα}\ \mathrm{m}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形面积计算
2. 锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中公路相交的实际场景，考查平行四边形面积与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是明确公路宽度对应平行四边形的高，再利用三角函数求出底边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
10. 如图, 延长 $Rt△ ABC$ 斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD.若 $\tan∠ BCD=\frac{1}{3}$, 
则 $\tan A$ 等于(
A.$1$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
则 $\tan A$ 等于(
C
)A.$1$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
10. C
解析
【分析】
要求$\tan A$的值，需先明确$Rt△ ABC$中$∠ A$的对边$BC$和邻边$AC$的比值。已知$AB=BD$即$B$为$AD$中点，且给出了$∠ BCD$的正切值，我们可以通过作辅助线构造含$∠ BCD$的直角三角形，结合三角形中位线的性质建立$AC$、$BC$的数量关系，进而求出$\tan A$。具体思考路径：1. 过$B$作$BE// AC$交$CD$于$E$，利用$AC⊥ BC$可得$BE⊥ BC$，得到$Rt△ BCE$，此时可通过$\tan∠ BCD$得到$BE$和$BC$的比值；2. 由$B$是$AD$中点、$BE// AC$，可判定$BE$是$△ ACD$的中位线，得到$AC=2BE$；3. 将$AC$、$BC$用同一参数表示后代入$\tan A$的定义式计算即可。
【解析】
解：过点$B$作$BE// AC$，交$CD$于点$E$。
$\because Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，$BE// AC$，
$\therefore BE⊥ BC$，即$∠ CBE=90°$，$△ BCE$为直角三角形。
$\because AB=BD$，即$B$是$AD$的中点，且$BE// AC$，
$\therefore BE$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore AC=2BE$。
在$Rt△ BCE$中，$\tan∠ BCD=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
设$BE=k$，则$BC=3k$，
$\therefore AC=2k$。
在$Rt△ ACB$中，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，三角形中位线定理，平行线的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关计算，解题的关键是合理构造辅助线，将已知的正切值和所求的正切值通过中位线的线段关系联系起来，这类题是三角函数章节的常考题型，需要掌握常用辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
要求$\tan A$的值，需先明确$Rt△ ABC$中$∠ A$的对边$BC$和邻边$AC$的比值。已知$AB=BD$即$B$为$AD$中点，且给出了$∠ BCD$的正切值，我们可以通过作辅助线构造含$∠ BCD$的直角三角形，结合三角形中位线的性质建立$AC$、$BC$的数量关系，进而求出$\tan A$。具体思考路径：1. 过$B$作$BE// AC$交$CD$于$E$，利用$AC⊥ BC$可得$BE⊥ BC$，得到$Rt△ BCE$，此时可通过$\tan∠ BCD$得到$BE$和$BC$的比值；2. 由$B$是$AD$中点、$BE// AC$，可判定$BE$是$△ ACD$的中位线，得到$AC=2BE$；3. 将$AC$、$BC$用同一参数表示后代入$\tan A$的定义式计算即可。
【解析】
解：过点$B$作$BE// AC$，交$CD$于点$E$。
$\because Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，$BE// AC$，
$\therefore BE⊥ BC$，即$∠ CBE=90°$，$△ BCE$为直角三角形。
$\because AB=BD$，即$B$是$AD$的中点，且$BE// AC$，
$\therefore BE$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore AC=2BE$。
在$Rt△ BCE$中，$\tan∠ BCD=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
设$BE=k$，则$BC=3k$，
$\therefore AC=2k$。
在$Rt△ ACB$中，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，三角形中位线定理，平行线的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关计算，解题的关键是合理构造辅助线，将已知的正切值和所求的正切值通过中位线的线段关系联系起来，这类题是三角函数章节的常考题型，需要掌握常用辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
