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11. 已知α为锐角，且$\tanα = 2$，则$\dfrac{\sinα - \cosα}{\sinα + \cosα} =$
$\dfrac{1}{3}$
.答案
11. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
本题已知锐角α的正切值，要求含正弦、余弦的分式的值，解题思路如下：首先回忆同角三角函数的关系，$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，且α为锐角时$\cosα≠0$，因此可以利用分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$\cosα$，把分式转化为仅含$\tanα$的表达式，最后代入$\tanα=2$计算即可得到结果。
【解析】
∵α为锐角，
∴$\cosα≠0$
将$\dfrac{\sinα - \cosα}{\sinα + \cosα}$的分子、分母同时除以$\cosα$，可得：
$\dfrac{\sinα - \cosα}{\sinα + \cosα}=\dfrac{\dfrac{\sinα}{\cosα} - \dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{\sinα}{\cosα} + \dfrac{\cosα}{\cosα}}=\dfrac{\tanα - 1}{\tanα + 1}$
把$\tanα=2$代入上式：
原式$=\dfrac{2 - 1}{2 + 1}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
同角三角函数的基本关系，分式的基本性质
【点评】
本题是三角函数基础题型，解题核心是利用同角三角函数的商数关系，将含正弦、余弦的齐次分式转化为正切表达式简化计算，熟练掌握相关基本关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题已知锐角α的正切值，要求含正弦、余弦的分式的值，解题思路如下：首先回忆同角三角函数的关系，$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，且α为锐角时$\cosα≠0$，因此可以利用分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$\cosα$，把分式转化为仅含$\tanα$的表达式，最后代入$\tanα=2$计算即可得到结果。
【解析】
∵α为锐角，
∴$\cosα≠0$
将$\dfrac{\sinα - \cosα}{\sinα + \cosα}$的分子、分母同时除以$\cosα$，可得：
$\dfrac{\sinα - \cosα}{\sinα + \cosα}=\dfrac{\dfrac{\sinα}{\cosα} - \dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{\sinα}{\cosα} + \dfrac{\cosα}{\cosα}}=\dfrac{\tanα - 1}{\tanα + 1}$
把$\tanα=2$代入上式：
原式$=\dfrac{2 - 1}{2 + 1}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
同角三角函数的基本关系，分式的基本性质
【点评】
本题是三角函数基础题型，解题核心是利用同角三角函数的商数关系，将含正弦、余弦的齐次分式转化为正切表达式简化计算，熟练掌握相关基本关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在离铁塔BE水平距离120 m的A处,用测角仪测量塔顶的仰角为30°.已知测角仪高AD = 1.5 m,则塔高BE =
$40\sqrt{3} + 1.5$
m.(结果保留根号)答案
12. $40\sqrt{3} + 1.5$
解析
【分析】
这是一道仰角相关的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先过点A作BE的垂线，将塔高BE分为两段：一段是与测角仪等高的CE，另一段是直角三角形的直角边BC；构造出含30°仰角的直角三角形后，利用特殊角的三角函数值求出BC的长度，再加上CE的长度即可得到塔高BE。
【解析】
过点A作AC⊥BE，垂足为C。
∵四边形ADEC是矩形，
∴AC=DE=120 m，CE=AD=1.5 m。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
由三角函数的定义得：$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
∴$BC=AC·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}$ m，
∴$BE=BC+CE=40\sqrt{3}+1.5$ m。
【答案】
$40\sqrt{3} + 1.5$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题），矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为数学中的解直角三角形问题，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道仰角相关的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先过点A作BE的垂线，将塔高BE分为两段：一段是与测角仪等高的CE，另一段是直角三角形的直角边BC；构造出含30°仰角的直角三角形后，利用特殊角的三角函数值求出BC的长度，再加上CE的长度即可得到塔高BE。
【解析】
过点A作AC⊥BE，垂足为C。
∵四边形ADEC是矩形，
∴AC=DE=120 m，CE=AD=1.5 m。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
由三角函数的定义得：$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
∴$BC=AC·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}$ m，
∴$BE=BC+CE=40\sqrt{3}+1.5$ m。
【答案】
$40\sqrt{3} + 1.5$
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题），矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为数学中的解直角三角形问题，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.（2025上海中考）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当$∠ CAB=53°$时，门才能打开，那么BD的长为
1.2 m
.（参考数据：$\sin53°\approx0.8$，$\cos53°\approx0.6$，$\tan53°\approx1.33$，结果保留1位小数）答案
13. 1.2 m
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先过点C作CE垂直AB于点E，可证四边形CDBE是矩形，得到BD=CE、BE=CD的等量关系；其次计算出AE的长度，再在构造出的Rt△ACE中，利用53°角的正切值求出CE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
过点C作$CE⊥ AB$，垂足为E，
$\because CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，$CE⊥ AB$，
$\therefore$四边形CDBE是矩形，
$\therefore CE=BD$，$BE=CD=1.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=53°$，
由$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$可得：
$CE=AE·\tan53°\approx0.9×1.33\approx1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BD=CE\approx1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.2 m
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中利用三角函数关系求解，注重对基础建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先过点C作CE垂直AB于点E，可证四边形CDBE是矩形，得到BD=CE、BE=CD的等量关系；其次计算出AE的长度，再在构造出的Rt△ACE中，利用53°角的正切值求出CE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
过点C作$CE⊥ AB$，垂足为E，
$\because CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，$CE⊥ AB$，
$\therefore$四边形CDBE是矩形，
$\therefore CE=BD$，$BE=CD=1.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=53°$，
由$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$可得：
$CE=AE·\tan53°\approx0.9×1.33\approx1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BD=CE\approx1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.2 m
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中利用三角函数关系求解，注重对基础建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
14. 如图,小华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为$30°$,旗杆底部B点的俯角为$45°$.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离$BE = 9\ \mathrm{m}$,旗杆台阶高$1\ \mathrm{m}$,则旗杆顶点A离地面的高度为
$10 + 3\sqrt{3}$
$\mathrm{m}$.（结果保留根号）答案
14. $10 + 3\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形中仰角俯角的实际应用题，解题思路如下：首先过C点作CF垂直AB于F，构造出两个含特殊角的直角三角形，同时CF和水平距离BE相等，均为9m。先在含45°角的Rt△BCF中求出FB的长度，再在含30°角的Rt△ACF中求出AF的长度，两者相加得到AB的长度，最后加上旗杆台阶的1m高度，即可得到A点离地面的总高度。
【解析】
解：过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：CF=BE=9m，∠ACF=30°，∠BCF=45°。
① 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠BCF=45°
∴ $FB = CF · \tan45° = 9×1 = 9\ \mathrm{m}$
② 在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∠ACF=30°
∴ $AF = CF · \tan30° = 9×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AB = AF + FB = (9 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
∵ 旗杆台阶高1m，即B点距离地面高度为1m
∴ 旗杆顶点A离地面的高度为 $AB + 1 = 9 + 3\sqrt{3} + 1 = (10 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【答案】
$10 + 3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，直角三角形性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的角度和距离条件转化为直角三角形的边角关系计算，解题时需注意不要遗漏台阶高度的条件，避免漏加1m导致结果错误。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形中仰角俯角的实际应用题，解题思路如下：首先过C点作CF垂直AB于F，构造出两个含特殊角的直角三角形，同时CF和水平距离BE相等，均为9m。先在含45°角的Rt△BCF中求出FB的长度，再在含30°角的Rt△ACF中求出AF的长度，两者相加得到AB的长度，最后加上旗杆台阶的1m高度，即可得到A点离地面的总高度。
【解析】
解：过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：CF=BE=9m，∠ACF=30°，∠BCF=45°。
① 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠BCF=45°
∴ $FB = CF · \tan45° = 9×1 = 9\ \mathrm{m}$
② 在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∠ACF=30°
∴ $AF = CF · \tan30° = 9×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AB = AF + FB = (9 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
∵ 旗杆台阶高1m，即B点距离地面高度为1m
∴ 旗杆顶点A离地面的高度为 $AB + 1 = 9 + 3\sqrt{3} + 1 = (10 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【答案】
$10 + 3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，直角三角形性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的角度和距离条件转化为直角三角形的边角关系计算，解题时需注意不要遗漏台阶高度的条件，避免漏加1m导致结果错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共44分)
15. (14分)如图,在△ABC中,∠A = 30°,cos B = $\frac{4}{5}$,AC = $6\sqrt{3}$,求AB的长.
15. (14分)如图,在△ABC中,∠A = 30°,cos B = $\frac{4}{5}$,AC = $6\sqrt{3}$,求AB的长.
答案
15. $AB = 9 + 4\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是斜三角形求边长的问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将未知问题转化为熟悉的直角三角形求解问题。首先过点C作AB边上的高CD，将△ABC分为Rt△ACD和Rt△BCD两个直角三角形：第一步先在Rt△ACD中，利用30°角的直角三角形性质或锐角三角函数求出CD和AD的长度；第二步在Rt△BCD中，结合已知的cosB的值，通过勾股定理或三角函数求出BD的长度；最后AB的长度为AD与BD的和。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，即∠ADC=∠BDC=90°。
1. 在Rt△ACD中：
已知∠A=30°，AC=6√3，
∴ $CD = AC·\sin A = 6\sqrt{3} × \sin30° = 6\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos A = 6\sqrt{3} × \cos30° = 6\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$。
2. 在Rt△BCD中：
已知$\cos B = \frac{4}{5}$，设$BD=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∵ 已求得$CD=3\sqrt{3}$，
∴ $3k=3\sqrt{3}$，解得$k=\sqrt{3}$，
∴ $BD=4k=4\sqrt{3}$。
3. 计算AB的长度：
$AB = AD + BD = 9 + 4\sqrt{3}$。
【答案】
$AB = 9 + 4\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数应用；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是解三角形的常规题型，核心考查转化思想，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是解题的关键，要求学生熟练掌握锐角三角函数的定义和直角三角形的相关性质，难度适中，解题时注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形求边长的问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将未知问题转化为熟悉的直角三角形求解问题。首先过点C作AB边上的高CD，将△ABC分为Rt△ACD和Rt△BCD两个直角三角形：第一步先在Rt△ACD中，利用30°角的直角三角形性质或锐角三角函数求出CD和AD的长度；第二步在Rt△BCD中，结合已知的cosB的值，通过勾股定理或三角函数求出BD的长度；最后AB的长度为AD与BD的和。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，即∠ADC=∠BDC=90°。
1. 在Rt△ACD中：
已知∠A=30°，AC=6√3，
∴ $CD = AC·\sin A = 6\sqrt{3} × \sin30° = 6\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos A = 6\sqrt{3} × \cos30° = 6\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$。
2. 在Rt△BCD中：
已知$\cos B = \frac{4}{5}$，设$BD=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∵ 已求得$CD=3\sqrt{3}$，
∴ $3k=3\sqrt{3}$，解得$k=\sqrt{3}$，
∴ $BD=4k=4\sqrt{3}$。
3. 计算AB的长度：
$AB = AD + BD = 9 + 4\sqrt{3}$。
【答案】
$AB = 9 + 4\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数应用；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是解三角形的常规题型，核心考查转化思想，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是解题的关键，要求学生熟练掌握锐角三角函数的定义和直角三角形的相关性质，难度适中，解题时注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.7
16. (15分) 如图,以AB为直径作$\odot O$,过点A作$\odot O$的切线AC,连接BC,交$\odot O$于点D,点E是BC边的中点,连接AE.
(1) 求证:$∠ AEB = 2∠ C$.
(2) 若$AB = 6,\cos B = \frac{3}{5}$,求DE的长.
(1) 求证:$∠ AEB = 2∠ C$.
(2) 若$AB = 6,\cos B = \frac{3}{5}$,求DE的长.
答案
16. (1) 提示:证$AE = CE$,则$∠ C = ∠ EAC$. (2) $\dfrac{7}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠AEB=2∠C，首先根据切线的性质可得AC⊥AB，△BAC为直角三角形；再结合E是BC中点，利用直角三角形斜边中线的性质得到AE=CE，推出∠C=∠EAC，最后根据三角形外角的性质即可得到∠AEB与∠C的倍数关系。
(2) 要求DE的长，先连接AD，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°；分别在Rt△ABD和Rt△ABC中，根据cosB的定义求出BD、BC的长度，再结合E是BC中点求出BE的长度，最后通过线段的和差关系计算DE即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即$∠ BAC=90°$，
∵点E是BC的中点，
∴$AE=CE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴$∠ C=∠ EAC$，
∵$∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ EAC=2∠ C$，结论得证。
(2) 解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ ABD$、$△ ABC$均为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$AB=6$，$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$BC=AB÷\frac{3}{5}=6×\frac{5}{3}=10$，
∵E是BC中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=5$。
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BD=AB×\frac{3}{5}=6×\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$，
∴$DE=BE-BD=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\dfrac{7}{5}$
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质和直角三角形的相关定理，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合三角函数和线段和差关系求解，是圆相关的典型综合题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠AEB=2∠C，首先根据切线的性质可得AC⊥AB，△BAC为直角三角形；再结合E是BC中点，利用直角三角形斜边中线的性质得到AE=CE，推出∠C=∠EAC，最后根据三角形外角的性质即可得到∠AEB与∠C的倍数关系。
(2) 要求DE的长，先连接AD，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°；分别在Rt△ABD和Rt△ABC中，根据cosB的定义求出BD、BC的长度，再结合E是BC中点求出BE的长度，最后通过线段的和差关系计算DE即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即$∠ BAC=90°$，
∵点E是BC的中点，
∴$AE=CE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴$∠ C=∠ EAC$，
∵$∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴$∠ AEB=∠ C+∠ EAC=2∠ C$，结论得证。
(2) 解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$△ ABD$、$△ ABC$均为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$AB=6$，$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$BC=AB÷\frac{3}{5}=6×\frac{5}{3}=10$，
∵E是BC中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=5$。
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BD=AB×\frac{3}{5}=6×\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$，
∴$DE=BE-BD=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\dfrac{7}{5}$
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质和直角三角形的相关定理，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合三角函数和线段和差关系求解，是圆相关的典型综合题型。
【难度系数】
0.65
17.(15分)(2025山东烟台中考)【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图,一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行,小组同学收集到以下信息:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离.
(2)若不改变航行速度,请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
(参考数据:$\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75,\sin 14° \approx 0.24,\cos 14° \approx 0.97,\tan 14° \approx 0.25$)
如图,一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行,小组同学收集到以下信息:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离.
(2)若不改变航行速度,请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
(参考数据:$\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75,\sin 14° \approx 0.24,\cos 14° \approx 0.97,\tan 14° \approx 0.25$)
答案
最短距离15海里;(2) 能
解析
【分析】
（1）根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，过灯塔B向渔船的东西向航行路线作垂线，垂线段长度就是渔船到灯塔B的最短距离。设该垂线段长度为x海里，结合两次观测的方位角，利用锐角三角函数分别表示出两次观测点到垂足的距离，根据两个距离的差等于渔船在两个观测点之间航行的路程列方程，求解即可得到最短距离。
（2）先求出渔船当前观测点到码头A的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算航行到码头A所需的时间，将该时间与浓雾到来前的剩余时间比较，即可判断能否按时到达。
【解析】
解：（1）过点B作BH⊥AC，垂足为H，则BH的长度就是渔船航行过程中到灯塔B的最短距离。
设BH=x海里，由题意得：渔船从观测点C航行到观测点D的路程CD=10×4=40海里，∠BCH=37°，∠BDH=14°。
在Rt△BCH中，$\tan∠ BCH=\frac{BH}{CH}$，
∴$CH=\frac{BH}{\tan37°}\approx\frac{x}{0.75}=\frac{4x}{3}$，
在Rt△BDH中，$\tan∠ BDH=\frac{BH}{DH}$，
∴$DH=\frac{BH}{\tan14°}\approx\frac{x}{0.25}=4x$，
又
∵$DH - CH = CD$，
∴$4x - \frac{4x}{3} = 40$，
解得$x=15$，
即渔船到灯塔B的最短距离为15海里。
（2）经计算，渔船当前在D点到码头A的距离为28海里，
航行到码头A所需时间为：$28÷10=2.8$小时，
∵2.8小时小于浓雾到来前的剩余时间，
∴渔船能在浓雾到来前到达码头A。
【答案】
（1）渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；（2）能
【知识点】
解直角三角形的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题以实际航海场景为背景，考查解直角三角形的实际应用，需要学生熟练掌握锐角三角函数的用法，通过构造直角三角形建立方程求解，同时结合行程关系判断实际问题，兼顾了对知识运用能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.65
（1）根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，过灯塔B向渔船的东西向航行路线作垂线，垂线段长度就是渔船到灯塔B的最短距离。设该垂线段长度为x海里，结合两次观测的方位角，利用锐角三角函数分别表示出两次观测点到垂足的距离，根据两个距离的差等于渔船在两个观测点之间航行的路程列方程，求解即可得到最短距离。
（2）先求出渔船当前观测点到码头A的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算航行到码头A所需的时间，将该时间与浓雾到来前的剩余时间比较，即可判断能否按时到达。
【解析】
解：（1）过点B作BH⊥AC，垂足为H，则BH的长度就是渔船航行过程中到灯塔B的最短距离。
设BH=x海里，由题意得：渔船从观测点C航行到观测点D的路程CD=10×4=40海里，∠BCH=37°，∠BDH=14°。
在Rt△BCH中，$\tan∠ BCH=\frac{BH}{CH}$，
∴$CH=\frac{BH}{\tan37°}\approx\frac{x}{0.75}=\frac{4x}{3}$，
在Rt△BDH中，$\tan∠ BDH=\frac{BH}{DH}$，
∴$DH=\frac{BH}{\tan14°}\approx\frac{x}{0.25}=4x$，
又
∵$DH - CH = CD$，
∴$4x - \frac{4x}{3} = 40$，
解得$x=15$，
即渔船到灯塔B的最短距离为15海里。
（2）经计算，渔船当前在D点到码头A的距离为28海里，
航行到码头A所需时间为：$28÷10=2.8$小时，
∵2.8小时小于浓雾到来前的剩余时间，
∴渔船能在浓雾到来前到达码头A。
【答案】
（1）渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；（2）能
【知识点】
解直角三角形的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题以实际航海场景为背景，考查解直角三角形的实际应用，需要学生熟练掌握锐角三角函数的用法，通过构造直角三角形建立方程求解，同时结合行程关系判断实际问题，兼顾了对知识运用能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.65
