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18. 在一次数学实践课上,老师出了这样一道题:如图 1,在锐角 △ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边长分别是 a,b,c,请用 a,c,∠B 表示 $ b^2 $.
(1) 甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏 ∠B,因此可以过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D,如图2所示;乙同学认为要想得到 $ b^2 $,便要利用 $ \mathrm{Rt}△ABD $ 或 $ \mathrm{Rt}△ACD $;丙同学认为要先求出 AD =
(2) 请利用丁同学的结论解决下面的问题:如图 3,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,∠A ＜ 90°,AB = 5,AD = 4,BD = $ \sqrt{21} $. 求 ∠A 的度数,BC 的长度.
(1) 甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏 ∠B,因此可以过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D,如图2所示;乙同学认为要想得到 $ b^2 $,便要利用 $ \mathrm{Rt}△ABD $ 或 $ \mathrm{Rt}△ACD $;丙同学认为要先求出 AD =
$c · \sin B$
,BD = $c · \cos B$
(用含 c,∠B 的三角函数表示);丁同学顺着他们的思路,求出 $ b^2 = AD^2 + DC^2 = $ $a^2 + c^2 - 2ac · \cos B$
(提示: $ \sin^2α + \cos^2α = 1 $,用含 a,c,∠B 的三角函数表示).(2) 请利用丁同学的结论解决下面的问题:如图 3,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,∠A ＜ 90°,AB = 5,AD = 4,BD = $ \sqrt{21} $. 求 ∠A 的度数,BC 的长度.
答案
18. (1)$c · \sin B$ $c · \cos B$ $a^2 + c^2 - 2ac · \cos B$;(2) $∠A = 60°,BC = \sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：将锐角三角形通过作高转化为直角三角形求解。过点A作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中根据三角函数定义用c、∠B表示AD、BD的长度，再得到DC的长度，最后在Rt△ADC中用勾股定理展开，结合$\sin^2B+\cos^2B=1$化简即可得到$b^2$的表达式。
(2) 解题思路：先将△ABD的边长代入(1)的结论，求出$\cos∠ A$的值即可得到∠A的度数；再根据两个直角判断四点共圆，利用同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，用面积法求出$\sin∠ ADB$的值，进而在Rt△ABC中求出AC的长度，最后用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$AB=c$：
根据三角函数定义，$\sin B=\frac{AD}{AB}$，因此$AD=c·\sin B$；
$\cos B=\frac{BD}{AB}$，因此$BD=c·\cos B$。
则$DC=BC-BD=a-c·\cos B$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}b^2&=AD^2+DC^2\\&=(c·\sin B)^2+(a-c·\cos B)^2\\&=c^2\sin^2B+a^2-2ac\cos B+c^2\cos^2B\\&=a^2+c^2(\sin^2B+\cos^2B)-2ac\cos B\end{aligned}$
结合$\sin^2B+\cos^2B=1$，化简得$b^2=a^2+c^2-2ac·\cos B$。
(2) ① 求∠A的度数：
在△ABD中，$AB=5$，$AD=4$，$BD=\sqrt{21}$，代入(1)的结论得：
$BD^2=AB^2+AD^2-2· AB· AD·\cos∠ A$
代入数值：
$(\sqrt{21})^2=5^2+4^2-2×5×4×\cos∠ A$
计算整理得：$21=41-40\cos∠ A$，解得$\cos∠ A=\frac{1}{2}$。
∵ ∠A是锐角，
∴ $∠ A=60°$。
② 求BC的长度：
∵ $∠ ABC=∠ ADC=90°$，
∴ 点A、B、C、D在以AC为直径的圆上，
∴ $∠ ADB=∠ ACB$（同弧AB所对的圆周角相等）。
过点B作$BE⊥ AD$于点E，
△ABD的面积$S=\frac{1}{2}· AB· AD·\sin∠ A=\frac{1}{2}×5×4×\sin60°=5\sqrt{3}$，
同时$S=\frac{1}{2}· AD· BE$，代入$AD=4$得：$\frac{1}{2}×4× BE=5\sqrt{3}$，解得$BE=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△BED中，$\sin∠ ADB=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，即$\sin∠ ACB=\frac{5\sqrt{7}}{14}$。
在Rt△ABC中，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，因此$AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{14}}=2\sqrt{7}$。
由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，代入数值：
$5^2+BC^2=(2\sqrt{7})^2$
解得$BC^2=3$，
∵ BC为边长，
∴ $BC=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $c·\sin B$；$c·\cos B$；$a^2 + c^2 - 2ac·\cos B$
(2) $∠ A=60°$，$BC=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；圆周角定理
【点评】
本题是解三角形的综合题，第一问通过作高转化的方法推导得到余弦定理的表达式，考察了转化思想和公式化简能力；第二问需要灵活迁移第一问的结论，结合圆的性质求解，对知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：将锐角三角形通过作高转化为直角三角形求解。过点A作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中根据三角函数定义用c、∠B表示AD、BD的长度，再得到DC的长度，最后在Rt△ADC中用勾股定理展开，结合$\sin^2B+\cos^2B=1$化简即可得到$b^2$的表达式。
(2) 解题思路：先将△ABD的边长代入(1)的结论，求出$\cos∠ A$的值即可得到∠A的度数；再根据两个直角判断四点共圆，利用同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，用面积法求出$\sin∠ ADB$的值，进而在Rt△ABC中求出AC的长度，最后用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，$AB=c$：
根据三角函数定义，$\sin B=\frac{AD}{AB}$，因此$AD=c·\sin B$；
$\cos B=\frac{BD}{AB}$，因此$BD=c·\cos B$。
则$DC=BC-BD=a-c·\cos B$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$\begin{aligned}b^2&=AD^2+DC^2\\&=(c·\sin B)^2+(a-c·\cos B)^2\\&=c^2\sin^2B+a^2-2ac\cos B+c^2\cos^2B\\&=a^2+c^2(\sin^2B+\cos^2B)-2ac\cos B\end{aligned}$
结合$\sin^2B+\cos^2B=1$，化简得$b^2=a^2+c^2-2ac·\cos B$。
(2) ① 求∠A的度数：
在△ABD中，$AB=5$，$AD=4$，$BD=\sqrt{21}$，代入(1)的结论得：
$BD^2=AB^2+AD^2-2· AB· AD·\cos∠ A$
代入数值：
$(\sqrt{21})^2=5^2+4^2-2×5×4×\cos∠ A$
计算整理得：$21=41-40\cos∠ A$，解得$\cos∠ A=\frac{1}{2}$。
∵ ∠A是锐角，
∴ $∠ A=60°$。
② 求BC的长度：
∵ $∠ ABC=∠ ADC=90°$，
∴ 点A、B、C、D在以AC为直径的圆上，
∴ $∠ ADB=∠ ACB$（同弧AB所对的圆周角相等）。
过点B作$BE⊥ AD$于点E，
△ABD的面积$S=\frac{1}{2}· AB· AD·\sin∠ A=\frac{1}{2}×5×4×\sin60°=5\sqrt{3}$，
同时$S=\frac{1}{2}· AD· BE$，代入$AD=4$得：$\frac{1}{2}×4× BE=5\sqrt{3}$，解得$BE=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△BED中，$\sin∠ ADB=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，即$\sin∠ ACB=\frac{5\sqrt{7}}{14}$。
在Rt△ABC中，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，因此$AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{14}}=2\sqrt{7}$。
由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，代入数值：
$5^2+BC^2=(2\sqrt{7})^2$
解得$BC^2=3$，
∵ BC为边长，
∴ $BC=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $c·\sin B$；$c·\cos B$；$a^2 + c^2 - 2ac·\cos B$
(2) $∠ A=60°$，$BC=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；圆周角定理
【点评】
本题是解三角形的综合题，第一问通过作高转化的方法推导得到余弦定理的表达式，考察了转化思想和公式化简能力；第二问需要灵活迁移第一问的结论，结合圆的性质求解，对知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
