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17. 如图,已知一条东西走向的河流,在河流对岸有一点A,小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东$30°$方向上,小明沿河岸向东走80 m后到达点C,测得点A在点C的北偏西$60°$方向上,则点A到河岸BC的距离为
$20\sqrt{3}$
m.答案
17. $20\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算点A到河岸BC的距离，可过点A作AD⊥BC于点D，AD即为所求距离。首先根据方向角的定义求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，确定△ABC为直角三角形，再结合已知的BC长度，先求出AB的边长，最后在Rt△ABD中利用三角函数即可求出AD的长度；也可通过AD表示BD、CD的长度，结合BD+CD=80m列方程求解。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长就是点A到河岸BC的距离。
由题意得：$∠ ABC=90°-30°=60°$，$∠ ACB=90°-60°=30°$，
∴$∠ BAC=180°-60°-30°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
∵$BC=80\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC·\cos∠ ABC=80×\cos60°=80×\frac{1}{2}=40\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=AB·\sin∠ ABC=40×\sin60°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；方向角；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是根据方向角准确得到三角形的内角度数，通过作垂线构造直角三角形，结合三角函数的性质即可求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算点A到河岸BC的距离，可过点A作AD⊥BC于点D，AD即为所求距离。首先根据方向角的定义求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，确定△ABC为直角三角形，再结合已知的BC长度，先求出AB的边长，最后在Rt△ABD中利用三角函数即可求出AD的长度；也可通过AD表示BD、CD的长度，结合BD+CD=80m列方程求解。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长就是点A到河岸BC的距离。
由题意得：$∠ ABC=90°-30°=60°$，$∠ ACB=90°-60°=30°$，
∴$∠ BAC=180°-60°-30°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
∵$BC=80\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC·\cos∠ ABC=80×\cos60°=80×\frac{1}{2}=40\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=AB·\sin∠ ABC=40×\sin60°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；方向角；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是根据方向角准确得到三角形的内角度数，通过作垂线构造直角三角形，结合三角函数的性质即可求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
18. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A - ∠ B = 30°$，$a - b = \sqrt{3} - 1$，解这个直角三角形。
答案
18. $∠A = 60°, ∠B = 30°, b = 1, a = \sqrt{3}, c = 2.$
解析
【分析】
要解这个直角三角形，需先求两个锐角的度数，再求三边长度。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠A-∠B=30°，可通过联立方程求出∠A、∠B的度数；再根据特殊角的三角函数值得到边a与b的数量关系，代入已知的a-b=√3-1即可求出a、b的长度，最后利用直角三角形的边角关系或勾股定理求出斜边c的长度。
【解析】
1. 求锐角的度数：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 90° ①
又已知∠A - ∠B = 30° ②
①+②得：2∠A = 120°，解得∠A=60°
将∠A=60°代入①得：∠B=90°-60°=30°
2. 求三边的长度：
由tanA = $\frac{a}{b}$，∠A=60°，得tan60°=√3 = $\frac{a}{b}$，即a = √3 b
将a = √3 b代入a - b = √3 - 1，得：
√3 b - b = √3 - 1
提取公因式得：b(√3 - 1) = √3 - 1
解得b=1
∴ a = √3 × 1 = √3
利用30°角的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，∠B=30°对边为b=1，故c=2b=2（或用勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$）
【答案】
∠A = 60°, ∠B = 30°, b = 1, a = √3, c = 2
【知识点】
直角三角形内角性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，将直角三角形的角的关系、边角关系结合考查，解题时遵循先求角度再求边长的顺序即可顺利解答，需牢记特殊角的三角函数值和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.75
要解这个直角三角形，需先求两个锐角的度数，再求三边长度。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠A-∠B=30°，可通过联立方程求出∠A、∠B的度数；再根据特殊角的三角函数值得到边a与b的数量关系，代入已知的a-b=√3-1即可求出a、b的长度，最后利用直角三角形的边角关系或勾股定理求出斜边c的长度。
【解析】
1. 求锐角的度数：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 90° ①
又已知∠A - ∠B = 30° ②
①+②得：2∠A = 120°，解得∠A=60°
将∠A=60°代入①得：∠B=90°-60°=30°
2. 求三边的长度：
由tanA = $\frac{a}{b}$，∠A=60°，得tan60°=√3 = $\frac{a}{b}$，即a = √3 b
将a = √3 b代入a - b = √3 - 1，得：
√3 b - b = √3 - 1
提取公因式得：b(√3 - 1) = √3 - 1
解得b=1
∴ a = √3 × 1 = √3
利用30°角的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，∠B=30°对边为b=1，故c=2b=2（或用勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$）
【答案】
∠A = 60°, ∠B = 30°, b = 1, a = √3, c = 2
【知识点】
直角三角形内角性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，将直角三角形的角的关系、边角关系结合考查，解题时遵循先求角度再求边长的顺序即可顺利解答，需牢记特殊角的三角函数值和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.75
19. 在 $△ ABC$ 中，$AB = \sqrt{6}, BC = \sqrt{3} + 1$，$∠ B = 45°$，求 $AC, ∠ A, ∠ C$ 的值.
答案
$AC = 2, ∠A = 75°, ∠C = 60°.$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求边AC：已知AB、BC两条边的长度以及它们的夹角∠B，符合余弦定理的使用条件，可直接代入余弦定理公式计算AC的长度；2. 求角∠A和∠C：求出AC后，已知三角形三边长度和一个内角，可通过正弦定理求角的正弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形大边对大角的关系确定角度大小，最后可用三角形内角和为180°验证结果。
【解析】
解：
1. 求AC的长度
根据余弦定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2· AB· BC· \cos B$
代入已知条件$AB=\sqrt{6}, BC=\sqrt{3}+1, ∠ B=45°, \cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$：
$AB^2=(\sqrt{6})^2=6$
$BC^2=(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$
$2· AB· BC· \cos B=2×\sqrt{6}×(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{12}×(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=6+2\sqrt{3}$
因此$AC^2=6 + 4+2\sqrt{3} - (6+2\sqrt{3})=4$，得$AC=2$（边长为正，舍去负根）。
2. 求$∠ A$的大小
根据正弦定理：$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$
变形得$\sin A=\frac{BC· \sin B}{AC}$
代入数值：$\sin A=\frac{(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$是$\sin75°$的值，且BC是三角形最长边，对应角$∠ A$为锐角，因此$∠ A=75°$。
3. 求$∠ C$的大小
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B=180° -75° -45°=60°$
【答案】
$AC = 2, ∠A = 75°, ∠C = 60°$
【知识点】
余弦定理、正弦定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是解三角形的基础题型，需要准确掌握正、余弦定理的适用场景，同时要熟练进行二次根式运算，牢记特殊角的三角函数值，计算时注意边角对应关系避免角度判断错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求边AC：已知AB、BC两条边的长度以及它们的夹角∠B，符合余弦定理的使用条件，可直接代入余弦定理公式计算AC的长度；2. 求角∠A和∠C：求出AC后，已知三角形三边长度和一个内角，可通过正弦定理求角的正弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形大边对大角的关系确定角度大小，最后可用三角形内角和为180°验证结果。
【解析】
解：
1. 求AC的长度
根据余弦定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2· AB· BC· \cos B$
代入已知条件$AB=\sqrt{6}, BC=\sqrt{3}+1, ∠ B=45°, \cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$：
$AB^2=(\sqrt{6})^2=6$
$BC^2=(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$
$2· AB· BC· \cos B=2×\sqrt{6}×(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{12}×(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=6+2\sqrt{3}$
因此$AC^2=6 + 4+2\sqrt{3} - (6+2\sqrt{3})=4$，得$AC=2$（边长为正，舍去负根）。
2. 求$∠ A$的大小
根据正弦定理：$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$
变形得$\sin A=\frac{BC· \sin B}{AC}$
代入数值：$\sin A=\frac{(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$是$\sin75°$的值，且BC是三角形最长边，对应角$∠ A$为锐角，因此$∠ A=75°$。
3. 求$∠ C$的大小
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B=180° -75° -45°=60°$
【答案】
$AC = 2, ∠A = 75°, ∠C = 60°$
【知识点】
余弦定理、正弦定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是解三角形的基础题型，需要准确掌握正、余弦定理的适用场景，同时要熟练进行二次根式运算，牢记特殊角的三角函数值，计算时注意边角对应关系避免角度判断错误。
【难度系数】
0.7
20. (2025河北保定二模)5G时代,万物互联,互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合,助力数字经济发展,共建智慧生活. 如图,某移动公司为了提升网络信号,在坡度$i = 1:2.4$（即$DB:AB = 1:2.4$）的山坡AD上加装了信号塔PQ,且PQ垂直于水平线于H,信号塔底端Q到坡底A的距离为13米. 当太阳光线与水平线所成的夹角为$53°$时,信号塔顶端P的影子落在警示牌MN上的点E处,且$AM = 8$米,$ME = 9$米.
(1)$∠ PEN = $
(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米.
(参考数据:$\sin 53° \approx 0.8,\cos 53° \approx 0.6,\tan 53° \approx 1.3$)
(1)$∠ PEN = $
37
°.(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米.
(参考数据:$\sin 53° \approx 0.8,\cos 53° \approx 0.6,\tan 53° \approx 1.3$)
答案
20. (1) $∠PEN = 37°$;(2) PQ 的高度大约为 30 米.
解析
【分析】
(1) 已知太阳光线与水平线的夹角为$53°$，警示牌$MN$垂直于水平线，说明$EN$是竖直方向，与水平线互相垂直，因此太阳光线$PE$与$EN$的夹角和它与水平线的夹角互余，直接计算即可得到$∠ PEN$的度数。
(2) 首先根据山坡$AD$的坡度和$QA$的长度，利用勾股定理求出$Q$点到水平线的竖直高度$QH$，以及$H$到$A$的水平距离$HA$；再过$E$作$EF$垂直$PH$于$F$，构造直角三角形$PEF$，先求出水平线段$EF$的长度，再利用$53°$的正切值求出$PF$的长度，最后结合$ME$的高度求出$PH$的总高度，用$PH$减去$QH$即可得到$PQ$的高度。
【解析】
(1) $\because$太阳光线与水平线夹角为$53°$，$MN⊥$水平线，即$EN$为竖直方向，与水平线垂直，
$\therefore ∠ PEN = 90° - 53° = 37°$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ PH$于点$F$，则四边形$EFMH$为矩形。
$\because$山坡$AD$的坡度$i=1:2.4=5:12$，$QA=13$米，
设$Q$到$A$的竖直高度为$5k$米，水平距离为$12k$米，
由勾股定理得：$(5k)^2+(12k)^2=13^2$，解得$k=1$，
$\therefore QH=5$米，$HA=12$米。
由矩形性质得：$EF=HM=HA+AM=12+8=20$米，$FH=ME=9$米。
在$\mathrm{Rt}△ PEF$中，$∠ PEF=53°$，
$\tan53°=\frac{PF}{EF}$，
$\therefore PF=EF·\tan53°\approx20×1.3=26$米，
$\therefore PH=PF+FH=26+9=35$米，
$\therefore PQ=PH-QH=35-5=30$米。
【答案】
(1) $\boxed{37}$；(2) 信号塔$PQ$的高度大约为$\boxed{30}$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关应用，解题关键是合理构造直角三角形，将实际问题转化为几何线段长度求解问题，熟练掌握坡度的含义和特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.65
(1) 已知太阳光线与水平线的夹角为$53°$，警示牌$MN$垂直于水平线，说明$EN$是竖直方向，与水平线互相垂直，因此太阳光线$PE$与$EN$的夹角和它与水平线的夹角互余，直接计算即可得到$∠ PEN$的度数。
(2) 首先根据山坡$AD$的坡度和$QA$的长度，利用勾股定理求出$Q$点到水平线的竖直高度$QH$，以及$H$到$A$的水平距离$HA$；再过$E$作$EF$垂直$PH$于$F$，构造直角三角形$PEF$，先求出水平线段$EF$的长度，再利用$53°$的正切值求出$PF$的长度，最后结合$ME$的高度求出$PH$的总高度，用$PH$减去$QH$即可得到$PQ$的高度。
【解析】
(1) $\because$太阳光线与水平线夹角为$53°$，$MN⊥$水平线，即$EN$为竖直方向，与水平线垂直，
$\therefore ∠ PEN = 90° - 53° = 37°$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ PH$于点$F$，则四边形$EFMH$为矩形。
$\because$山坡$AD$的坡度$i=1:2.4=5:12$，$QA=13$米，
设$Q$到$A$的竖直高度为$5k$米，水平距离为$12k$米，
由勾股定理得：$(5k)^2+(12k)^2=13^2$，解得$k=1$，
$\therefore QH=5$米，$HA=12$米。
由矩形性质得：$EF=HM=HA+AM=12+8=20$米，$FH=ME=9$米。
在$\mathrm{Rt}△ PEF$中，$∠ PEF=53°$，
$\tan53°=\frac{PF}{EF}$，
$\therefore PF=EF·\tan53°\approx20×1.3=26$米，
$\therefore PH=PF+FH=26+9=35$米，
$\therefore PQ=PH-QH=35-5=30$米。
【答案】
(1) $\boxed{37}$；(2) 信号塔$PQ$的高度大约为$\boxed{30}$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关应用，解题关键是合理构造直角三角形，将实际问题转化为几何线段长度求解问题，熟练掌握坡度的含义和特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.65
