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2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°, BC: AC = \sqrt{3}: 1$，则$\sin A, \cos A, \tan A$的值分别为（
A.$\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3}$
D
）A.$\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题已知直角三角形两条直角边的比例，求指定锐角的三角函数值。解题思路如下：① 锐角三角函数值是边长的比值，与边长具体大小无关，可通过设参数的方法表示各边长度；② 明确∠A的对边为BC、邻边为AC，斜边为AB，结合已知的BC与AC的比例设出两条直角边的长度；③ 用勾股定理求出斜边长度；④ 分别代入正弦、余弦、正切的定义式计算，匹配选项即可。
【解析】
解：设$AC = k$（$k＞0$），
∵ $BC:AC = \sqrt{3}:1$，
∴ $BC = \sqrt{3}k$，
∵ $∠C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{k^2 + (\sqrt{3}k)^2} = \sqrt{4k^2} = 2k$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{k} = \sqrt{3}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；比例设参法
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系，不要混淆对边与邻边。设参数求边长的方法在解决比例类的几何计算问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题已知直角三角形两条直角边的比例，求指定锐角的三角函数值。解题思路如下：① 锐角三角函数值是边长的比值，与边长具体大小无关，可通过设参数的方法表示各边长度；② 明确∠A的对边为BC、邻边为AC，斜边为AB，结合已知的BC与AC的比例设出两条直角边的长度；③ 用勾股定理求出斜边长度；④ 分别代入正弦、余弦、正切的定义式计算，匹配选项即可。
【解析】
解：设$AC = k$（$k＞0$），
∵ $BC:AC = \sqrt{3}:1$，
∴ $BC = \sqrt{3}k$，
∵ $∠C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{k^2 + (\sqrt{3}k)^2} = \sqrt{4k^2} = 2k$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，
$\tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{k} = \sqrt{3}$，
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；比例设参法
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是熟练掌握各三角函数对应的边的比例关系，不要混淆对边与邻边。设参数求边长的方法在解决比例类的几何计算问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 下列不等关系成立的是(
A.$\cos 60° ＜ \sin 45° ＜ \tan 30°$
B.$\cos 30° ＜ \sin 45° ＜ \tan 30°$
C.$\tan 30° ＜ \cos 45° ＜ \sin 60°$
D.$\tan 60° ＜ \tan 45° ＜ \cos 60°$
C
)A.$\cos 60° ＜ \sin 45° ＜ \tan 30°$
B.$\cos 30° ＜ \sin 45° ＜ \tan 30°$
C.$\tan 30° ＜ \cos 45° ＜ \sin 60°$
D.$\tan 60° ＜ \tan 45° ＜ \cos 60°$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°、45°、60°这三个特殊锐角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将每个选项中涉及的三角函数值换算为具体数值（或统一为根式形式通分比较）；第三步，逐一验证每个选项的不等关系是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\cos30°=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
逐一验证选项：
A选项：$\cos60°≈0.5$，$\sin45°≈0.707$，$\tan30°≈0.577$，正确排序应为$\cos60°＜\tan30°＜\sin45°$，A错误；
B选项：$\cos30°≈0.866$，$\sin45°≈0.707$，$\tan30°≈0.577$，正确排序应为$\tan30°＜\sin45°＜\cos30°$，B错误；
C选项：$\tan30°≈0.577$，$\cos45°≈0.707$，$\sin60°≈0.866$，不等关系$\tan30°＜\cos45°＜\sin60°$成立，C正确；
D选项：$\tan60°≈1.732$，$\tan45°=1$，$\cos60°=0.5$，正确排序应为$\cos60°＜\tan45°＜\tan60°$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对常见特殊锐角三角函数值的记忆准确度，只要熟练掌握30°、45°、60°角的三类三角函数值，通过简单计算比较即可快速得出答案，学习中要注意区分不同角度、不同类型的三角函数值，避免混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°、45°、60°这三个特殊锐角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将每个选项中涉及的三角函数值换算为具体数值（或统一为根式形式通分比较）；第三步，逐一验证每个选项的不等关系是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\cos30°=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
逐一验证选项：
A选项：$\cos60°≈0.5$，$\sin45°≈0.707$，$\tan30°≈0.577$，正确排序应为$\cos60°＜\tan30°＜\sin45°$，A错误；
B选项：$\cos30°≈0.866$，$\sin45°≈0.707$，$\tan30°≈0.577$，正确排序应为$\tan30°＜\sin45°＜\cos30°$，B错误；
C选项：$\tan30°≈0.577$，$\cos45°≈0.707$，$\sin60°≈0.866$，不等关系$\tan30°＜\cos45°＜\sin60°$成立，C正确；
D选项：$\tan60°≈1.732$，$\tan45°=1$，$\cos60°=0.5$，正确排序应为$\cos60°＜\tan45°＜\tan60°$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对常见特殊锐角三角函数值的记忆准确度，只要熟练掌握30°、45°、60°角的三类三角函数值，通过简单计算比较即可快速得出答案，学习中要注意区分不同角度、不同类型的三角函数值，避免混淆。
【难度系数】
0.8
4. 要使$\frac{1 - 2\cos A}{3 - \tan^2 A}$有意义，则锐角A不能为(
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
B
)A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
4. B
解析
【分析】
要判断锐角A不能取的值，需先明确代数式有意义的条件：第一，分式有意义要求分母不等于0；第二，式子中含有$\tan A$，对于锐角A，$\tan A$有意义的前提是$A≠90°$，本题给出的选项均为小于$90°$的锐角，因此只需重点满足分母不为0的条件。接下来我们先列出分母不为0的不等式，再结合特殊角的三角函数值验证各个选项即可得出结论。
【解析】
解：要使$\frac{1 - 2\cos A}{3 - \tan^2 A}$有意义，需满足：
1. 分母不为0，即$3 - \tan^2 A ≠ 0$，整理得$\tan^2 A ≠ 3$，
因为A是锐角，$\tan A＞0$，所以$\tan A ≠ \sqrt{3}$；
2. $\tan A$有意义，即$A≠90°$，本题选项均满足该要求。
结合特殊角的三角函数值验证：
当$A=60°$时，$\tan60°=\sqrt{3}$，代入分母得$3 - (\sqrt{3})^2=0$，分式无意义；
其余选项中，$A=75°$时$\tan75°≠\sqrt{3}$，$A=45°$时$\tan45°=1$，$A=30°$时$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入分母均不为0，分式有意义。
因此锐角A不能为$60°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握分式有意义的判定规则，同时熟记常见特殊角的三角函数值，容易出错的地方是忽略分母不能为0的限制，或者记错特殊角的正切值。
【难度系数】
0.8
要判断锐角A不能取的值，需先明确代数式有意义的条件：第一，分式有意义要求分母不等于0；第二，式子中含有$\tan A$，对于锐角A，$\tan A$有意义的前提是$A≠90°$，本题给出的选项均为小于$90°$的锐角，因此只需重点满足分母不为0的条件。接下来我们先列出分母不为0的不等式，再结合特殊角的三角函数值验证各个选项即可得出结论。
【解析】
解：要使$\frac{1 - 2\cos A}{3 - \tan^2 A}$有意义，需满足：
1. 分母不为0，即$3 - \tan^2 A ≠ 0$，整理得$\tan^2 A ≠ 3$，
因为A是锐角，$\tan A＞0$，所以$\tan A ≠ \sqrt{3}$；
2. $\tan A$有意义，即$A≠90°$，本题选项均满足该要求。
结合特殊角的三角函数值验证：
当$A=60°$时，$\tan60°=\sqrt{3}$，代入分母得$3 - (\sqrt{3})^2=0$，分式无意义；
其余选项中，$A=75°$时$\tan75°≠\sqrt{3}$，$A=45°$时$\tan45°=1$，$A=30°$时$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入分母均不为0，分式有意义。
因此锐角A不能为$60°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握分式有意义的判定规则，同时熟记常见特殊角的三角函数值，容易出错的地方是忽略分母不能为0的限制，或者记错特殊角的正切值。
【难度系数】
0.8
5. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{4}{5}$，则$\cos A$为(
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
C
)A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道直角三角形中锐角三角函数的计算题，可通过两种思路求解：思路1：利用同角锐角三角函数的基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A=1$，结合$∠ A$是锐角、余弦值为正的特点，代入数值直接计算；思路2：根据$\sin A$是对边与斜边的比值，设出直角三角形对应边长，用勾股定理求出邻边长度，再根据$\cos A$是邻边与斜边的比值算出结果，两种方法均符合学段知识要求，难度较低。
【解析】
方法一：利用同角三角函数关系计算
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ A$是锐角，$\cos A＞0$
由同角三角函数基本关系可得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
将$\sin A=\frac{4}{5}$代入得：
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
方法二：结合三角函数定义与勾股定理计算
$\because \sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$
$\therefore$设$BC=4k(k＞0)$，则$AB=5k$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = \sqrt{25k^2 - 16k^2} = 3k$
$\therefore \cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础计算题，两种解题方法都较为常用，其中设边长结合勾股定理计算的方式更直观，能降低出错概率，只要掌握锐角三角函数的基本定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
这是一道直角三角形中锐角三角函数的计算题，可通过两种思路求解：思路1：利用同角锐角三角函数的基本关系$\sin^2 A + \cos^2 A=1$，结合$∠ A$是锐角、余弦值为正的特点，代入数值直接计算；思路2：根据$\sin A$是对边与斜边的比值，设出直角三角形对应边长，用勾股定理求出邻边长度，再根据$\cos A$是邻边与斜边的比值算出结果，两种方法均符合学段知识要求，难度较低。
【解析】
方法一：利用同角三角函数关系计算
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ A$是锐角，$\cos A＞0$
由同角三角函数基本关系可得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
将$\sin A=\frac{4}{5}$代入得：
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
方法二：结合三角函数定义与勾股定理计算
$\because \sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$
$\therefore$设$BC=4k(k＞0)$，则$AB=5k$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = \sqrt{25k^2 - 16k^2} = 3k$
$\therefore \cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础计算题，两种解题方法都较为常用，其中设边长结合勾股定理计算的方式更直观，能降低出错概率，只要掌握锐角三角函数的基本定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
6. 已知等腰梯形的一个底角为$60°$,两底边长分别为4 cm和12 cm,则此梯形的面积为(
A.$16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
6. B
解析
【分析】
要计算等腰梯形的面积，首先回忆梯形面积公式：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，题目已经给出上下底长度，所以核心是求出梯形的高。我们可以通过作辅助线：过上底的两个端点向下底作垂线，将等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，利用等腰梯形的性质求出直角三角形的短直角边长，再结合底角60°的三角函数值求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设等腰梯形为$ABCD$，上底$AD=4\ \mathrm{cm}$，下底$BC=12\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=60°$。
1. 作辅助线：过点$A$作$AE⊥ BC$于$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于$F$，则四边形$AEFD$是矩形，且$△ ABE≌△ DCF$，因此$EF=AD=4\ \mathrm{cm}$，$BE=CF$。
2. 计算$BE$的长度：$BE=\frac{BC-EF}{2}=\frac{12-4}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
3. 求梯形的高$AE$：在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\tan B=\frac{AE}{BE}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$AE=BE×\tan60°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算梯形面积：$S=\frac{1}{2}×(AD+BC)× AE=\frac{1}{2}×(4+12)×4\sqrt{3}=32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的性质，梯形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是掌握等腰梯形中作高的常用辅助线作法，通过构造直角三角形将求高的问题转化为解直角三角形的问题，熟练掌握相关性质和公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算等腰梯形的面积，首先回忆梯形面积公式：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，题目已经给出上下底长度，所以核心是求出梯形的高。我们可以通过作辅助线：过上底的两个端点向下底作垂线，将等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，利用等腰梯形的性质求出直角三角形的短直角边长，再结合底角60°的三角函数值求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设等腰梯形为$ABCD$，上底$AD=4\ \mathrm{cm}$，下底$BC=12\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=60°$。
1. 作辅助线：过点$A$作$AE⊥ BC$于$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于$F$，则四边形$AEFD$是矩形，且$△ ABE≌△ DCF$，因此$EF=AD=4\ \mathrm{cm}$，$BE=CF$。
2. 计算$BE$的长度：$BE=\frac{BC-EF}{2}=\frac{12-4}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
3. 求梯形的高$AE$：在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\tan B=\frac{AE}{BE}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$AE=BE×\tan60°=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 计算梯形面积：$S=\frac{1}{2}×(AD+BC)× AE=\frac{1}{2}×(4+12)×4\sqrt{3}=32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的性质，梯形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是掌握等腰梯形中作高的常用辅助线作法，通过构造直角三角形将求高的问题转化为解直角三角形的问题，熟练掌握相关性质和公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7.若等腰三角形的周长为$5(2+\sqrt{3})$，腰长为5，则底角等于(
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
D
)A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先根据等腰三角形周长与腰长的关系求出底边长；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高构造出含底角的直角三角形；最后通过直角三角形中三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值求出底角的度数。
【解析】
解：1. 计算底边长：
等腰三角形周长公式为$C=2×腰长+底边长$，代入已知条件：
底边长$=5(2+\sqrt{3}) - 2×5 = 10 + 5\sqrt{3} - 10 = 5\sqrt{3}$。
2. 构造直角三角形：
过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，该高平分底边，因此底边一半的长度为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
3. 求底角度数：
设底角为$α$，在底角所在的直角三角形中，$α$的邻边为底边的一半，斜边为腰长5，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{邻边}{斜边} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$α$是三角形内角（锐角），且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$α=30°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过作高将等腰三角形的问题转化为解直角三角形的问题，需要熟练掌握等腰三角形的性质和常见特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先根据等腰三角形周长与腰长的关系求出底边长；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边上的高构造出含底角的直角三角形；最后通过直角三角形中三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值求出底角的度数。
【解析】
解：1. 计算底边长：
等腰三角形周长公式为$C=2×腰长+底边长$，代入已知条件：
底边长$=5(2+\sqrt{3}) - 2×5 = 10 + 5\sqrt{3} - 10 = 5\sqrt{3}$。
2. 构造直角三角形：
过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，该高平分底边，因此底边一半的长度为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
3. 求底角度数：
设底角为$α$，在底角所在的直角三角形中，$α$的邻边为底边的一半，斜边为腰长5，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{邻边}{斜边} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$α$是三角形内角（锐角），且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$α=30°$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过作高将等腰三角形的问题转化为解直角三角形的问题，需要熟练掌握等腰三角形的性质和常见特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
8. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ACB = 90°,D 是 AB的中点,过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E,BC = 6, 
sin A = $\frac{3}{5}$,则 DE 的长为(
A.4
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{25}{2}$
sin A = $\frac{3}{5}$,则 DE 的长为(
30° 60°
)A.4
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{25}{2}$
答案
8. 30° 60°
9. 在 $△ ABC$ 中，$AB = 12,AC = \sqrt{39}$，$∠ B = 30°$,则 $△ ABC$ 的面积是
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
.答案
9. $21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知角B=30°，可先过点A作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，构造含30°角的直角三角形求出高AD，再用勾股定理分别计算BD、CD的长度。本题存在高在三角形内部、高在三角形外部两种情况，需分类讨论得到BC的长度，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于D，分两种情况讨论：
情况1：高AD在△ABC内部：
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = \frac{1}{2}AB = 6$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$，
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{39}$，$AD=6$，
由勾股定理得：$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2} = \sqrt{3}$，
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$，
此时△ABC的面积 = $\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×7\sqrt{3}×6 = 21\sqrt{3}$；
情况2：高AD在△ABC外部（即∠ACB为钝角）：
同理可得$AD=6$，$BD=6\sqrt{3}$，$CD=\sqrt{3}$，
此时$BC = BD - CD = 6\sqrt{3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，
△ABC的面积 = $\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×5\sqrt{3}×6 = 15\sqrt{3}$。
【答案】
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是易错题，解题时需注意已知两边及其中一边的对角时，三角形的形状不唯一，要结合分类讨论思想考虑高在三角形内部和外部两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，已知角B=30°，可先过点A作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，构造含30°角的直角三角形求出高AD，再用勾股定理分别计算BD、CD的长度。本题存在高在三角形内部、高在三角形外部两种情况，需分类讨论得到BC的长度，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于D，分两种情况讨论：
情况1：高AD在△ABC内部：
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = \frac{1}{2}AB = 6$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$，
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{39}$，$AD=6$，
由勾股定理得：$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2} = \sqrt{3}$，
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$，
此时△ABC的面积 = $\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×7\sqrt{3}×6 = 21\sqrt{3}$；
情况2：高AD在△ABC外部（即∠ACB为钝角）：
同理可得$AD=6$，$BD=6\sqrt{3}$，$CD=\sqrt{3}$，
此时$BC = BD - CD = 6\sqrt{3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，
△ABC的面积 = $\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×5\sqrt{3}×6 = 15\sqrt{3}$。
【答案】
$21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是易错题，解题时需注意已知两边及其中一边的对角时，三角形的形状不唯一，要结合分类讨论思想考虑高在三角形内部和外部两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 菱形的对角线分别为8和$8\sqrt{3}$,则它相邻的两个内角的度数分别为
$60°\ \ 120°$
.答案
10. $60°\ \ 120°$
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：首先回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，根据该性质可将菱形分割为4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边就是两条对角线的一半；接下来在直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数，该锐角就是菱形对应内角的一半；最后结合菱形相邻内角互补的性质，就能求出两个相邻内角的度数。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长度分别为：$8÷2=4$，$8\sqrt{3}÷2=4\sqrt{3}$。
设直角三角形中较小的锐角为$α$，
则$\tanα=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$α=30°$，
∴菱形对应的内角为$2×30°=60°$。
∵菱形相邻内角互补，
∴另一个相邻内角为$180°-60°=120°$。
【答案】
$60°$、$120°$
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，邻补角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形对角线性质的应用，结合特殊角的三角函数值即可快速求解，熟练掌握菱形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路思考：首先回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，根据该性质可将菱形分割为4个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边就是两条对角线的一半；接下来在直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数，该锐角就是菱形对应内角的一半；最后结合菱形相邻内角互补的性质，就能求出两个相邻内角的度数。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半长度分别为：$8÷2=4$，$8\sqrt{3}÷2=4\sqrt{3}$。
设直角三角形中较小的锐角为$α$，
则$\tanα=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$α=30°$，
∴菱形对应的内角为$2×30°=60°$。
∵菱形相邻内角互补，
∴另一个相邻内角为$180°-60°=120°$。
【答案】
$60°$、$120°$
【知识点】
菱形的性质，解直角三角形，邻补角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形对角线性质的应用，结合特殊角的三角函数值即可快速求解，熟练掌握菱形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 已知等腰三角形一腰上的高为$ a $，且此高与底边的夹角为$ 30° $，则此三角形的面积为
$\frac{1}{3}$
。答案
11. $\frac{1}{3}$
12. 已知$∠ A + ∠ B = 90°$. 若$\sin A = \dfrac{3}{5}$, 则$\cos B =$
$\frac{3}{5}$
.答案
12. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
拿到这道题首先观察已知条件：∠A与∠B的和为90°，说明两角互余，要求cosB的值，我们可以从两个适配九年级知识的方向思考：一是直接利用互余两角的三角函数转换关系推导；二是结合直角三角形中锐角三角函数的定义，通过边的比值对应关系求解。首先明确互余角的三角函数规律：一个锐角的余弦等于它余角的正弦，即对于任意锐角α，都有$\cos(90°-α)=\sinα$，套用这个规律就能快速得到结果，也可以通过构造直角三角形，分别表示出$\sin A$和$\cos B$对应的边的比值验证结果。
【解析】
方法一：利用互余角的三角函数关系求解
$\because ∠ A + ∠ B = 90°$
$\therefore ∠ B = 90°-∠ A$
根据互余锐角的三角函数性质：$\cos(90°-∠ A)=\sin A$
$\therefore \cos B = \sin A$
又$\because \sin A = \dfrac{3}{5}$
$\therefore \cos B = \dfrac{3}{5}$
方法二：利用锐角三角函数定义求解
构造$\mathrm{Rt}△ ABC$，使$∠ C=90°$，则$∠ A + ∠ B = 90°$，符合题设条件
根据正弦函数定义：$\sin A = \dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5}$
根据余弦函数定义：$\cos B = \dfrac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB}$
$\therefore \cos B = \dfrac{3}{5}$
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余锐角的三角函数转换规律，既可以直接套用公式快速作答，也可以通过构造直角三角形结合三角函数定义推导，熟练掌握相关基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察已知条件：∠A与∠B的和为90°，说明两角互余，要求cosB的值，我们可以从两个适配九年级知识的方向思考：一是直接利用互余两角的三角函数转换关系推导；二是结合直角三角形中锐角三角函数的定义，通过边的比值对应关系求解。首先明确互余角的三角函数规律：一个锐角的余弦等于它余角的正弦，即对于任意锐角α，都有$\cos(90°-α)=\sinα$，套用这个规律就能快速得到结果，也可以通过构造直角三角形，分别表示出$\sin A$和$\cos B$对应的边的比值验证结果。
【解析】
方法一：利用互余角的三角函数关系求解
$\because ∠ A + ∠ B = 90°$
$\therefore ∠ B = 90°-∠ A$
根据互余锐角的三角函数性质：$\cos(90°-∠ A)=\sin A$
$\therefore \cos B = \sin A$
又$\because \sin A = \dfrac{3}{5}$
$\therefore \cos B = \dfrac{3}{5}$
方法二：利用锐角三角函数定义求解
构造$\mathrm{Rt}△ ABC$，使$∠ C=90°$，则$∠ A + ∠ B = 90°$，符合题设条件
根据正弦函数定义：$\sin A = \dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5}$
根据余弦函数定义：$\cos B = \dfrac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB}$
$\therefore \cos B = \dfrac{3}{5}$
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余锐角的三角函数转换规律，既可以直接套用公式快速作答，也可以通过构造直角三角形结合三角函数定义推导，熟练掌握相关基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
13. 在等腰 $△ ABC$ 中, 底边 $BC = 20$, $\sin C = \dfrac{3}{5}$, 则 $△ ABC$ 的周长为
45
.答案
13. 45
解析
【分析】
首先明确等腰三角形底边为BC，因此两腰AB=AC，要求周长需先求出腰长。根据等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时D为BC中点，可得CD=10。再在Rt△ADC中，结合已知的sinC=3/5，利用三角函数定义和勾股定理即可求出腰AC的长度，最终计算出三角形周长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等腰三角形，底边为BC，
∴AB=AC，且AD平分BC，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10$。
在Rt△ADC中，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
设$AD=3k$，$AC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
∵CD=10，
∴$4k=10$，解得$k=2.5$，
∴$AC=5k=5×2.5=12.5$，则$AB=AC=12.5$，
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=12.5+12.5+20=45$。
【答案】
45
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形的综合基础题，解题的关键是通过作等腰三角形底边上的高构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理求出未知边长，是几何计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先明确等腰三角形底边为BC，因此两腰AB=AC，要求周长需先求出腰长。根据等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时D为BC中点，可得CD=10。再在Rt△ADC中，结合已知的sinC=3/5，利用三角函数定义和勾股定理即可求出腰AC的长度，最终计算出三角形周长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等腰三角形，底边为BC，
∴AB=AC，且AD平分BC，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10$。
在Rt△ADC中，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，
设$AD=3k$，$AC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
∵CD=10，
∴$4k=10$，解得$k=2.5$，
∴$AC=5k=5×2.5=12.5$，则$AB=AC=12.5$，
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=12.5+12.5+20=45$。
【答案】
45
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形的综合基础题，解题的关键是通过作等腰三角形底边上的高构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理求出未知边长，是几何计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则$\cos∠ AOB$的值等于
$\frac{1}{2}$
.答案
14. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据尺规作图的步骤判断线段的长度关系：第一步以O为圆心画弧，可得OA=OB；第二步以A为圆心、AO长为半径画弧，可得AB=AO，由此可推出△AOB的三条边相等，即△AOB为等边三角形，得到∠AOB的度数后，代入特殊角的三角函数值即可求出结果。
【解析】
由作图过程可知：
$OA=OB$（同圆的半径相等），$AB=AO$（同圆的半径相等），
∴ $OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$，
根据特殊角的三角函数值，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
因此$\cos∠ AOB=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，尺规作图的认识
【点评】
本题将尺规作图、等边三角形的性质和特殊角的三角函数值结合考查，难度不大，解题的核心是根据作图步骤判断出三角形的类型，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据尺规作图的步骤判断线段的长度关系：第一步以O为圆心画弧，可得OA=OB；第二步以A为圆心、AO长为半径画弧，可得AB=AO，由此可推出△AOB的三条边相等，即△AOB为等边三角形，得到∠AOB的度数后，代入特殊角的三角函数值即可求出结果。
【解析】
由作图过程可知：
$OA=OB$（同圆的半径相等），$AB=AO$（同圆的半径相等），
∴ $OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$，
根据特殊角的三角函数值，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
因此$\cos∠ AOB=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，尺规作图的认识
【点评】
本题将尺规作图、等边三角形的性质和特殊角的三角函数值结合考查，难度不大，解题的核心是根据作图步骤判断出三角形的类型，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$, $∠ ACB = 30°$, 将 $△ ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $15°$ 后得到 $△ AB_1C_1$, $B_1C_1$ 交 $AC$ 于点 $D$. 若 $AD = 2\sqrt{2}$, 则 $△ ABC$ 的周长等于
$6 + 2\sqrt{3}$
.答案
15. $6 + 2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合旋转的性质得到旋转角∠BAB₁=15°，进而推出△AB₁D是等腰直角三角形，结合AD的长度求出AB₁即AB的长；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出AC、BC的长度，三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC$绕点$A$逆时针旋转$15°$得到$△ AB_1C_1$，
$\therefore ∠ BAB_1=15°$，$AB_1=AB$，$∠ AB_1C_1=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ B_1AD=∠ BAC-∠ BAB_1=60°-15°=45°$，
$\therefore △ AB_1D$是等腰直角三角形。
已知$AD=2\sqrt{2}$，由勾股定理得$AB_1^2+B_1D^2=AD^2$，且$AB_1=B_1D$，
$\therefore 2AB_1^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$AB_1=2$，即$AB=2$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=30°$，
$\therefore AC=2AB=4$，$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=2+2\sqrt{3}+4=6+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6 + 2\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题突破口是结合旋转角判断出△AB₁D为等腰直角三角形，求出AB的长度后再利用特殊直角三角形的边长关系计算其余边长即可，要求熟练掌握旋转的性质和特殊三角形的边角规律。
【难度系数】
0.6
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合旋转的性质得到旋转角∠BAB₁=15°，进而推出△AB₁D是等腰直角三角形，结合AD的长度求出AB₁即AB的长；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出AC、BC的长度，三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC$绕点$A$逆时针旋转$15°$得到$△ AB_1C_1$，
$\therefore ∠ BAB_1=15°$，$AB_1=AB$，$∠ AB_1C_1=∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ B_1AD=∠ BAC-∠ BAB_1=60°-15°=45°$，
$\therefore △ AB_1D$是等腰直角三角形。
已知$AD=2\sqrt{2}$，由勾股定理得$AB_1^2+B_1D^2=AD^2$，且$AB_1=B_1D$，
$\therefore 2AB_1^2=(2\sqrt{2})^2=8$，解得$AB_1=2$，即$AB=2$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=30°$，
$\therefore AC=2AB=4$，$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=2+2\sqrt{3}+4=6+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6 + 2\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题突破口是结合旋转角判断出△AB₁D为等腰直角三角形，求出AB的长度后再利用特殊直角三角形的边长关系计算其余边长即可，要求熟练掌握旋转的性质和特殊三角形的边角规律。
【难度系数】
0.6
16. 如图,在⊙O中,过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,则sin C
的值为
的值为$\frac{2}{5}$
.答案
16. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题时，首先考虑连接圆心与切点构造直角三角形，这是圆中常用的辅助线做法。第一步先根据直径长度求出圆的半径，再结合已知的AC长度求出直角三角形的斜边长OC，最后在直角三角形中根据正弦函数的定义计算sinC的值即可。
【解析】
解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥CD，即△ODC是直角三角形，∠ODC=90°。
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴⊙O的半径$OD=OA=\frac{AB}{2}=2$。
又
∵AC=7，
∴$OC=AC-OA=7-2=5$。
在Rt△ODC中，$\sin C=\frac{∠C的对边}{斜边}=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质；锐角三角函数的定义；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角函数结合的常规题型，解题关键是熟练掌握切线的性质构造直角三角形，再结合三角函数的定义求解，难度不大，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题时，首先考虑连接圆心与切点构造直角三角形，这是圆中常用的辅助线做法。第一步先根据直径长度求出圆的半径，再结合已知的AC长度求出直角三角形的斜边长OC，最后在直角三角形中根据正弦函数的定义计算sinC的值即可。
【解析】
解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥CD，即△ODC是直角三角形，∠ODC=90°。
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴⊙O的半径$OD=OA=\frac{AB}{2}=2$。
又
∵AC=7，
∴$OC=AC-OA=7-2=5$。
在Rt△ODC中，$\sin C=\frac{∠C的对边}{斜边}=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质；锐角三角函数的定义；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角函数结合的常规题型，解题关键是熟练掌握切线的性质构造直角三角形，再结合三角函数的定义求解，难度不大，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
