登录
2. 如图,直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是()
A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.以上都不对
A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先明确所求为直角三角形两锐角角平分线相交形成的锐角的余弦值，第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到两个锐角的和为90°；第二步结合角平分线的定义，算出两个角平分线分得的小角的和；第三步利用三角形内角和定理求出角平分线相交得到的钝角，其邻补角即为所求的锐角；最后代入特殊角的三角函数值计算余弦即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC + ∠ABC = 90°，
∵AF平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ BAD + ∠ ABD=\frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△ABD中，$∠ ADB=180° - (∠ BAD + ∠ ABD)=180° - 45°=135°$，
∴两条角平分线相交所成的锐角为$180° - 135°=45°$，
∴该锐角的余弦值为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先确定两条角平分线相交所成锐角的度数，注意区分两条直线相交所成的钝角和锐角，避免误算钝角的三角函数值出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确所求为直角三角形两锐角角平分线相交形成的锐角的余弦值，第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到两个锐角的和为90°；第二步结合角平分线的定义，算出两个角平分线分得的小角的和；第三步利用三角形内角和定理求出角平分线相交得到的钝角，其邻补角即为所求的锐角；最后代入特殊角的三角函数值计算余弦即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC + ∠ABC = 90°，
∵AF平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ BAD + ∠ ABD=\frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△ABD中，$∠ ADB=180° - (∠ BAD + ∠ ABD)=180° - 45°=135°$，
∴两条角平分线相交所成的锐角为$180° - 135°=45°$，
∴该锐角的余弦值为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先确定两条角平分线相交所成锐角的度数，注意区分两条直线相交所成的钝角和锐角，避免误算钝角的三角函数值出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，直径为10的$\odot A$经过点$C(0,5)$和点$O(0,0)$，B是y轴右侧$\odot A$优弧上一点，则$∠ OBC$的余弦值为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
C
解析
【分析】
要求∠OBC的余弦值，直接计算该角的边长关系较麻烦，可利用圆周角定理转化角度：首先明确⊙A的半径为5，结合已知点O、C的坐标可得OC长度为5，连接AO、AC可判定△OAC为等边三角形，得到弧OC对应的圆心角∠OAC的度数，再根据圆周角定理得出∠OBC的度数，最后计算其余弦值即可。
【解析】
解：
∵⊙A的直径为10，
∴⊙A的半径为5，即$AO=AC=5$。
∵点$C(0,5)$、$O(0,0)$，
∴$OC=5$。
∴$AO=AC=OC=5$，$△ OAC$为等边三角形，
∴$∠ OAC=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ OBC$是弧$OC$所对的圆周角，$∠ OAC$是弧$OC$所对的圆心角，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OAC=30°$。
∴$\cos∠ OBC=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理将未知角转化为容易求解的角，同时结合等边三角形的性质得到角度，再代入特殊角的三角函数值计算，较好地考查了圆与三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求∠OBC的余弦值，直接计算该角的边长关系较麻烦，可利用圆周角定理转化角度：首先明确⊙A的半径为5，结合已知点O、C的坐标可得OC长度为5，连接AO、AC可判定△OAC为等边三角形，得到弧OC对应的圆心角∠OAC的度数，再根据圆周角定理得出∠OBC的度数，最后计算其余弦值即可。
【解析】
解：
∵⊙A的直径为10，
∴⊙A的半径为5，即$AO=AC=5$。
∵点$C(0,5)$、$O(0,0)$，
∴$OC=5$。
∴$AO=AC=OC=5$，$△ OAC$为等边三角形，
∴$∠ OAC=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ OBC$是弧$OC$所对的圆周角，$∠ OAC$是弧$OC$所对的圆心角，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OAC=30°$。
∴$\cos∠ OBC=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角定理将未知角转化为容易求解的角，同时结合等边三角形的性质得到角度，再代入特殊角的三角函数值计算，较好地考查了圆与三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$Rt△ BAD$中,延长斜边$BD$到点$C$,使$DC=\frac{1}{2}BD$,连接$AC$.若$\tan B=\frac{5}{3}$,则$\tan∠ CAD$的值是()
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{5}$
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要求tan∠CAD的值，需将∠CAD置于直角三角形中计算，因此可过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，构造Rt△ACE。首先根据Rt△BAD中tanB的取值设出AB、AD的长度，再通过证明△CDE与△BDA相似，利用相似比求出CE、DE的长度，最后根据正切的定义计算tan∠CAD即可。
【解析】
过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∴∠E=90°。
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠E。
又
∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
∴△CDE∽△BDA。
∵DC=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，即$CE=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
在Rt△BAD中，$\tan B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{3}$，设$AD=5k$，$AB=3k$（$k＞0$），
则$CE=\frac{1}{2}×3k=\frac{3}{2}k$，$DE=\frac{1}{2}×5k=\frac{5}{2}k$，
∴$AE=AD+DE=5k+\frac{5}{2}k=\frac{15}{2}k$。
在Rt△ACE中，$\tan∠CAD=\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{3}{2}k}{\frac{15}{2}k}=\frac{1}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题核心是通过作辅助线构造含所求角的直角三角形，结合相似三角形的性质得到对应线段的比例关系，再代入正切公式计算，是锐角三角函数与相似三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
要求tan∠CAD的值，需将∠CAD置于直角三角形中计算，因此可过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，构造Rt△ACE。首先根据Rt△BAD中tanB的取值设出AB、AD的长度，再通过证明△CDE与△BDA相似，利用相似比求出CE、DE的长度，最后根据正切的定义计算tan∠CAD即可。
【解析】
过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∴∠E=90°。
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠E。
又
∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
∴△CDE∽△BDA。
∵DC=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，即$CE=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
在Rt△BAD中，$\tan B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{3}$，设$AD=5k$，$AB=3k$（$k＞0$），
则$CE=\frac{1}{2}×3k=\frac{3}{2}k$，$DE=\frac{1}{2}×5k=\frac{5}{2}k$，
∴$AE=AD+DE=5k+\frac{5}{2}k=\frac{15}{2}k$。
在Rt△ACE中，$\tan∠CAD=\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{3}{2}k}{\frac{15}{2}k}=\frac{1}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题核心是通过作辅助线构造含所求角的直角三角形，结合相似三角形的性质得到对应线段的比例关系，再代入正切公式计算，是锐角三角函数与相似三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在矩形$OABC$中,$OA = 6$,$OC = 4$,$∠ COx = 60°$,则点$B$的坐标为()
A.$(2 - 3\sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$
B.$(-2 + 3\sqrt{3}, 2 + 3\sqrt{3})$
C.$(-2 + \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$
D.$(2 - 3\sqrt{3}, 2 + 3\sqrt{3})$
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AC = 3\sqrt{3}$,则$AB =$.
A.$(2 - 3\sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$
B.$(-2 + 3\sqrt{3}, 2 + 3\sqrt{3})$
C.$(-2 + \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$
D.$(2 - 3\sqrt{3}, 2 + 3\sqrt{3})$
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AC = 3\sqrt{3}$,则$AB =$.
答案
5.A 6.6
解析
【分析】
第5题：要求矩形顶点B的坐标，可先通过锐角三角函数求出点C的坐标，再结合矩形的性质构造直角三角形，求出点B相对于点C的水平、竖直偏移量，最终计算得到B的坐标，计算时注意横坐标的正负方向。
第6题：在直角三角形中已知30°锐角和它的邻边长度求斜边，可直接利用余弦函数的定义，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
5. 解：① 求点C的坐标
过点C作CD⊥x轴于点D，已知OC=4，∠COx=60°，
在Rt△OCD中：
$OD=OC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，$CD=OC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
即点C坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
② 求点B相对点C的偏移量
过点B作BF⊥CD的延长线于点F，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=6，∠OCB=90°，
∴∠BCF + ∠OCD = 90°，又∠OCD + ∠COD=90°，得∠BCF=∠COD=60°。
在Rt△BCF中：
$CF=BC·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，$BF=BC·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
③ 计算点B坐标
点B在点C左侧$3\sqrt{3}$个单位、上方3个单位处，
∴横坐标为$2-3\sqrt{3}$，纵坐标为$2\sqrt{3}+3$，即$B(2-3\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$，选A。
6. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由余弦定义得$\cos A=\frac{AC}{AB}$，
代入∠A=30°，$AC=3\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$。
【答案】
5.A；6.6
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的应用；直角三角形性质
【点评】
两道题分别考查坐标系下的几何坐标求解和直角三角形的边长计算，都需要熟练运用特殊角的三角函数值，求解坐标时要注意偏移方向对应的正负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
第5题：要求矩形顶点B的坐标，可先通过锐角三角函数求出点C的坐标，再结合矩形的性质构造直角三角形，求出点B相对于点C的水平、竖直偏移量，最终计算得到B的坐标，计算时注意横坐标的正负方向。
第6题：在直角三角形中已知30°锐角和它的邻边长度求斜边，可直接利用余弦函数的定义，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
5. 解：① 求点C的坐标
过点C作CD⊥x轴于点D，已知OC=4，∠COx=60°，
在Rt△OCD中：
$OD=OC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，$CD=OC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
即点C坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
② 求点B相对点C的偏移量
过点B作BF⊥CD的延长线于点F，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=6，∠OCB=90°，
∴∠BCF + ∠OCD = 90°，又∠OCD + ∠COD=90°，得∠BCF=∠COD=60°。
在Rt△BCF中：
$CF=BC·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，$BF=BC·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
③ 计算点B坐标
点B在点C左侧$3\sqrt{3}$个单位、上方3个单位处，
∴横坐标为$2-3\sqrt{3}$，纵坐标为$2\sqrt{3}+3$，即$B(2-3\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$，选A。
6. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由余弦定义得$\cos A=\frac{AC}{AB}$，
代入∠A=30°，$AC=3\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$。
【答案】
5.A；6.6
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的应用；直角三角形性质
【点评】
两道题分别考查坐标系下的几何坐标求解和直角三角形的边长计算，都需要熟练运用特殊角的三角函数值，求解坐标时要注意偏移方向对应的正负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,c=8,a=6,$则最小内角的正切值为.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
因为$2\sqrt{7}＜6＜8$，所以长度为$b$的边是最短边，它所对的内角$∠ B$是最小内角。
根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
因为$2\sqrt{7}＜6＜8$，所以长度为$b$的边是最短边，它所对的内角$∠ B$是最小内角。
根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，可按三步思考：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可利用勾股定理求出第三条边的长度；第二步，根据三角形“大边对大角”的性质，最短边对应的内角就是最小内角，先明确要求正切值的角是哪一个；第三步，根据正切的定义，代入对应边的长度计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c$为斜边，$a=6$为直角边，
由勾股定理得另一条直角边：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
比较三边长度：$2\sqrt{7}＜6＜8$，因此最短边为$b$，它所对的内角$∠ B$是最小内角。
根据正切的定义，锐角的正切值为其对边与邻边的比值：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；大边对大角
【点评】
本题是直角三角形与锐角三角函数结合的基础题，解题的关键是先准确判断出最小内角，计算时注意不要混淆正切对应的对边和邻边，整体运算难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按三步思考：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可利用勾股定理求出第三条边的长度；第二步，根据三角形“大边对大角”的性质，最短边对应的内角就是最小内角，先明确要求正切值的角是哪一个；第三步，根据正切的定义，代入对应边的长度计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c$为斜边，$a=6$为直角边，
由勾股定理得另一条直角边：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
比较三边长度：$2\sqrt{7}＜6＜8$，因此最短边为$b$，它所对的内角$∠ B$是最小内角。
根据正切的定义，锐角的正切值为其对边与邻边的比值：
$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；大边对大角
【点评】
本题是直角三角形与锐角三角函数结合的基础题，解题的关键是先准确判断出最小内角，计算时注意不要混淆正切对应的对边和邻边，整体运算难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 在 $△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, AB = 2\sqrt{2}, BC = \sqrt{6}$, 求 $\sin A, \cos A, \tan B$ 及 $S_{△ ABC}$ 的值.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8-6} = \sqrt{2}$
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{3}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8-6} = \sqrt{2}$
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是直角三角形的基础计算类题目，解题思路可分为三步：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，先利用勾股定理求出另一条未知直角边AC的长度；第二步，回忆锐角三角函数的定义，准确找到∠A的对边、邻边，∠B的对边、邻边，分别代入对应三角函数的边比公式计算，注意计算结果要化简为最简二次根式；第三步，利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）代入数值计算面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8-6} = \sqrt{2}$
根据锐角三角函数定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$S_{△ABC}=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对锐角三角函数定义的掌握和勾股定理的应用，解题的关键是准确区分不同锐角对应的对边、邻边，计算时注意二次根式的化简，熟练掌握基础概念就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形的基础计算类题目，解题思路可分为三步：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，先利用勾股定理求出另一条未知直角边AC的长度；第二步，回忆锐角三角函数的定义，准确找到∠A的对边、邻边，∠B的对边、邻边，分别代入对应三角函数的边比公式计算，注意计算结果要化简为最简二次根式；第三步，利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）代入数值计算面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8-6} = \sqrt{2}$
根据锐角三角函数定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$S_{△ABC}=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对锐角三角函数定义的掌握和勾股定理的应用，解题的关键是准确区分不同锐角对应的对边、邻边，计算时注意二次根式的化简，熟练掌握基础概念就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
9. 在 $△ ABC$ 中, $∠ C = 30°, ∠ B = 45°,$ $AB =8\ \mathrm{cm},$求 $AC$ 的值.
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=8 cm，
∴ $AD = AB · \sin45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
答：AC的长为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=8 cm，
∴ $AD = AB · \sin45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
答：AC的长为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
题目给出的△ABC是斜三角形，已知两个特殊锐角和边AB的长度，要求AC的长。我们可以通过作高的方法，把斜三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，利用公共边作为桥梁求解：第一步过点A作AD垂直BC，先在Rt△ABD中，结合∠B=45°和AB的长度，用正弦函数求出公共边AD的长度；第二步再在Rt△ACD中，结合∠C=30°，用正弦函数即可求出AC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=8 cm，
∴ $AD = AB · \sin45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，直角三角形边角关系
【点评】
本题是三角函数应用的典型基础题，解题关键是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，借助公共边建立两个直角三角形的关联，解题时需准确记忆特殊角的三角函数值，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
题目给出的△ABC是斜三角形，已知两个特殊锐角和边AB的长度，要求AC的长。我们可以通过作高的方法，把斜三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，利用公共边作为桥梁求解：第一步过点A作AD垂直BC，先在Rt△ABD中，结合∠B=45°和AB的长度，用正弦函数求出公共边AD的长度；第二步再在Rt△ACD中，结合∠C=30°，用正弦函数即可求出AC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=8 cm，
∴ $AD = AB · \sin45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴ $AC = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，直角三角形边角关系
【点评】
本题是三角函数应用的典型基础题，解题关键是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，借助公共边建立两个直角三角形的关联，解题时需准确记忆特殊角的三角函数值，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\tanα=\frac{\sqrt{2}}{2}(0° ＜ α ＜ 90°)$，则$α$的值为(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.以上均不正确
D
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.以上均不正确
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆30°、45°、60°这几个常用特殊锐角的正切值，再将其和题目给出的$\tanα=\frac{\sqrt{2}}{2}$做对比，若不存在匹配的数值，即可判断A、B、C均不符合要求。具体步骤为：先写出三个选项对应角度的正切值，再通过近似计算比对数值是否相等，最终得出结论。
【解析】
首先写出特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx\frac{1.732}{3}\approx0.577$，
$\tan45°=1$，
$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
再计算题目给出的正切值：$\tanα=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\frac{1.414}{2}\approx0.707$。
对比可知，0.707与上述三个特殊角的正切值均不相等，因此α不是30°、45°、60°中的任意一个。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数值估算
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对特殊角三角函数值的记忆熟练度，解题时要注意区分正切、正弦、余弦的特殊值，避免混淆不同类型的三角函数值即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆30°、45°、60°这几个常用特殊锐角的正切值，再将其和题目给出的$\tanα=\frac{\sqrt{2}}{2}$做对比，若不存在匹配的数值，即可判断A、B、C均不符合要求。具体步骤为：先写出三个选项对应角度的正切值，再通过近似计算比对数值是否相等，最终得出结论。
【解析】
首先写出特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx\frac{1.732}{3}\approx0.577$，
$\tan45°=1$，
$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$。
再计算题目给出的正切值：$\tanα=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\frac{1.414}{2}\approx0.707$。
对比可知，0.707与上述三个特殊角的正切值均不相等，因此α不是30°、45°、60°中的任意一个。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数值估算
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对特殊角三角函数值的记忆熟练度，解题时要注意区分正切、正弦、余弦的特殊值，避免混淆不同类型的三角函数值即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
