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1. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, BC = 6,tan A = $\frac{3}{4}$, 求 sin A,cos B 和 tan B 的值.
分析:由 BC = 6 和 tan A = $\frac{3}{4}$, 可先求出 AC 的长, 再利用勾股定理求 AB 的长, 这样 Rt△ABC 的三边都可求出,sin A,cos B 和 tan B 的值也就随之确定.
【归纳总结】关于锐角三角函数的计算,应熟练掌握正弦、余弦、正切的概念.若边长已知,可直接求值;若边长未知,一般先根据已知关系及勾股定理求出边长,再进行计算.
分析:由 BC = 6 和 tan A = $\frac{3}{4}$, 可先求出 AC 的长, 再利用勾股定理求 AB 的长, 这样 Rt△ABC 的三边都可求出,sin A,cos B 和 tan B 的值也就随之确定.
【归纳总结】关于锐角三角函数的计算,应熟练掌握正弦、余弦、正切的概念.若边长已知,可直接求值;若边长未知,一般先根据已知关系及勾股定理求出边长,再进行计算.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，
∵ $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，
∴ $\frac{6}{AC} = \frac{3}{4}$，解得 $AC = 8$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，
∵ $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，
∴ $\frac{6}{AC} = \frac{3}{4}$，解得 $AC = 8$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的求值问题，解题思路可分为三步：第一步，根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边$BC$与邻边$AC$的比值，结合已知$\tan A$和$BC$的长度，可先求出$AC$的长度；第二步，已知两条直角边的长度，利用勾股定理求出斜边$AB$的长度；第三步，分别根据正弦、余弦、正切的定义，代入对应边的比值即可求出三个三角函数值，也可利用直角三角形两锐角互余的性质简化计算。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，
$\because \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，
$\therefore \frac{6}{AC} = \frac{3}{4}$，解得 $AC = 8$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
$\therefore \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，$\tan B=\frac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，重点考查对锐角三角函数概念的掌握和运用能力，解题的关键是准确掌握各三角函数对应的边的比值关系，先求出直角三角形的三边长再代入计算。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的求值问题，解题思路可分为三步：第一步，根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边$BC$与邻边$AC$的比值，结合已知$\tan A$和$BC$的长度，可先求出$AC$的长度；第二步，已知两条直角边的长度，利用勾股定理求出斜边$AB$的长度；第三步，分别根据正弦、余弦、正切的定义，代入对应边的比值即可求出三个三角函数值，也可利用直角三角形两锐角互余的性质简化计算。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，
$\because \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，
$\therefore \frac{6}{AC} = \frac{3}{4}$，解得 $AC = 8$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
$\therefore \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，$\tan B=\frac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，重点考查对锐角三角函数概念的掌握和运用能力，解题的关键是准确掌握各三角函数对应的边的比值关系，先求出直角三角形的三边长再代入计算。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在小山的东侧A村有一热气球,由于受西风的影响,以每分钟35米的速度沿着与水平方向成$75°$角的方向飞行,40分钟时到达C处,此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B村在一条直线上,同时测得B村的俯角为$30°$.又在A村测得山顶P的仰角为$45°$,求A村与B村的距离及山高.(保留根号)
分析:要求A村与B村的距离及山高,需要构造直角三角形求解.
分析:要求A村与B村的距离及山高,需要构造直角三角形求解.
答案
解：
过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得：$AC = 35 × 40 = 1400$ 米，
由C处测得B村的俯角为$30°$，得$∠ B = 30°$，
$\because ∠ CAB = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，$∠ ACD = 45°$，
$AD = AC · \sin45° = 1400 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 700\sqrt{2}$ 米。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\therefore AB = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{700\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 1400\sqrt{2}$ 米。
设山高$PE = x$ 米，
$\because$ 在A村测得山顶P的仰角为$45°$，$PE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ PAE = 45°$，$AE = PE = x$，
$BE = AB - AE = 1400\sqrt{2} - x$。
在$\mathrm{Rt}△ PEB$中，$∠ PEB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\tan30° = \frac{PE}{BE}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{1400\sqrt{2} - x}$，
解得：$x = 700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米。
答：A村与B村的距离为$1400\sqrt{2}$米，山高为$700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$米。
过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得：$AC = 35 × 40 = 1400$ 米，
由C处测得B村的俯角为$30°$，得$∠ B = 30°$，
$\because ∠ CAB = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，$∠ ACD = 45°$，
$AD = AC · \sin45° = 1400 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 700\sqrt{2}$ 米。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\therefore AB = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{700\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 1400\sqrt{2}$ 米。
设山高$PE = x$ 米，
$\because$ 在A村测得山顶P的仰角为$45°$，$PE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ PAE = 45°$，$AE = PE = x$，
$BE = AB - AE = 1400\sqrt{2} - x$。
在$\mathrm{Rt}△ PEB$中，$∠ PEB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\tan30° = \frac{PE}{BE}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{1400\sqrt{2} - x}$，
解得：$x = 700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米。
答：A村与B村的距离为$1400\sqrt{2}$米，山高为$700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$米。
解析
【分析】
解题可分为两步：①先求A、B两村的距离：首先根据热气球的飞行速度和时间计算出AC的长度，结合俯角的定义得到∠B的度数，再根据平角定义求出∠CAB的度数，利用三角形内角和定理算出∠ACB的度数，过A作AD⊥BC构造直角三角形，先在Rt△ADC中用45°角的三角函数求出AD的长度，再在Rt△ADB中用30°角的三角函数求出AB的长度。②再求山高：过P作PE⊥AB，结合仰角45°可知AE=PE，设山高PE为x，用含x的式子表示BE的长度，在Rt△PEB中利用30°角的正切值列方程求解即可得到山高。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥AB于点E。
1. 计算AC长度：
由题意得：$AC = 35 × 40 = 1400$ 米。
2. 求△ABC各内角度数：
由C处测得B村的俯角为$30°$，得$∠ B = 30°$，
$\because ∠ CAB = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
3. 求AB长度：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，$∠ ACD = 45°$，
$AD = AC · \sin45° = 1400 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 700\sqrt{2}$ 米。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\therefore AB = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{700\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 1400\sqrt{2}$ 米。
4. 求山高PE：
设山高$PE = x$ 米，
$\because$ 在A村测得山顶P的仰角为$45°$，$PE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ PAE = 45°$，$AE = PE = x$，
$BE = AB - AE = 1400\sqrt{2} - x$。
在$\mathrm{Rt}△ PEB$中，$∠ PEB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\tan30° = \frac{PE}{BE}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{1400\sqrt{2} - x}$，
解得：$x = 700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米。
【答案】
A村与B村的距离为$1400\sqrt{2}$米，山高为$700(\sqrt{6}-\sqrt{2})$米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 锐角三角函数
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造辅助线得到直角三角形，结合仰角、俯角的概念梳理角度关系，再利用锐角三角函数建立等量关系求解，能够考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题可分为两步：①先求A、B两村的距离：首先根据热气球的飞行速度和时间计算出AC的长度，结合俯角的定义得到∠B的度数，再根据平角定义求出∠CAB的度数，利用三角形内角和定理算出∠ACB的度数，过A作AD⊥BC构造直角三角形，先在Rt△ADC中用45°角的三角函数求出AD的长度，再在Rt△ADB中用30°角的三角函数求出AB的长度。②再求山高：过P作PE⊥AB，结合仰角45°可知AE=PE，设山高PE为x，用含x的式子表示BE的长度，在Rt△PEB中利用30°角的正切值列方程求解即可得到山高。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥AB于点E。
1. 计算AC长度：
由题意得：$AC = 35 × 40 = 1400$ 米。
2. 求△ABC各内角度数：
由C处测得B村的俯角为$30°$，得$∠ B = 30°$，
$\because ∠ CAB = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
3. 求AB长度：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，$∠ ACD = 45°$，
$AD = AC · \sin45° = 1400 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 700\sqrt{2}$ 米。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\therefore AB = \frac{AD}{\sin30°} = \frac{700\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 1400\sqrt{2}$ 米。
4. 求山高PE：
设山高$PE = x$ 米，
$\because$ 在A村测得山顶P的仰角为$45°$，$PE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ PAE = 45°$，$AE = PE = x$，
$BE = AB - AE = 1400\sqrt{2} - x$。
在$\mathrm{Rt}△ PEB$中，$∠ PEB = 90°$，$∠ B = 30°$，
$\tan30° = \frac{PE}{BE}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{1400\sqrt{2} - x}$，
解得：$x = 700(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米。
【答案】
A村与B村的距离为$1400\sqrt{2}$米，山高为$700(\sqrt{6}-\sqrt{2})$米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 锐角三角函数
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造辅助线得到直角三角形，结合仰角、俯角的概念梳理角度关系，再利用锐角三角函数建立等量关系求解，能够考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在△ABC中,AB = $3\sqrt{3}$,∠C = 60°,若sin B = $\frac{2}{3}$,则AC的长为 ()
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题要求AC的长度，已知斜三角形中的一个内角的度数、另一个内角的正弦值以及一条边的长度，可通过作BC边上的高AD，将斜三角形拆分为两个直角三角形，借助公共高AD，分别用锐角三角函数表示出AD的长度，建立等式即可求出AC。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，
由锐角三角函数的定义得：$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
即$AD=AC·\sin60°=AC×\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由锐角三角函数的定义得：$\sin B=\frac{AD}{AB}$，
已知$AB=3\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{2}{3}$，代入得：
$AD=AB·\sin B=3\sqrt{3}×\frac{2}{3}=2\sqrt{3}$。
联立两个AD的表达式得：$AC×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{AC}{2}=2$，解得$AC=4$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过作高将陌生的斜三角形问题转化为已学的直角三角形问题，再利用锐角三角函数的定义建立等量关系求解，是解斜三角形类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题要求AC的长度，已知斜三角形中的一个内角的度数、另一个内角的正弦值以及一条边的长度，可通过作BC边上的高AD，将斜三角形拆分为两个直角三角形，借助公共高AD，分别用锐角三角函数表示出AD的长度，建立等式即可求出AC。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，
由锐角三角函数的定义得：$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
即$AD=AC·\sin60°=AC×\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由锐角三角函数的定义得：$\sin B=\frac{AD}{AB}$，
已知$AB=3\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{2}{3}$，代入得：
$AD=AB·\sin B=3\sqrt{3}×\frac{2}{3}=2\sqrt{3}$。
联立两个AD的表达式得：$AC×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{AC}{2}=2$，解得$AC=4$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过作高将陌生的斜三角形问题转化为已学的直角三角形问题，再利用锐角三角函数的定义建立等量关系求解，是解斜三角形类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
