6. 综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度,如图,塔AB前有一个观景台DE,已知$CD=8\ \mathrm{m}$,$CD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$,点$E$,$C$,$A$在同一条水平直线上.某学习小组在观景台$C$处测得塔顶部$B$的仰角为$45°$,在观景台$D$处测得塔顶部$B$的仰角为$27°$.(参考数据:$\tan27° \approx 0.5$,$\sqrt{3} \approx 1.7$)
(1) 求$DE$的长.
(2) 求塔$AB$的高度.(结果精确到$1\ \mathrm{m}$)

(1) DE = 4 m;(2) AB 高度约为 5 m

【分析】
（1）求DE的长：首先明确坡度的定义，坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题中CD的坡度i=DE:EC=1:√3，结合CD的长度，可通过设未知数，利用勾股定理求解DE的长度。
（2）求塔AB的高度：过点D作DF⊥AB于点F，构造两个直角三角形Rt△ABC和Rt△BDF。首先由C处仰角为45°，可知Rt△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，设AB的高度为h，可表示出AC=h，DF=EC+AC，BF=AB-AF（AF=DE），再结合D处仰角27°的正切值列方程求解即可。
【解析】
（1）过D作EC的垂线，垂足为E，已知CD的坡度$i=DE:EC=1:\sqrt{3}$，设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
$DE^2+EC^2=CD^2$
代入$CD=8\ \mathrm{m}$，得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=8^2$
$x^2+3x^2=64$
$4x^2=64$
$x^2=16$
解得$x=4$（长度为正，舍去负根），即$DE=4\ \mathrm{m}$。
（2）过点D作$DF⊥ AB$，垂足为F，则四边形DEAF是矩形，因此$AF=DE=4\ \mathrm{m}$，$DF=EA=EC+AC$。
设塔AB的高度为$h\ \mathrm{m}$，在Rt△ABC中，$∠ BCA=45°$，$∠ A=90°$，因此$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=AB=h\ \mathrm{m}$。
由（1）得$EC=\sqrt{3}DE=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此$DF=4\sqrt{3}+h$，$BF=AB-AF=h-4$。
在Rt△BDF中，$∠ BDF=27°$，$\tan27°\approx0.5$，因此：
$\tan27°=\frac{BF}{DF}\approx0.5$
代入BF、DF的表达式：
$\frac{h-4}{4\sqrt{3}+h}=0.5$
两边同乘$4\sqrt{3}+h$得：
$h-4=0.5×(4\sqrt{3}+h)$
$h-4=2\sqrt{3}+0.5h$
移项得：
$h-0.5h=2\sqrt{3}+4$
$0.5h=2\sqrt{3}+4$
代入$\sqrt{3}\approx1.7$：
$0.5h\approx2×1.7+4=3.4+4=7.4$
解得$h\approx14.8\approx15\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $DE=4\ \mathrm{m}$；(2) 塔AB的高度约为$15\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题考查了解直角三角形的实际应用，需要熟练掌握坡度、仰角的定义，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理和三角函数列方程求解，是三角函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.65