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1. 如图，$△ ABC$三个顶点坐标分别为$A(2,3),B(2,1),C(6,2)$.
(1) 将$△ ABC$向左平移三个单位得到$△ A_1B_1C_1$,写出$A_1,B_1,C_1$三点的坐标；
(2) 写出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_2B_2C_2$三个顶点$A_2,B_2,C_2$的坐标；
(3) 将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$得到$△ A_3B_3C_3$,写出$A_3,B_3,C_3$三点的坐标.
(1) 将$△ ABC$向左平移三个单位得到$△ A_1B_1C_1$,写出$A_1,B_1,C_1$三点的坐标；
(2) 写出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_2B_2C_2$三个顶点$A_2,B_2,C_2$的坐标；
(3) 将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$得到$△ A_3B_3C_3$,写出$A_3,B_3,C_3$三点的坐标.
答案
(1) $A_1(-1,3)$，$B_1(-1,1)$，$C_1(3,2)$
(2) $A_2(2,-3)$，$B_2(2,-1)$，$C_2(6,-2)$
(3) $A_3(-2,-3)$，$B_3(-2,-1)$，$C_3(-6,-2)$
(2) $A_2(2,-3)$，$B_2(2,-1)$，$C_2(6,-2)$
(3) $A_3(-2,-3)$，$B_3(-2,-1)$，$C_3(-6,-2)$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形变换后的坐标求解，可根据不同变换的坐标变化规律逐一计算三个顶点变换后的坐标：
1. 平移变换：左右平移时横坐标遵循左减右加规则，纵坐标不变；本题向左平移3个单位，只需将各点横坐标减3，纵坐标保持不变即可得到对应点坐标。
2. 关于x轴对称的变换：对称点横坐标与原坐标相同，纵坐标互为相反数，直接对各点纵坐标取反、横坐标不变即可。
3. 绕原点旋转180°的变换：旋转后对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，将各点横、纵坐标都取反即可得到对应坐标。
【解析】
(1) 将$△ ABC$向左平移3个单位，各点横坐标减3，纵坐标不变：
$A(2,3)$平移后：$A_1(2-3,3)=(-1,3)$
$B(2,1)$平移后：$B_1(2-3,1)=(-1,1)$
$C(6,2)$平移后：$C_1(6-3,2)=(3,2)$
(2) $△ ABC$关于x轴对称，各点横坐标不变，纵坐标取相反数：
$A(2,3)$对称后：$A_2(2,-3)$
$B(2,1)$对称后：$B_2(2,-1)$
$C(6,2)$对称后：$C_2(6,-2)$
(3) $△ ABC$绕点$O$旋转$180°$，各点横、纵坐标均取相反数：
$A(2,3)$旋转后：$A_3(-2,-3)$
$B(2,1)$旋转后：$B_3(-2,-1)$
$C(6,2)$旋转后：$C_3(-6,-2)$
【答案】
(1) $A_1(-1,3)$，$B_1(-1,1)$，$C_1(3,2)$
(2) $A_2(2,-3)$，$B_2(2,-1)$，$C_2(6,-2)$
(3) $A_3(-2,-3)$，$B_3(-2,-1)$，$C_3(-6,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与轴对称变换，坐标与旋转变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中三类常见图形变换的坐标变化规律，熟练掌握不同变换的坐标变化规则，即可快速准确求出对应点的坐标，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中图形变换后的坐标求解，可根据不同变换的坐标变化规律逐一计算三个顶点变换后的坐标：
1. 平移变换：左右平移时横坐标遵循左减右加规则，纵坐标不变；本题向左平移3个单位，只需将各点横坐标减3，纵坐标保持不变即可得到对应点坐标。
2. 关于x轴对称的变换：对称点横坐标与原坐标相同，纵坐标互为相反数，直接对各点纵坐标取反、横坐标不变即可。
3. 绕原点旋转180°的变换：旋转后对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，将各点横、纵坐标都取反即可得到对应坐标。
【解析】
(1) 将$△ ABC$向左平移3个单位，各点横坐标减3，纵坐标不变：
$A(2,3)$平移后：$A_1(2-3,3)=(-1,3)$
$B(2,1)$平移后：$B_1(2-3,1)=(-1,1)$
$C(6,2)$平移后：$C_1(6-3,2)=(3,2)$
(2) $△ ABC$关于x轴对称，各点横坐标不变，纵坐标取相反数：
$A(2,3)$对称后：$A_2(2,-3)$
$B(2,1)$对称后：$B_2(2,-1)$
$C(6,2)$对称后：$C_2(6,-2)$
(3) $△ ABC$绕点$O$旋转$180°$，各点横、纵坐标均取相反数：
$A(2,3)$旋转后：$A_3(-2,-3)$
$B(2,1)$旋转后：$B_3(-2,-1)$
$C(6,2)$旋转后：$C_3(-6,-2)$
【答案】
(1) $A_1(-1,3)$，$B_1(-1,1)$，$C_1(3,2)$
(2) $A_2(2,-3)$，$B_2(2,-1)$，$C_2(6,-2)$
(3) $A_3(-2,-3)$，$B_3(-2,-1)$，$C_3(-6,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与轴对称变换，坐标与旋转变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中三类常见图形变换的坐标变化规律，熟练掌握不同变换的坐标变化规则，即可快速准确求出对应点的坐标，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
2. 在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换,相似也是一种图形的变换,一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.
(1) 如图,在平面直角坐标系中有两点$A(6,3),B(6,0)$,以原点$O$为位似中心,相似比为$\frac{1}{3}$,把线段$AB$缩小,观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?
(2) 如图,$△ AOC$三个顶点的坐标分别为$A(4,4),O(0,0),C(5,0)$,以点$O$为位似中心,相似比为$2$,将$△ AOC$放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?
【归纳总结】在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为$k$,那么原图形上的点$(x,y)$对应的位似图形上的点的坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$.
(1) 如图,在平面直角坐标系中有两点$A(6,3),B(6,0)$,以原点$O$为位似中心,相似比为$\frac{1}{3}$,把线段$AB$缩小,观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?
(2) 如图,$△ AOC$三个顶点的坐标分别为$A(4,4),O(0,0),C(5,0)$,以点$O$为位似中心,相似比为$2$,将$△ AOC$放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?
【归纳总结】在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为$k$,那么原图形上的点$(x,y)$对应的位似图形上的点的坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$.
答案
(1) 缩小后的对应点坐标为$A'(2,1),B'(2,0)$或$A''(-2,-1),B''(-2,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$\frac{1}{3}$或同时乘$-\frac{1}{3}$。
(2) 放大后的对应点坐标为$A'(8,8),C'(10,0)$或$A''(-8,-8),C''(-10,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$2$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$2$或同时乘$-2$。
(2) 放大后的对应点坐标为$A'(8,8),C'(10,0)$或$A''(-8,-8),C''(-10,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$2$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$2$或同时乘$-2$。
解析
【分析】
解决本题需先明确以原点为位似中心的位似图形有两种位置情况：与原图形在位似中心同侧或异侧，再结合已知相似比计算对应点坐标，最后对比坐标总结规律。具体步骤为：①先确定原图形各顶点的坐标；②根据相似比，分别计算位似图形与原图形在位似中心同侧（对应点坐标乘正的相似比）、异侧（对应点坐标乘负的相似比）时的坐标；③对比原坐标和新坐标，归纳出坐标变化规律。
【解析】
(1) 已知原线段端点坐标为$A(6,3)$、$B(6,0)$，位似中心为原点$O$，相似比为$\frac{1}{3}$：
① 当缩小后的线段与原线段在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{3}$，可得$A'(6×\frac{1}{3},3×\frac{1}{3})=(2,1)$，$B'(6×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(2,0)$；
② 当缩小后的线段与原线段在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{3}$，可得$A''(6×(-\frac{1}{3}),3×(-\frac{1}{3}))=(-2,-1)$，$B''(6×(-\frac{1}{3}),0×(-\frac{1}{3}))=(-2,0)$；
对比坐标即可得出对应规律。
(2) 已知$△ AOC$顶点坐标为$A(4,4)$、$O(0,0)$、$C(5,0)$，位似中心为原点$O$，相似比为$2$：
① 当放大后的三角形与原三角形在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘$2$，可得$A'(4×2,4×2)=(8,8)$，$C'(5×2,0×2)=(10,0)$，原点$O$坐标不变；
② 当放大后的三角形与原三角形在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘$-2$，可得$A''(4×(-2),4×(-2))=(-8,-8)$，$C''(5×(-2),0×(-2))=(-10,0)$，原点$O$坐标不变；
对比坐标即可得出对应规律。
【答案】
(1) 缩小后的对应点坐标为$A'(2,1),B'(2,0)$或$A''(-2,-1),B''(-2,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$\frac{1}{3}$或同时乘$-\frac{1}{3}$。
(2) 放大后的对应点坐标为$A'(8,8),C'(10,0)$或$A''(-8,-8),C''(-10,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$2$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$2$或同时乘$-2$。
【知识点】
1. 位似的坐标变换 2. 位似图形的性质
【点评】
本题通过具体的位似变换实例引导学生归纳坐标变化规律，解题时需注意位似图形存在两种位置情况，避免漏解，有助于加深对位似变换本质的理解。
【难度系数】
0.8
解决本题需先明确以原点为位似中心的位似图形有两种位置情况：与原图形在位似中心同侧或异侧，再结合已知相似比计算对应点坐标，最后对比坐标总结规律。具体步骤为：①先确定原图形各顶点的坐标；②根据相似比，分别计算位似图形与原图形在位似中心同侧（对应点坐标乘正的相似比）、异侧（对应点坐标乘负的相似比）时的坐标；③对比原坐标和新坐标，归纳出坐标变化规律。
【解析】
(1) 已知原线段端点坐标为$A(6,3)$、$B(6,0)$，位似中心为原点$O$，相似比为$\frac{1}{3}$：
① 当缩小后的线段与原线段在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{3}$，可得$A'(6×\frac{1}{3},3×\frac{1}{3})=(2,1)$，$B'(6×\frac{1}{3},0×\frac{1}{3})=(2,0)$；
② 当缩小后的线段与原线段在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{3}$，可得$A''(6×(-\frac{1}{3}),3×(-\frac{1}{3}))=(-2,-1)$，$B''(6×(-\frac{1}{3}),0×(-\frac{1}{3}))=(-2,0)$；
对比坐标即可得出对应规律。
(2) 已知$△ AOC$顶点坐标为$A(4,4)$、$O(0,0)$、$C(5,0)$，位似中心为原点$O$，相似比为$2$：
① 当放大后的三角形与原三角形在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘$2$，可得$A'(4×2,4×2)=(8,8)$，$C'(5×2,0×2)=(10,0)$，原点$O$坐标不变；
② 当放大后的三角形与原三角形在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘$-2$，可得$A''(4×(-2),4×(-2))=(-8,-8)$，$C''(5×(-2),0×(-2))=(-10,0)$，原点$O$坐标不变；
对比坐标即可得出对应规律。
【答案】
(1) 缩小后的对应点坐标为$A'(2,1),B'(2,0)$或$A''(-2,-1),B''(-2,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$\frac{1}{3}$或同时乘$-\frac{1}{3}$。
(2) 放大后的对应点坐标为$A'(8,8),C'(10,0)$或$A''(-8,-8),C''(-10,0)$，发现：以原点为位似中心，相似比为$2$时，位似图形对应点的坐标为原坐标同时乘$2$或同时乘$-2$。
【知识点】
1. 位似的坐标变换 2. 位似图形的性质
【点评】
本题通过具体的位似变换实例引导学生归纳坐标变化规律，解题时需注意位似图形存在两种位置情况，避免漏解，有助于加深对位似变换本质的理解。
【难度系数】
0.8
