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例 如图，$△ ABO$三个顶点的坐标分别为$A(-2,4),B(-2,0),O(0,0)$，以原点$O$为位似中心画一个三角形，使它与$△ ABO$的相似比为$\frac{3}{2}$。
分析:由于要画的图形是三角形,所以关键是确定它的各顶点坐标. 根据前面总结的规律,点$A$的对应点$A'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2})$,即$(-3,6)$. 类似地,可以确定其他顶点的坐标.
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分析:由于要画的图形是三角形,所以关键是确定它的各顶点坐标. 根据前面总结的规律,点$A$的对应点$A'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2})$,即$(-3,6)$. 类似地,可以确定其他顶点的坐标.
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答案
例 所求位似三角形的对应点坐标为$A'(-3,6)$，$B'(-3,0)$，$O'(0,0)$，或$A''(3,-6)$，$B''(3,0)$，$O''(0,0)$，分别在第一、三象限画出对应三角形即可。
解析
【分析】
解题时首先明确位似中心为原点，结合位似图形的坐标变换规律思考：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘相似比或相似比的相反数，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况。本题先确定原$△ ABO$三个顶点的坐标，再分别计算两种情况下的对应点坐标，最后描点连线即可完成作图。
【解析】
在平面直角坐标系中，若以原点为位似中心，相似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘$k$或$-k$。
已知原$△ ABO$的顶点坐标为$A(-2,4)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$，相似比$k=\frac{3}{2}$，分两种情况计算对应点坐标：
1. 位似图形与原图形在原点同侧时，对应点坐标乘$\frac{3}{2}$：
$A'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2})=(-3,6)$，
$B'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},0×\frac{3}{2})=(-3,0)$，
$O'$的坐标为$(0×\frac{3}{2},0×\frac{3}{2})=(0,0)$；
2. 位似图形与原图形在原点异侧时，对应点坐标乘$-\frac{3}{2}$：
$A''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),4×(-\frac{3}{2}))=(3,-6)$，
$B''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),0×(-\frac{3}{2}))=(3,0)$，
$O''$的坐标为$(0×(-\frac{3}{2}),0×(-\frac{3}{2}))=(0,0)$。
分别描出两组对应点，顺次连接各点，即可得到所求的位似三角形。
【答案】
所求位似三角形的对应点坐标为$A'(-3,6)$，$B'(-3,0)$，$O'(0,0)$，或$A''(3,-6)$，$B''(3,0)$，$O''(0,0)$，分别在第一、三象限画出对应三角形即可。
【知识点】
位似的坐标性质、位似图形作图、相似比
【点评】
本题重点考查原点为位似中心的位似图形坐标变换规律，解题时需注意位似图形存在位似中心同侧、异侧两种情况，避免漏解，熟练掌握位似坐标变化规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确位似中心为原点，结合位似图形的坐标变换规律思考：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘相似比或相似比的相反数，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况。本题先确定原$△ ABO$三个顶点的坐标，再分别计算两种情况下的对应点坐标，最后描点连线即可完成作图。
【解析】
在平面直角坐标系中，若以原点为位似中心，相似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘$k$或$-k$。
已知原$△ ABO$的顶点坐标为$A(-2,4)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$，相似比$k=\frac{3}{2}$，分两种情况计算对应点坐标：
1. 位似图形与原图形在原点同侧时，对应点坐标乘$\frac{3}{2}$：
$A'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},4×\frac{3}{2})=(-3,6)$，
$B'$的坐标为$(-2×\frac{3}{2},0×\frac{3}{2})=(-3,0)$，
$O'$的坐标为$(0×\frac{3}{2},0×\frac{3}{2})=(0,0)$；
2. 位似图形与原图形在原点异侧时，对应点坐标乘$-\frac{3}{2}$：
$A''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),4×(-\frac{3}{2}))=(3,-6)$，
$B''$的坐标为$(-2×(-\frac{3}{2}),0×(-\frac{3}{2}))=(3,0)$，
$O''$的坐标为$(0×(-\frac{3}{2}),0×(-\frac{3}{2}))=(0,0)$。
分别描出两组对应点，顺次连接各点，即可得到所求的位似三角形。
【答案】
所求位似三角形的对应点坐标为$A'(-3,6)$，$B'(-3,0)$，$O'(0,0)$，或$A''(3,-6)$，$B''(3,0)$，$O''(0,0)$，分别在第一、三象限画出对应三角形即可。
【知识点】
位似的坐标性质、位似图形作图、相似比
【点评】
本题重点考查原点为位似中心的位似图形坐标变换规律，解题时需注意位似图形存在位似中心同侧、异侧两种情况，避免漏解，熟练掌握位似坐标变化规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
1.如图,已知△AOB和把它缩小后得到的△COD,求△AOB与△COD的相似比和面积比. 
答案
相似比为$2:1$，面积比为$4:1$。
解析
【分析】
拿到这道题，首先要明确△COD是△AOB缩小得到的，二者是位似图形，属于特殊的相似图形，相似比等于原图形与新图形对应边的比值，面积比等于相似比的平方。解题第一步先找到两个三角形的对应边，本题中OB和OD都在x轴上，是一组对应边，先读出两条边的长度，再计算比值得到相似比，最后利用相似三角形的性质求面积比即可。
【解析】
解：
∵△COD是△AOB缩小后得到的图形，二者是以O为位似中心的位似图形，
∴△AOB∽△COD，OB与OD为一组对应边。
由图可知，$OD=2$，$OB=4$，
∴△AOB与△COD的相似比为$OB:OD=4:2=2:1$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△AOB与△COD的面积比为$2^2:1^2=4:1$。
【答案】
相似比为$2:1$，面积比为$4:1$。
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似与相似的关联，只要能准确识别位似图形的对应边，牢记相似三角形面积比和相似比的关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先要明确△COD是△AOB缩小得到的，二者是位似图形，属于特殊的相似图形，相似比等于原图形与新图形对应边的比值，面积比等于相似比的平方。解题第一步先找到两个三角形的对应边，本题中OB和OD都在x轴上，是一组对应边，先读出两条边的长度，再计算比值得到相似比，最后利用相似三角形的性质求面积比即可。
【解析】
解：
∵△COD是△AOB缩小后得到的图形，二者是以O为位似中心的位似图形，
∴△AOB∽△COD，OB与OD为一组对应边。
由图可知，$OD=2$，$OB=4$，
∴△AOB与△COD的相似比为$OB:OD=4:2=2:1$。
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△AOB与△COD的面积比为$2^2:1^2=4:1$。
【答案】
相似比为$2:1$，面积比为$4:1$。
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似与相似的关联，只要能准确识别位似图形的对应边，牢记相似三角形面积比和相似比的关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(2,4)$，过点$A$作$AB ⊥ x$轴于点$B$. 将$△ AOB$以坐标原点$O$为位似中心缩小为原图形的$\frac{1}{2}$，得到$△ COD$，则$CD$的长度是(
A.$2$
B.$1$
C.$4$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$2$
B.$1$
C.$4$
D.$2\sqrt{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆位似图形的性质：位似图形的对应边长度之比等于位似比。首先我们需要找到与CD对应的原图形的边AB，先根据点A的坐标求出AB的长度，再结合位似比为$\frac{1}{2}$，即可计算出CD的长度。
【解析】
已知点$A(2,4)$，$AB ⊥ x$轴于点$B$，因此$AB$的长度等于点$A$的纵坐标值，即$AB=4$。
因为$△ COD$是$△ AOB$以原点$O$为位似中心缩小为原图形的$\frac{1}{2}$得到的，根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即$\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$。
代入$AB=4$计算得：$CD=4×\frac{1}{2}=2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似图形性质的基础应用，解题的核心是明确位似比和对应边长度的关系，结合平面直角坐标系中点的坐标特征即可快速求解，是位似章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆位似图形的性质：位似图形的对应边长度之比等于位似比。首先我们需要找到与CD对应的原图形的边AB，先根据点A的坐标求出AB的长度，再结合位似比为$\frac{1}{2}$，即可计算出CD的长度。
【解析】
已知点$A(2,4)$，$AB ⊥ x$轴于点$B$，因此$AB$的长度等于点$A$的纵坐标值，即$AB=4$。
因为$△ COD$是$△ AOB$以原点$O$为位似中心缩小为原图形的$\frac{1}{2}$得到的，根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即$\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$。
代入$AB=4$计算得：$CD=4×\frac{1}{2}=2$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似图形性质的基础应用，解题的核心是明确位似比和对应边长度的关系，结合平面直角坐标系中点的坐标特征即可快速求解，是位似章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平面直角坐标系中,以点$A(0,2)$为位似中心,在$y$轴右侧作$△ ABC$放大2倍后的位似图形$△ AB'C'$,若点$C$的对应点$C'$的坐标为$(m,n)$,则点$C$的坐标为(
A.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 3)$
B.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n - 3)$
C.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 2)$
D.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n - 2)$
A
)A.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 3)$
B.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n - 3)$
C.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 2)$
D.$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n - 2)$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查位似变换下的坐标变化规律，解题时先明确：位似中心为A(0,2)，△ABC放大2倍得到△AB'C'，即C'到A的距离是C到A距离的2倍，且两点位于位似中心异侧。我们可以先将位似中心A作为临时原点，平移坐标后结合位似比计算点C在临时坐标系下的坐标，再转换回原坐标系即可。
【解析】
设点C的坐标为$(x,y)$。
已知位似中心为$A(0,2)$，△ABC与△AB'C'的位似比为$1:2$，且C、C'在A的异侧。
将坐标平移，以A为新原点：
点C在新坐标系下的坐标为$(x, y-2)$，点$C'$在新坐标系下的坐标为$(m, n-2)$。
根据异侧位似的坐标性质，对应点坐标满足：点C的新坐标 = $-\frac{1}{2} ×$ 点$C'$的新坐标，可得：
$x = -\frac{1}{2}m$
$y - 2 = -\frac{1}{2}(n-2)$
整理第二个等式：
$y = -\frac{1}{2}(n-2) + 2 = -\frac{1}{2}n + 1 + 2 = -\frac{1}{2}n + 3$
因此点C的坐标为$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 3)$。
【答案】
A
【知识点】
位似变换的坐标规律，坐标平移
【点评】
本题是位似变换的典型题型，解题关键是注意位似中心不是原点时，不能直接套用原点位似的坐标计算规则，需先将坐标按位似中心平移后再结合位似比、位似方向计算，最后转换回原坐标系即可。
【难度系数】
0.6
本题考查位似变换下的坐标变化规律，解题时先明确：位似中心为A(0,2)，△ABC放大2倍得到△AB'C'，即C'到A的距离是C到A距离的2倍，且两点位于位似中心异侧。我们可以先将位似中心A作为临时原点，平移坐标后结合位似比计算点C在临时坐标系下的坐标，再转换回原坐标系即可。
【解析】
设点C的坐标为$(x,y)$。
已知位似中心为$A(0,2)$，△ABC与△AB'C'的位似比为$1:2$，且C、C'在A的异侧。
将坐标平移，以A为新原点：
点C在新坐标系下的坐标为$(x, y-2)$，点$C'$在新坐标系下的坐标为$(m, n-2)$。
根据异侧位似的坐标性质，对应点坐标满足：点C的新坐标 = $-\frac{1}{2} ×$ 点$C'$的新坐标，可得：
$x = -\frac{1}{2}m$
$y - 2 = -\frac{1}{2}(n-2)$
整理第二个等式：
$y = -\frac{1}{2}(n-2) + 2 = -\frac{1}{2}n + 1 + 2 = -\frac{1}{2}n + 3$
因此点C的坐标为$(-\dfrac{1}{2}m, -\dfrac{1}{2}n + 3)$。
【答案】
A
【知识点】
位似变换的坐标规律，坐标平移
【点评】
本题是位似变换的典型题型，解题关键是注意位似中心不是原点时，不能直接套用原点位似的坐标计算规则，需先将坐标按位似中心平移后再结合位似比、位似方向计算，最后转换回原坐标系即可。
【难度系数】
0.6
