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4. 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,已知△AOB与△A₁OB₁位似,位似中心为原点O,且相似比为3:2,点A,B都在格点上,则点B₁的坐标为
(-2, -4/3)
。答案
4. (-2, -4/3)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形坐标变换规律。解题思路如下：第一步，先从坐标系中读出点B的坐标；第二步，明确位似比的对应关系：△AOB与△A₁OB₁的相似比为3:2，即△A₁OB₁的边长是△AOB的$\frac{2}{3}$；第三步，结合两个图形的位置，由于△AOB在第一象限，△A₁OB₁在第三象限，位于原点两侧，所以对应点坐标需乘以负的比例系数，即可求出B₁的坐标。
【解析】
首先观察平面直角坐标系，可得点B的坐标为$(3,2)$。
已知△AOB与△A₁OB₁位似，位似中心为原点O，相似比为$3:2$，且两个图形分别位于原点两侧，因此点B₁的坐标为点B的坐标乘以$-\frac{2}{3}$。
计算得：
横坐标：$3×(-\frac{2}{3})=-2$
纵坐标：$2×(-\frac{2}{3})=-\frac{4}{3}$
因此点B₁的坐标为$(-2,-\frac{4}{3})$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2,-\dfrac{4}{3})}$
【知识点】
位似的坐标变换、平面直角坐标系坐标识别
【点评】
本题属于基础类位似应用题目，解题的关键是准确识别已知点的坐标，明确位似比的对应关系，同时注意位似图形在原点两侧时坐标要变号，避免因符号错误或者位似比搞反而失分。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形坐标变换规律。解题思路如下：第一步，先从坐标系中读出点B的坐标；第二步，明确位似比的对应关系：△AOB与△A₁OB₁的相似比为3:2，即△A₁OB₁的边长是△AOB的$\frac{2}{3}$；第三步，结合两个图形的位置，由于△AOB在第一象限，△A₁OB₁在第三象限，位于原点两侧，所以对应点坐标需乘以负的比例系数，即可求出B₁的坐标。
【解析】
首先观察平面直角坐标系，可得点B的坐标为$(3,2)$。
已知△AOB与△A₁OB₁位似，位似中心为原点O，相似比为$3:2$，且两个图形分别位于原点两侧，因此点B₁的坐标为点B的坐标乘以$-\frac{2}{3}$。
计算得：
横坐标：$3×(-\frac{2}{3})=-2$
纵坐标：$2×(-\frac{2}{3})=-\frac{4}{3}$
因此点B₁的坐标为$(-2,-\frac{4}{3})$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2,-\dfrac{4}{3})}$
【知识点】
位似的坐标变换、平面直角坐标系坐标识别
【点评】
本题属于基础类位似应用题目，解题的关键是准确识别已知点的坐标，明确位似比的对应关系，同时注意位似图形在原点两侧时坐标要变号，避免因符号错误或者位似比搞反而失分。
【难度系数】
0.7
1. 在平面直角坐标系中,已知点$A(-4,2),B(-6,-4)$,以原点$O$为位似中心,把$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{2}$,则点$A$的对应点$A'$的坐标是(
A.$(-8,4)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$或$(8,-4)$
D.$(-2,1)$或$(2,-1)$
D
)A.$(-8,4)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$或$(8,-4)$
D.$(-2,1)$或$(2,-1)$
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘位似比k，注意位似图形可以位于位似中心的同侧或异侧，因此位似比有正、负两种情况。本题要求将三角形缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即位似比的绝对值为$\frac{1}{2}$，分别代入两种位似比计算点A的对应点坐标即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：以原点O为位似中心的位似图形，对应点的坐标为原坐标乘以位似比k或-k。
已知将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{2}$，因此位似比的绝对值为$\frac{1}{2}$，即$k=\frac{1}{2}$或$k=-\frac{1}{2}$。
点A的坐标为$(-4,2)$：
当$k=\frac{1}{2}$时，$A'$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(-2,1)$；
当$k=-\frac{1}{2}$时，$A'$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(2,-1)$。
因此点A的对应点$A'$的坐标是$(-2,1)$或$(2,-1)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 位似变换的坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础题型，解题关键是牢记位似比存在正负两种情况，分别对应位似图形在位似中心的同侧和异侧，易错点是忽略异侧的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘位似比k，注意位似图形可以位于位似中心的同侧或异侧，因此位似比有正、负两种情况。本题要求将三角形缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即位似比的绝对值为$\frac{1}{2}$，分别代入两种位似比计算点A的对应点坐标即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似变换的性质：以原点O为位似中心的位似图形，对应点的坐标为原坐标乘以位似比k或-k。
已知将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{2}$，因此位似比的绝对值为$\frac{1}{2}$，即$k=\frac{1}{2}$或$k=-\frac{1}{2}$。
点A的坐标为$(-4,2)$：
当$k=\frac{1}{2}$时，$A'$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(-2,1)$；
当$k=-\frac{1}{2}$时，$A'$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(2,-1)$。
因此点A的对应点$A'$的坐标是$(-2,1)$或$(2,-1)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 位似变换的坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础题型，解题关键是牢记位似比存在正负两种情况，分别对应位似图形在位似中心的同侧和异侧，易错点是忽略异侧的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
2. 已知△ABC在第一象限，则它关于原点位似的△A'B'C'在(
A.第三象限
B.第二象限
C.第一象限
D.第一或第三象限
D
)A.第三象限
B.第二象限
C.第一象限
D.第一或第三象限
答案
2. D
解析
【分析】
我们需要结合位似图形的性质判断位似后图形的位置。首先明确：以原点为位似中心的两个位似图形，存在两种位置关系，一种是与原图形在位似中心的同侧，一种是在位似中心的异侧。已知原△ABC在第一象限，分两种情况讨论即可得到△A'B'C'的位置。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心对图形进行位似变换时：
①若位似比$k＞0$，此时位似图形与原图形在原点的同侧，原图形在第一象限，因此△A'B'C'在第一象限；
②若位似比$k＜0$，此时位似图形与原图形在原点的异侧，第一象限的对顶象限是第三象限，因此△A'B'C'在第三象限。
综上，△A'B'C'可能在第一象限或第三象限。
【答案】
D
【知识点】
位似的性质；象限的坐标特征
【点评】
本题易因忽略位似图形可位于位似中心异侧的情况错选C，解题时要注意位似变换的两种位置情况，考虑全面。
【难度系数】
0.7
我们需要结合位似图形的性质判断位似后图形的位置。首先明确：以原点为位似中心的两个位似图形，存在两种位置关系，一种是与原图形在位似中心的同侧，一种是在位似中心的异侧。已知原△ABC在第一象限，分两种情况讨论即可得到△A'B'C'的位置。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心对图形进行位似变换时：
①若位似比$k＞0$，此时位似图形与原图形在原点的同侧，原图形在第一象限，因此△A'B'C'在第一象限；
②若位似比$k＜0$，此时位似图形与原图形在原点的异侧，第一象限的对顶象限是第三象限，因此△A'B'C'在第三象限。
综上，△A'B'C'可能在第一象限或第三象限。
【答案】
D
【知识点】
位似的性质；象限的坐标特征
【点评】
本题易因忽略位似图形可位于位似中心异侧的情况错选C，解题时要注意位似变换的两种位置情况，考虑全面。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ DEF$是$△ ABC$经过位似变换得到的，位似中心是点$O$，请确定点$O$的位置。如果$OC=3.6\ \mathrm{cm}$，$OF=2.4\ \mathrm{cm}$，求它们的相似比。
答案
画图略，相似比为$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要确定位似中心，需依据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此只需连接两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心O。求相似比时，位似图形的相似比等于原图形与新图形对应点到位似中心的距离之比，已知对应点C、F到O的距离OC、OF，代入数值计算即可，注意相似比的顺序是原图形比位似后的图形，避免前后颠倒。
【解析】
1. 确定位似中心O：
分别连接对应点$A$和$D$、$C$和$F$（或连接$B$和$E$、$C$和$F$），两条线段的交点就是所求的位似中心$O$。
2. 计算相似比：
∵$△ DEF$是$△ ABC$经过位似变换得到的，
∴$△ ABC$与$△ DEF$的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=\frac{OC}{OF}$。
将$OC=3.6\ \mathrm{cm}$，$OF=2.4\ \mathrm{cm}$代入得：
$k=\frac{3.6}{2.4}=\frac{3}{2}$。
【答案】
画图略，相似比为$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 相似比的计算
【点评】
本题属于位似的基础应用题，解题的核心是熟练掌握位似中心的确定方法，以及相似比与对应点到位似中心距离的关系，计算时要注意相似比的先后顺序，避免将原图形和位似后图形的顺序搞反。
【难度系数】
0.75
要确定位似中心，需依据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此只需连接两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心O。求相似比时，位似图形的相似比等于原图形与新图形对应点到位似中心的距离之比，已知对应点C、F到O的距离OC、OF，代入数值计算即可，注意相似比的顺序是原图形比位似后的图形，避免前后颠倒。
【解析】
1. 确定位似中心O：
分别连接对应点$A$和$D$、$C$和$F$（或连接$B$和$E$、$C$和$F$），两条线段的交点就是所求的位似中心$O$。
2. 计算相似比：
∵$△ DEF$是$△ ABC$经过位似变换得到的，
∴$△ ABC$与$△ DEF$的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=\frac{OC}{OF}$。
将$OC=3.6\ \mathrm{cm}$，$OF=2.4\ \mathrm{cm}$代入得：
$k=\frac{3.6}{2.4}=\frac{3}{2}$。
【答案】
画图略，相似比为$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 相似比的计算
【点评】
本题属于位似的基础应用题，解题的核心是熟练掌握位似中心的确定方法，以及相似比与对应点到位似中心距离的关系，计算时要注意相似比的先后顺序，避免将原图形和位似后图形的顺序搞反。
【难度系数】
0.75
4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知B(3,1),B'(6,2).
(1) 请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
① 若A(2.5,3),则点A'的坐标为
② △ABC与△A'B'C'的相似比为
(2) 若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
【智慧提升】
5. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上.
(1) 将△ABC向右平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;
(2) 画出△A₁B₁C₁关于原点O的中心对称图形△A₂B₂C₂;
(3) 若将△ABC绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂,请直接写出旋转中心的坐标;
(4) 以原点O为位似中心,相似比为2:1,在第四象限内将△ABC放大,画出放大后的图形△A₃B₃C₃.
(1) 请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
① 若A(2.5,3),则点A'的坐标为
(5,6)
;② △ABC与△A'B'C'的相似比为
1:2
.(2) 若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
【智慧提升】
5. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上.
(1) 将△ABC向右平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;
(2) 画出△A₁B₁C₁关于原点O的中心对称图形△A₂B₂C₂;
(3) 若将△ABC绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂,请直接写出旋转中心的坐标;
(4) 以原点O为位似中心,相似比为2:1,在第四象限内将△ABC放大,画出放大后的图形△A₃B₃C₃.
答案
4. 解:(1)①(5,6);②1 : 2. (2)
∵ △ABC与△A'B'C'的相似比为1: 2,
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{1}{4}$.
∵ △ABC的面积为$m$,
∴ △A'B'C'的面积为4 m.
5. (1)略;(2)略;(3)(- 2.5,0);(4)略.
∵ △ABC与△A'B'C'的相似比为1: 2,
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{1}{4}$.
∵ △ABC的面积为$m$,
∴ △A'B'C'的面积为4 m.
5. (1)略;(2)略;(3)(- 2.5,0);(4)略.
解析
【分析】
第4题解题思路
首先回忆以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标比等于位似比。先通过已知点B(3,1)和B'(6,2)，发现B'的横、纵坐标均为B的2倍，说明△ABC到△A'B'C'的放大倍数为2，由此可推导：①求A'坐标时，直接将A的横、纵坐标均乘2即可；②△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2。第二问根据位似图形的面积比等于相似比的平方，代入已知面积即可求出△A'B'C'的面积。
第5题解题思路
(1) 平移变换规律：向右平移5个单位，图形各顶点横坐标加5、纵坐标不变，得到对应点后顺次连接即可；(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，据此得到对应点后连线即可；(3) 旋转中心是旋转前后对应点连线的中点，计算任意一组对应点连线的中点即可得到坐标；(4) 以原点为位似中心在第四象限按2:1放大，需将原图形各顶点横、纵坐标同时乘-2，得到第四象限内的对应点后连线即可。
【解析】
第4题
(1) ① 由B(3,1)、B'(6,2)可知，位似变换后对应点坐标为原坐标的2倍，因此A(2.5,3)的对应点A'坐标为$(2.5×2,3×2)=(5,6)$；
② 两个三角形的相似比为对应边的比，即$3:6=1:2$；
(2)
∵ 位似图形的面积比等于相似比的平方，△ABC与△A'B'C'的相似比为$1:2$
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∵ $S_{△ ABC}=m$
∴ $S_{△ A'B'C'}=4m$
第5题
(1) 将△ABC三个顶点的横坐标分别加5，纵坐标保持不变，得到$A_1、B_1、C_1$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$；
(2) 写出$A_1、B_1、C_1$关于原点对称的点的坐标（横、纵坐标均取相反数），得到$A_2、B_2、C_2$，顺次连接三点即可得到$△ A_2B_2C_2$；
(3) 旋转中心为旋转前后对应点连线的中点，取任意一组对应点计算中点坐标，可得旋转中心为$(-2.5,0)$；
(4) 将△ABC各顶点的横、纵坐标同时乘$-2$，得到第四象限内的对应点$A_3、B_3、C_3$，顺次连接三点即可得到$△ A_3B_3C_3$。
【答案】
4. (1)①$\boxed{(5,6)}$；②$\boxed{1:2}$；(2)$\boxed{4m}$
5. (1)略；(2)略；(3)$\boxed{(-2.5,0)}$；(4)略
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变换，旋转的性质
【点评】
本题组围绕平面直角坐标系中的图形变换设题，注重基础知识点的考查，将坐标变化规律和图形变换特征结合，能有效检验学生对各类变换性质的掌握程度和动手作图能力。
【难度系数】
0.75
第4题解题思路
首先回忆以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标比等于位似比。先通过已知点B(3,1)和B'(6,2)，发现B'的横、纵坐标均为B的2倍，说明△ABC到△A'B'C'的放大倍数为2，由此可推导：①求A'坐标时，直接将A的横、纵坐标均乘2即可；②△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2。第二问根据位似图形的面积比等于相似比的平方，代入已知面积即可求出△A'B'C'的面积。
第5题解题思路
(1) 平移变换规律：向右平移5个单位，图形各顶点横坐标加5、纵坐标不变，得到对应点后顺次连接即可；(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，据此得到对应点后连线即可；(3) 旋转中心是旋转前后对应点连线的中点，计算任意一组对应点连线的中点即可得到坐标；(4) 以原点为位似中心在第四象限按2:1放大，需将原图形各顶点横、纵坐标同时乘-2，得到第四象限内的对应点后连线即可。
【解析】
第4题
(1) ① 由B(3,1)、B'(6,2)可知，位似变换后对应点坐标为原坐标的2倍，因此A(2.5,3)的对应点A'坐标为$(2.5×2,3×2)=(5,6)$；
② 两个三角形的相似比为对应边的比，即$3:6=1:2$；
(2)
∵ 位似图形的面积比等于相似比的平方，△ABC与△A'B'C'的相似比为$1:2$
∴ $\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
∵ $S_{△ ABC}=m$
∴ $S_{△ A'B'C'}=4m$
第5题
(1) 将△ABC三个顶点的横坐标分别加5，纵坐标保持不变，得到$A_1、B_1、C_1$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$；
(2) 写出$A_1、B_1、C_1$关于原点对称的点的坐标（横、纵坐标均取相反数），得到$A_2、B_2、C_2$，顺次连接三点即可得到$△ A_2B_2C_2$；
(3) 旋转中心为旋转前后对应点连线的中点，取任意一组对应点计算中点坐标，可得旋转中心为$(-2.5,0)$；
(4) 将△ABC各顶点的横、纵坐标同时乘$-2$，得到第四象限内的对应点$A_3、B_3、C_3$，顺次连接三点即可得到$△ A_3B_3C_3$。
【答案】
4. (1)①$\boxed{(5,6)}$；②$\boxed{1:2}$；(2)$\boxed{4m}$
5. (1)略；(2)略；(3)$\boxed{(-2.5,0)}$；(4)略
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变换，旋转的性质
【点评】
本题组围绕平面直角坐标系中的图形变换设题，注重基础知识点的考查，将坐标变化规律和图形变换特征结合，能有效检验学生对各类变换性质的掌握程度和动手作图能力。
【难度系数】
0.75
