4. 将下图中的箭头缩小到原来的$\frac{1}{2}$，得到的图形是()

A
B
C
D

4. A

【分析】
将图形缩小到原来的$\frac{1}{2}$属于相似缩放变换，要求缩放后的图形与原图形相似，相似比为$\frac{1}{2}$，即所有对应边长度为原图形的$\frac{1}{2}$，且形状完全不变。解题时先排除明显放大的选项，再对比剩余选项的形状比例是否和原图形一致，即可选出正确答案。
【解析】
图形缩放前后为相似图形，对应边成比例，对应角相等，形状保持不变。本题要求将原箭头缩小到原来的$\frac{1}{2}$，即缩放后图形与原图形的相似比为$\frac{1}{2}$。
1. 先排除放大的图形：选项C的箭头尺寸明显大于原箭头，属于放大操作，不符合要求，排除C。
2. 对比剩余选项的形状：
选项B、D的箭身长宽比例与原箭头不一致，形状发生改变，不属于原图形的相似图形，排除B、D；
选项A的箭头形状与原箭头完全一致，各对应边长度均为原箭头的$\frac{1}{2}$，符合缩小要求。
【答案】
A
【知识点】
相似图形性质、图形的缩放、位似变换
【点评】
本题属于基础题，主要考查图形缩放的核心要求，解题时要注意缩放是等比例变换，既要满足尺寸变为原来的$\frac{1}{2}$，也要保证图形形状不发生改变，避免只看长度忽略整体比例的错误。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4).已知△A₁B₁C₁的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5).若△ABC与△A₁B₁C₁位似,则△A₁B₁C₁的第三个顶点坐标为.

5. (3,4)或(0,4)

【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似是特殊的相似，对应边互相平行（或共线），对应顶点的连线交于同一点（位似中心），且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。解题思路如下：①先计算△ABC三边的斜率，再计算已知△A₁B₁C₁两个顶点连线的斜率，确定这两点连线对应的△ABC的边；②分两种情况讨论：对应顶点同向对应（位似比为正）和反向对应（位似比为负），分别求出位似中心和位似比；③利用位似变换的坐标规律求出第三个顶点的坐标即可。
【解析】
已知△ABC顶点坐标为A(4,0)、B(8,2)、C(6,4)，△A₁B₁C₁两个顶点坐标为(1,3)、(2,5)。
1. 确定对应边：
计算△ABC中AC边的斜率：$k_{AC}=\frac{4-0}{6-4}=2$，已知两点连线的斜率：$k=\frac{5-3}{2-1}=2$，因此这两点连线对应△ABC的AC边。
2. 分情况计算第三个顶点坐标：
情况1：A对应(1,3)，C对应(2,5)（同向位似，位似比为正）
位似比$λ=\frac{2-1}{6-4}=\frac{1}{2}$，设位似中心为$(x_0,y_0)$，根据位似坐标变换规律：点$(x,y)$的对应点为$(x_0+λ(x-x_0),y_0+λ(y-y_0))$，代入A(4,0)和其对应点(1,3)：
$\begin{cases}1=x_0+\frac{1}{2}(4-x_0)\\3=y_0+\frac{1}{2}(0-y_0)\end{cases}$
解得$x_0=-2$，$y_0=6$，即位似中心为(-2,6)。
代入B(8,2)求对应点：
$x=-2+\frac{1}{2}×(8+2)=3$，$y=6+\frac{1}{2}×(2-6)=4$，得第三个顶点为(3,4)。
情况2：A对应(2,5)，C对应(1,3)（反向位似，位似比为负）
位似比$λ=\frac{1-2}{6-4}=-\frac{1}{2}$，代入A(4,0)和其对应点(2,5)求位似中心$(x_0,y_0)$：
$\begin{cases}2=x_0-\frac{1}{2}(4-x_0)\\5=y_0-\frac{1}{2}(0-y_0)\end{cases}$
解得$x_0=\frac{8}{3}$，$y_0=\frac{10}{3}$。
代入B(8,2)求对应点：
$x=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}×(8-\frac{8}{3})=0$，$y=\frac{10}{3}-\frac{1}{2}×(2-\frac{10}{3})=4$，得第三个顶点为(0,4)。
【答案】
(3,4)或(0,4)
【知识点】
位似图形的性质，位似的坐标变换
【点评】
本题考查位似变换的应用，解题关键是通过斜率相等确定对应边，再分同向、反向位似两种情况讨论，避免漏解，能够有效考查学生对坐标与位似变换关系的掌握程度。
【难度系数】
0.6

1. 位似图形的性质.
（1）位似图形具有图形的一切性质；
（2）位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比都位似比.

1. (1) 相似
(2) 等于

【分析】
本题考查位似图形的基础性质，解题思路如下：首先回忆位似图形的定义：位似图形是特殊的相似图形，满足相似的所有特征，同时额外具有对应点连线交于位似中心、对应边平行（或共线）的特点。第（1）问需明确位似与相似的从属关系，位似的前提是图形相似，因此具备相似图形的全部性质；第（2）问直接对应位似的核心性质，对应点到位似中心的距离之比就是位似比，二者相等。
【解析】
（1）位似图形的本质是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的一切性质，故此处填“相似”。
（2）根据位似图形的性质，位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，故此处填“等于”。
【答案】
(1) 相似；(2) 等于
【知识点】
位似的定义；位似的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练记忆位似图形的相关性质，明确位似与相似的关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 图形变换.
我们学习过的图形变换包括、
轴对称、旋转和.

2. 平移 位似

【分析】
这道题考查初中阶段所学基本图形变换的分类，解题时首先回忆我们学过的图形变换类别：首先是全等变换，即变换前后图形全等，包括平移、轴对称、旋转三种；除此之外还有属于相似变换范畴的位似变换，也是要求掌握的基本图形变换。结合题干已给出的“轴对称、旋转”，就能对应填出剩余的两种变换。
【解析】
初中阶段要求掌握的基本图形变换共四种，分别是平移、轴对称、旋转、位似。其中平移、轴对称、旋转属于全等变换，变换前后图形的形状、大小均不发生改变；位似属于特殊的相似变换，可实现图形的缩放。结合题干给出的已知项，两个空依次填入平移、位似。
【答案】
平移 位似
【知识点】
图形变换分类、全等变换、位似
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础知识点的识记，只要熟练掌握所学的图形变换相关概念即可得分。
【难度系数】
0.9

1. 下列各选项的两个图形中,不是位似图形的是()

1. C

【分析】
解决本题首先要明确位似图形的两个核心判定条件：①两个图形是相似图形；②两个图形所有对应顶点的连线交于同一点（即位似中心），且对应边互相平行或共线。解题时我们依次用这两个条件验证每个选项，不符合的即为正确答案。
【解析】
根据位似图形的定义：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），这样的两个图形是位似图形。
选项A：两个三角形相似，对应顶点连线交于左侧公共点，对应边互相平行，是位似图形；
选项B：两个三角形相似，对应顶点连线交于三角形上方顶点，对应边互相平行，是位似图形；
选项C：两个箭头的对应顶点连线无法交于同一点，不满足位似图形的判定要求，不是位似图形；
选项D：两个矩形相似，对应顶点连线交于中间公共点，对应边互相平行，是位似图形。
综上，不是位似图形的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对位似图形定义的理解，只要牢记位似图形的两个判定条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8

2. 若两个位似图形的对应点到位似中心的距离之比为2：3，则这两个图形的相似比为()

A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:2$

2. A

【分析】
首先回忆位似图形的相关性质：位似是特殊的相似，位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于两个图形的相似比。解题时先提取题目已知条件：对应点到位似中心的距离比为2:3，直接结合上述性质就能得到相似比，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据位似图形的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于两个图形的相似比。
已知两个位似图形的对应点到位似中心的距离之比为2:3，因此这两个图形的相似比为2:3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质、相似比
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对位似图形核心性质的掌握，只要牢记相关性质无需复杂计算即可快速得出答案，是位似知识点的常见基础考查题型。
【难度系数】
0.9

3. 如图,若$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形,则位似中心可能是()


A.$O_1$
B.$O_2$
C.$O_3$
D.$O_4$

3. A

【分析】
要确定两个位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都会相交于同一个公共点，这个公共点就是位似中心。因此解题思路为：①先确定两个三角形的对应顶点；②分别连接每组对应顶点得到直线；③找到所有直线共同经过的点，即为所求位似中心。
【解析】
根据位似中心的定义，位似图形的位似中心是各组对应顶点连线的公共交点：
1. 首先确定△ABC和△DEF的对应顶点：点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F；
2. 分别作直线AD、直线BE、直线CF；
3. 观察可得这三条直线的公共交点为点$O_1$，点$O_2$、$O_3$、$O_4$均不是三条对应顶点连线的公共交点，因此位似中心是$O_1$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质；位似中心的确定
【点评】
本题考查位似中心的判定，属于基础概念类题目，只要牢记位似中心是位似图形对应点连线的公共交点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4. $△ DEF$是$△ ABC$的位似图形的几种画法如图，其中正确的有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

4. A

【分析】
解决本题首先要明确考点为位似图形的判定，先回忆位似图形的三个核心判定条件：①两个图形是相似图形；②对应顶点的连线相交于同一个点（位似中心）；③对应边互相平行或在同一条直线上。接下来我们用这三个条件逐一验证四个图形的画法是否正确，最后统计正确的个数即可选出答案。
【解析】
根据位似图形的定义：若两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于同一点，对应边互相平行（或共线），则这两个图形为位似图形，交点为位似中心，逐个分析如下：
1. 第一个图形：△DEF与△ABC相似，对应顶点连线都经过点A（D），对应边EF//BC，AE与AB共线、AF与AC共线，满足位似条件，画法正确；
2. 第二个图形：△DEF与△ABC相似，对应顶点A与D、B与E、C与F的连线都交于点O，对应边EF//BC、DE//AB、DF//AC，满足位似条件，画法正确；
3. 第三个图形：△DEF与△ABC相似，对应顶点A与D、B与E、C与F的连线都交于点O，对应边互相平行，满足位似条件，画法正确；
4. 第四个图形：△DEF与△ABC相似，对应顶点A与D、B与E、C与F的连线都交于点O，对应边互相平行，满足位似条件，画法正确。
综上，4个画法都正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的判定；相似图形的特征
【点评】
本题重点考查对位似图形概念的理解，位似中心的位置没有限制，可以在图形上、图形内部或图形外部，只要符合位似的三个判定条件即为正确的位似图形，做题时需逐一验证避免漏判。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(1,0)$,$D(3,0)$,$△ ABC$与$△ DEF$位似,原点$O$是位似中心.若$AB = 1.3$,则$DE =$ .

5. 3.9

【分析】
要解决这个问题，首先回忆位似图形的性质：位似中心在原点时，两个位似图形的对应点坐标的比等于位似比，对应边的长度比也等于位似比。首先找到两个图形的一组对应点A、D，根据它们的坐标计算出位似比，再利用对应边的比例关系，结合已知AB的长度，就能求出DE的长度。
【解析】
∵ 原点O是△ABC和△DEF的位似中心，点A(1,0)的对应点为D(3,0)，
∴ OA = 1，OD = 3，即△ABC与△DEF的位似比为$k=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$。
∵ AB和DE是位似图形的对应边，
∴ $\frac{AB}{DE}=k=\frac{1}{3}$。
已知AB=1.3，代入得：
$DE=3AB=3×1.3=3.9$。
【答案】
3.9
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中位似变换
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过对应点的坐标确定位似比，再利用位似图形对应边成比例的性质计算未知边长，熟练掌握位似的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$6×8$的网格图中,每个小正方形的边长均为1,点$O$和$△ ABC$的顶点均为小正方形的顶点.
(1) 以$O$为位似中心,在网格图中作$△ A'B'C'$,使$△ A'B'C'$和$△ ABC$位似,且位似比为$1:2$;
(2) 证明$△ A'B'C'$和$△ ABC$相似.

解：(1) 作图步骤：
① 分别连接OA、OB、OC；
② 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次记为A'、B'、C'；
③ 顺次连接点A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
(2) 证明：
∵ 每个小正方形的边长为1，由勾股定理计算△ABC的各边长：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=6$，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
同理计算△A'B'C'的各边长：
$A'B'=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$B'C'=3$，$A'C'=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{A'C'}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即 $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}$，
∴ △A'B'C' ∽ △ABC（三边对应成比例的两个三角形相似）。

【分析】
(1) 作位似图形时，首先依据位似的性质：位似图形对应顶点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于位似比。本题位似中心为O，位似比为1:2，因此先连接O与△ABC的三个顶点，再分别取三条线段的中点，顺次连接中点即可得到所求的△A'B'C'。
(2) 证明两个三角形相似可采用三边成比例的判定定理，结合网格特点，用勾股定理分别计算两个三角形的三边长，验证三组对应边的比值相等，即可证明相似。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别连接OA、OB、OC；
② 分别取线段OA、OB、OC的中点，依次记为A'、B'、C'；
③ 顺次连接点A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为符合要求的位似图形。
(2) 证明：
∵ 每个小正方形的边长为1，由勾股定理计算△ABC的各边长：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=6$，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
同理计算△A'B'C'的各边长：
$A'B'=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$B'C'=3$，$A'C'=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{A'C'}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即 $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}$，
∴ △A'B'C' ∽ △ABC（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的△A'B'C'即为所求；
(2) △A'B'C'∽△ABC，证明成立。
【知识点】
位似图形作图，勾股定理，相似三角形判定
【点评】
本题结合网格考查位似作图与相似三角形的证明，属于基础题型，重点考查位似性质、勾股定理和相似判定定理的应用，计算边长时需准确计数网格的横向、纵向格数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7