登录
1. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$ 的半径为1,则直线 $y = x - \sqrt{2}$ 与$\odot O$ 的位置关系是(
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上三种情况都有可能
B
)A.相离
B.相切
C.相交
D.以上三种情况都有可能
答案
1. B
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。本题中$\odot O$的圆心为原点$(0,0)$，半径$r=1$，因此只需计算原点到直线$y=x-\sqrt{2}$的距离$d$，再与$r=1$比较即可得到结论。
【解析】
先将直线$y=x-\sqrt{2}$整理为一般式：$x - y - \sqrt{2}=0$。
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到该直线的距离为：
$d=\frac{|1×0 + (-1)×0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$
已知$\odot O$的半径$r=1$，可得$d=r$，因此直线与$\odot O$相切。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直线与圆位置关系的判定方法，解题时要注意先将直线整理为一般式再代入距离公式计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。本题中$\odot O$的圆心为原点$(0,0)$，半径$r=1$，因此只需计算原点到直线$y=x-\sqrt{2}$的距离$d$，再与$r=1$比较即可得到结论。
【解析】
先将直线$y=x-\sqrt{2}$整理为一般式：$x - y - \sqrt{2}=0$。
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到该直线的距离为：
$d=\frac{|1×0 + (-1)×0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$
已知$\odot O$的半径$r=1$，可得$d=r$，因此直线与$\odot O$相切。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直线与圆位置关系的判定方法，解题时要注意先将直线整理为一般式再代入距离公式计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.75
2.如图,已知$\odot O$是以坐标原点$O$为圆心,1为半径的圆,$∠ AOB = 45°$,点$P$在$x$轴上运动.若过点$P$且与$OA$平行的直线与$\odot O$有公共点,设$P(x,0)$,则$x$的取值范围是
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
.答案
2. $-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确过点P且与OA平行的直线与圆有公共点，说明直线与圆相切或相交，此时圆心到直线的距离小于等于圆的半径。先根据∠AOB=45°得到平行直线的斜率为1，写出过点P的直线方程，再利用点到直线的距离公式列出关于x的不等式，求解不等式即可得到x的取值范围，也可以通过找直线与圆相切的临界情况直接计算边界值。
【解析】
∵ ∠AOB = 45°，过点P的直线与OA平行
∴ 该直线的倾斜角为45°，斜率k=tan45°=1
设点P的横坐标为t，则过P(t,0)的直线方程为$y = x - t$，整理为标准式：$x - y - t = 0$
已知⊙O的圆心为(0,0)，半径r=1，直线与⊙O有公共点，则圆心到直线的距离$d ≤ r$
根据点到直线的距离公式：$d = \frac{|0 - 0 - t|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|t|}{\sqrt{2}}$
∴ $\frac{|t|}{\sqrt{2}} ≤ 1$，解得$|t| ≤ \sqrt{2}$，即$-\sqrt{2} ≤ t ≤ \sqrt{2}$
结合题设P(x,0)，可得x的取值范围。
【答案】
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；平行线的性质
【点评】
本题将直线与圆的位置关系和平面直角坐标系结合，解题核心是理解“直线与圆有公共点”等价于圆心到直线的距离不大于半径，结合平行线的斜率特征列式求解即可，也可通过分析相切的临界位置快速确定边界值。
【难度系数】
0.7
首先明确过点P且与OA平行的直线与圆有公共点，说明直线与圆相切或相交，此时圆心到直线的距离小于等于圆的半径。先根据∠AOB=45°得到平行直线的斜率为1，写出过点P的直线方程，再利用点到直线的距离公式列出关于x的不等式，求解不等式即可得到x的取值范围，也可以通过找直线与圆相切的临界情况直接计算边界值。
【解析】
∵ ∠AOB = 45°，过点P的直线与OA平行
∴ 该直线的倾斜角为45°，斜率k=tan45°=1
设点P的横坐标为t，则过P(t,0)的直线方程为$y = x - t$，整理为标准式：$x - y - t = 0$
已知⊙O的圆心为(0,0)，半径r=1，直线与⊙O有公共点，则圆心到直线的距离$d ≤ r$
根据点到直线的距离公式：$d = \frac{|0 - 0 - t|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|t|}{\sqrt{2}}$
∴ $\frac{|t|}{\sqrt{2}} ≤ 1$，解得$|t| ≤ \sqrt{2}$，即$-\sqrt{2} ≤ t ≤ \sqrt{2}$
结合题设P(x,0)，可得x的取值范围。
【答案】
$-\sqrt{2} ≤ x ≤ \sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；平行线的性质
【点评】
本题将直线与圆的位置关系和平面直角坐标系结合，解题核心是理解“直线与圆有公共点”等价于圆心到直线的距离不大于半径，结合平行线的斜率特征列式求解即可，也可通过分析相切的临界位置快速确定边界值。
【难度系数】
0.7
1.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD = 30°,半径为1 cm的⊙P的圆心在直线AB上,且位于点O左侧6 cm处.如果⊙P以1 cm/s的速度由A向B移动,那么(
A.4
B.8
C.4或6
D.4或8
D
)秒后⊙P与直线CD相切.A.4
B.8
C.4或6
D.4或8
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先抓住直线和圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于半径。本题中⊙P半径为1cm，因此相切时圆心P到CD的距离为1cm。结合已知的∠AOD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，可算出此时圆心P到交点O的距离为2cm。再分圆心P在O左侧、右侧两种情况计算移动路程，结合移动速度就能求出对应的时间。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于半径1cm。
过点P作PE⊥CD于点E，则PE=1cm。
∵∠AOD=30°，在Rt△POE中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2PE=2×1=2cm。
已知初始时P在O左侧6cm处，⊙P移动速度为1cm/s，分两种情况讨论：
① 当圆心P在O点左侧时，P移动的路程为$6-2=4\mathrm{cm}$，
所需时间$t_1=4÷1=4\mathrm{s}$；
② 当圆心P在O点右侧时，P移动的路程为$6+2=8\mathrm{cm}$，
所需时间$t_2=8÷1=8\mathrm{s}$。
因此4秒或8秒后⊙P与直线CD相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆相切的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题易错点是容易遗漏圆心在交点O右侧的相切情况，解题时遇到直线和动圆相切的问题要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住直线和圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于半径。本题中⊙P半径为1cm，因此相切时圆心P到CD的距离为1cm。结合已知的∠AOD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，可算出此时圆心P到交点O的距离为2cm。再分圆心P在O左侧、右侧两种情况计算移动路程，结合移动速度就能求出对应的时间。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于半径1cm。
过点P作PE⊥CD于点E，则PE=1cm。
∵∠AOD=30°，在Rt△POE中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2PE=2×1=2cm。
已知初始时P在O左侧6cm处，⊙P移动速度为1cm/s，分两种情况讨论：
① 当圆心P在O点左侧时，P移动的路程为$6-2=4\mathrm{cm}$，
所需时间$t_1=4÷1=4\mathrm{s}$；
② 当圆心P在O点右侧时，P移动的路程为$6+2=8\mathrm{cm}$，
所需时间$t_2=8÷1=8\mathrm{s}$。
因此4秒或8秒后⊙P与直线CD相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆相切的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题易错点是容易遗漏圆心在交点O右侧的相切情况，解题时遇到直线和动圆相切的问题要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$∠ APB = 30°$,点O在射线PA上，$\odot O$的半径为2.当$\odot O$与PB相切时，OP的长度为( 
)
A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
)A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以过圆心O向PB作垂线，垂足即为切点，得到含30°角的直角三角形；再结合含30°角直角三角形的边角关系即可求出OP的长度。
【解析】
设$\odot O$与PB相切于点C，连接OC。
根据切线的性质可得：$OC⊥ PB$，即$∠ PCO=90°$。
在$Rt△ POC$中，$∠ APB=30°$，$\odot O$的半径$OC=2$。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：$OC=\frac{1}{2}OP$，
因此$OP=2OC=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是利用切线的性质构造出直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质求解，是圆相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以过圆心O向PB作垂线，垂足即为切点，得到含30°角的直角三角形；再结合含30°角直角三角形的边角关系即可求出OP的长度。
【解析】
设$\odot O$与PB相切于点C，连接OC。
根据切线的性质可得：$OC⊥ PB$，即$∠ PCO=90°$。
在$Rt△ POC$中，$∠ APB=30°$，$\odot O$的半径$OC=2$。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：$OC=\frac{1}{2}OP$，
因此$OP=2OC=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的关键是利用切线的性质构造出直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质求解，是圆相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的一个根，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是(
A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
B
)A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
答案
3. B
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小关系，因此解题分两步走：第一步先求解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义舍去负根，得到$\odot O$的半径r；第二步将r与已知的d=2比较大小，对照直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
1. 求解一元二次方程：对$x^2 -2x -3=0$因式分解，得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 确定圆的半径：因为圆的半径为正数，所以$\odot O$的半径$r=3$。
3. 判定位置关系：已知圆心到直线$l$的距离$d=2$，可得$d=2 ＜ r=3$。根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＜r$时，直线与圆相交。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程求解和几何判定两类知识点，解题时需注意结合半径的实际意义取舍方程的根，熟练掌握直线与圆位置关系的判定规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小关系，因此解题分两步走：第一步先求解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义舍去负根，得到$\odot O$的半径r；第二步将r与已知的d=2比较大小，对照直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
1. 求解一元二次方程：对$x^2 -2x -3=0$因式分解，得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 确定圆的半径：因为圆的半径为正数，所以$\odot O$的半径$r=3$。
3. 判定位置关系：已知圆心到直线$l$的距离$d=2$，可得$d=2 ＜ r=3$。根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＜r$时，直线与圆相交。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程求解和几何判定两类知识点，解题时需注意结合半径的实际意义取舍方程的根，熟练掌握直线与圆位置关系的判定规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $E$, 以点 $E$ 为圆心, $EC$ 为半径, 作 $\odot E$ 交 $AC$ 于点 $F$.
(1) 求证: $AB$ 与 $\odot E$ 相切;
(2) 若 $AB = 15, BC = 9$, 试求 $AF$ 的长.
(1) 求证: $AB$ 与 $\odot E$ 相切;
(2) 若 $AB = 15, BC = 9$, 试求 $AF$ 的长.
答案
4. (1) 略;(2) AF = 3.
解析
【分析】
(1) 要证明AB与$\odot E$相切，根据切线的判定定理，只需证明圆心E到AB的距离等于$\odot E$的半径$EC$即可。可过E作$ED⊥ AB$于D，结合角平分线的性质，即可证得$ED=EC$，从而得出结论。
(2) 先利用勾股定理求出$AC$的长度，再结合切线长定理得$BD=BC$，求出$AD$的长；设$\odot E$半径为$r$，在$Rt△ ADE$中用勾股定理列方程求出半径$r$，最后用$AC$减去直径$FC$的长度即可得到$AF$的长。
【解析】
(1) 证明：过点$E$作$ED⊥ AB$于点$D$。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$∠ ACB=90°$即$EC⊥ BC$，$ED⊥ AB$，
$\therefore ED=EC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because EC$是$\odot E$的半径，$\therefore ED$也是$\odot E$的半径，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore AB$与$\odot E$相切。
(2) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=15$，$BC=9$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$。
$\because BC$切$\odot E$于$C$，$AB$切$\odot E$于$D$，
$\therefore BD=BC=9$，$\therefore AD=AB-BD=15-9=6$。
设$\odot E$的半径为$r$，则$ED=EC=r$，$AE=AC-EC=12-r$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+ED^2=AE^2$，
即$6^2+r^2=(12-r)^2$，
展开得$36+r^2=144-24r+r^2$，
化简得$24r=108$，解得$r=\frac{9}{2}$。
$\therefore FC=2r=9$，$\therefore AF=AC-FC=12-9=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AF=3$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线的判定方法，结合勾股定理用方程思想求半径，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB与$\odot E$相切，根据切线的判定定理，只需证明圆心E到AB的距离等于$\odot E$的半径$EC$即可。可过E作$ED⊥ AB$于D，结合角平分线的性质，即可证得$ED=EC$，从而得出结论。
(2) 先利用勾股定理求出$AC$的长度，再结合切线长定理得$BD=BC$，求出$AD$的长；设$\odot E$半径为$r$，在$Rt△ ADE$中用勾股定理列方程求出半径$r$，最后用$AC$减去直径$FC$的长度即可得到$AF$的长。
【解析】
(1) 证明：过点$E$作$ED⊥ AB$于点$D$。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$∠ ACB=90°$即$EC⊥ BC$，$ED⊥ AB$，
$\therefore ED=EC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又$\because EC$是$\odot E$的半径，$\therefore ED$也是$\odot E$的半径，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore AB$与$\odot E$相切。
(2) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=15$，$BC=9$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$。
$\because BC$切$\odot E$于$C$，$AB$切$\odot E$于$D$，
$\therefore BD=BC=9$，$\therefore AD=AB-BD=15-9=6$。
设$\odot E$的半径为$r$，则$ED=EC=r$，$AE=AC-EC=12-r$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+ED^2=AE^2$，
即$6^2+r^2=(12-r)^2$，
展开得$36+r^2=144-24r+r^2$，
化简得$24r=108$，解得$r=\frac{9}{2}$。
$\therefore FC=2r=9$，$\therefore AF=AC-FC=12-9=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AF=3$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线的判定方法，结合勾股定理用方程思想求半径，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
