1. 如何判断一条直线是圆的切线？

判定一条直线是圆的切线有三种常用方法：
① 定义法：若直线与圆有且只有1个公共点，则直线是圆的切线；
② 距离法：若圆心到直线的距离等于该圆的半径，则直线是圆的切线；
③ 定理法：若直线经过圆的半径的外端，并且与这条半径垂直，则直线是圆的切线。

【分析】
判断直线是否为圆的切线，可结合已知条件从三类思路入手：第一类是直观判断交点数量，适合题目给出直线与圆的图像的场景；第二类是计算圆心到直线的距离，适合未明确给出直线与圆有公共点的题型；第三类是证明垂直关系，适合已知直线与圆存在公共点的题型，根据题设条件选择对应方法即可。
【解析】
判定一条直线是圆的切线有三种常用方法：
① 定义法：若直线与圆有且只有1个公共点，则直线是圆的切线；
② 距离法：若圆心到直线的距离等于该圆的半径，则直线是圆的切线；
③ 定理法：若直线经过圆的半径的外端，并且与这条半径垂直，则直线是圆的切线。
【答案】
判定一条直线是圆的切线有三种常用方法：
① 定义法：若直线与圆有且只有1个公共点，则直线是圆的切线；
② 距离法：若圆心到直线的距离等于该圆的半径，则直线是圆的切线；
③ 定理法：若直线经过圆的半径的外端，并且与这条半径垂直，则直线是圆的切线。
【知识点】
圆的切线定义、切线判定定理、直线与圆的位置关系
【点评】
本题是圆的切线判定的基础概念题，三种判定方法是解决切线证明、判断类题目的核心依据，需结合题设条件灵活选用不同方法解题。
【难度系数】
0.8

2. 一个圆有条切线；过圆外一点，可以作圆的条切线。

2. 无数；2

【分析】
解题时先回忆圆的切线相关基础概念，首先推导第一个空：切线是和圆仅有一个公共点的直线，圆上的点有无穷多个，每个点都能对应一条唯一的切线，即可得到第一个空的答案；再推导第二个空：根据点和圆的位置关系，圆外的点到圆心的距离大于半径，结合切线判定规则，过该点能作出两条满足切线定义的直线，即可得到第二个空的答案。
【解析】
1. 计算一个圆的切线总数：
根据切线的定义，与圆只有唯一公共点的直线叫做圆的切线。圆上有无数个不同的点，过圆上任意一点都可以作1条和圆仅交于该点的直线，因此一个圆有无数条切线。
2. 计算过圆外一点可作的切线数量：
若点在圆外，该点到圆心的距离大于圆的半径。连接该点与圆心，以这条线段为直径作辅助圆，辅助圆和原圆有2个不同的交点，过圆外的点和这两个交点的直线，均和原圆只有一个公共点，符合切线的定义，因此过圆外一点可以作圆的2条切线。
【答案】
无数；2
【知识点】
圆的切线定义；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查圆的切线的基础知识点，属于基础类题目，只要熟记切线的定义以及不同位置的点作圆切线的数量规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 切线是直线，它是无限长的，不可度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量。

该表述正确，切线和切线长是两个不同的概念：切线是直线，无法度量长度；切线长是线段的长度，线段的两个端点分别是圆外一点和对应切点，可以度量。

【分析】
这是一道切线与切线长的概念辨析题，解题思路如下：第一步，先回忆切线的定义和直线的特征：切线是与圆只有唯一公共点的直线，直线向两端无限延伸，没有固定长度，因此不可度量；第二步，回忆切线长的定义和线段的特征：切线长是圆外一点到切点的线段的长度，线段有确定的长度，可以度量；第三步，将题干描述分别和两个概念的定义核对，判断表述是否正确。
【解析】
我们分别验证题干两部分描述的正确性：
1. 关于切线的描述：切线是与圆只有1个公共点的直线，直线的固有属性是向两端无限延伸，没有端点，因此切线是无限长的，无法度量长度，该部分描述符合切线的性质，是正确的。
2. 关于切线长的描述：根据切线长的定义，过圆外一点作圆的切线，该点与切点之间的线段的长度叫做切线长，线段有两个端点，长度固定可度量，因此该部分描述也符合切线长的定义，是正确的。
综上，题干的整体表述是正确的。
【答案】
该表述正确，切线和切线长是两个不同的概念：切线是直线，无法度量长度；切线长是线段的长度，线段的两个端点分别是圆外一点和对应切点，可以度量。
【知识点】
切线的概念；切线长的概念；直线与线段的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析类习题，核心考查对易混淆的几何概念的区分能力，解题的关键是精准掌握切线和切线长的定义，明确二者本质的区别，避免混淆概念导致判断失误。
【难度系数】
0.85

1. 尺规作图:如何过圆外一点作圆的切线？

作法：
① 连接圆外点P和圆心O，得到线段OP；
② 作线段OP的垂直平分线，交OP于点M；
③ 以M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；
④ 连接PA、PB，则PA、PB就是所求作的两条切线。

【分析】
要过圆外一点P作⊙O的切线，首先回忆切线的判定规则：切线垂直于过切点的半径，即若PA是⊙O的切线、切点为A，则∠OAP=90°。根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此点A一定在以OP为直径的圆上。由此可得解题思路：先作出以OP为直径的圆，该圆与⊙O的交点就是所求切线的切点，最后连接P和两个切点即可得到两条切线。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 用直尺连接圆外点P和圆心O，得到线段OP；
2. 用尺规作线段OP的垂直平分线，垂直平分线与OP的交点记为M，M即为OP的中点；
3. 以M为圆心，MO（或MP）的长度为半径作圆，该圆与已知⊙O交于A、B两个点；
4. 分别连接PA、PB，PA、PB就是所求的⊙O的切线。
原理：OP是所作圆的直径，因此∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，OA、OB是⊙O的半径，因此PA、PB符合切线的判定条件。
【答案】
作法：
① 连接圆外点P和圆心O，得到线段OP；
② 作线段OP的垂直平分线，交OP于点M；
③ 以M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；
④ 连接PA、PB，则PA、PB就是所求作的两条切线。
【知识点】
切线的判定，尺规基本作图，圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的切线相关的经典尺规作图题，需要结合切线的性质和圆周角定理的推论定位切点，熟练掌握垂直平分线等基本尺规作图方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7

2. 如图,过$\odot O$外一点$P$,引圆的切线$PA$,切点为$A$.因为直线$PA$是$\odot O$的, 把图形沿直线$OP$对折后,设圆上与点$A$重合的点为$B$,则$OB$是$\odot O$的半径,此时$PB$是$\odot O$的切线.$PB=$, $∠ BPO=$, $△ PAB$的形状是.由此我们得到切线长定理:
.
讨论:在上图中,你还能得到哪些结论?

2. 切线；PA；∠APO；等腰三角形；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
讨论参考结论：OP垂直平分AB，PA⊥OA，PB⊥OB，∠OAP=∠OBP=90°，四边形OAPB的面积等于2倍△OAP的面积等。

【分析】
解题时先从切线的定义出发，明确PA与圆的位置关系；再结合轴对称（折叠）的性质，对折后对应边相等、对应角相等，即可得到PB与PA的数量关系、∠BPO与∠APO的数量关系，进而判断△PAB的形状，总结出切线长定理；最后结合切线的性质、等腰三角形三线合一、全等三角形的性质推导其余相关结论。
【解析】
1. 已知PA是过点P引的圆的切线，切点为A，因此直线PA是$\odot O$的切线；
2. 将图形沿OP对折后点A与点B重合，根据轴对称的性质，折叠前后对应边相等、对应角相等，因此$PB=PA$，$∠ BPO=∠ APO$；
3. 由$PA=PB$可得$△ PAB$有两条边相等，因此是等腰三角形；
4. 综上可总结切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
讨论部分的结论可从以下角度推导：
由切线的性质可得，切线垂直于过切点的半径，因此$PA⊥ OA$，$PB⊥ OB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$；
由$OA=OB$，$PA=PB$，可知$△ OAB$和$△ PAB$都是等腰三角形，OP是两个等腰三角形的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一，可得OP垂直平分AB；
由$△ OAP≌△ OBP$，可得四边形OAPB的面积等于2倍$△ OAP$的面积，还可推出$∠ AOP=∠ BOP$等结论。
【答案】
切线；PA；∠APO；等腰三角形；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
讨论参考结论：OP垂直平分AB，PA⊥OA，PB⊥OB，∠OAP=∠OBP=90°，四边形OAPB的面积等于2倍△OAP的面积等。
【知识点】
切线的定义；轴对称的性质；切线长定理
【点评】
本题围绕切线长定理的推导过程展开，将轴对称性质与圆的切线相关知识结合，既考查了基础概念的掌握情况，也引导学生自主推导衍生结论，是圆的切线模块的基础典型题。
【难度系数】
0.8

探究学习
如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B是切点，连接AB，若$∠ APO = 30°$，$OP = 2$，求$△ PAB$的周长。

解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴∠APB=2∠APO=60°，
∴△PAB是等边三角形。
在Rt△OAP中，OP=2，∠APO=30°，
∴OA=1，
由勾股定理得PA=√(OP²-OA²)=√(4-1)=√3，
∴△PAB的周长=3PA=3√3。

【分析】
解题时先根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分∠APB，结合已知∠APO=30°可推出∠APB=60°，即可判定△PAB是等边三角形，因此只需求出PA的长度，再乘3就能得到周长。求PA时，利用切线的性质可知△OAP是直角三角形，结合已知OP=2和∠APO=30°，先求出OA的长度，再用勾股定理计算PA即可。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴根据切线长定理可得PA=PB，PO平分∠APB，
∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°，
又
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形。
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，OP=2，∠APO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP=1，
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴△PAB的周长=$3PA=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
切线长定理，等边三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，结合了特殊三角形的判定与性质，解题关键是利用切线长定理推出△PAB为等边三角形，将周长计算转化为单条边长的求解，是切线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

1. 如图，PA，PB切$\odot O$于点A，B，PA = 10，E是劣弧$\overset{\frown}{AB}$上的任意一点，过点E的切线交PA，PB于C，D两点，则$△ PCD$的周长是()


A.10
B.20
C.30
D.40

1. B

【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先观察图形，PA、PB是从点P引到⊙O的两条切线，可得PA=PB；CD是过劣弧$\overset{\frown}{AB}$上点E的切线，可知从点C引的两条切线CA、CE长度相等，从点D引的两条切线DB、DE长度相等。要求△PCD的周长，只需将周长的各边通过等量替换，转化为已知的PA、PB的和即可求解。
【解析】
解：
∵PA、PB切$\odot O$于点A、B，
根据切线长定理可得：$PA=PB=10$，
又
∵CD切$\odot O$于点E，
同理可得：$CA=CE$，$DB=DE$，
∴△PCD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CD + PD\\&=PC + CE + ED + PD\end{aligned}$
将CE替换为CA，ED替换为DB，得：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CA + PD + DB\\&=PA + PB\\&=10 + 10 = 20\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础的几何计算题，解题核心是利用切线长定理进行边长的等量转化，把未知三角形的周长转化为已知切线长的和，解题时要准确识别图中的切线及对应的切线长，避免混淆对应边的关系。
【难度系数】
0.8

2. 如图,AB是$\odot O$的直径,BC交$\odot O$于点D,$DE ⊥ AC$于点E. 要使DE是$\odot O$的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是()

A.$DE = DO$
B.$AB = AC$
C.$CD = DB$
D.$AC // OD$

2. A

【分析】
要判断DE为⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OD⊥DE。已知DE⊥AC，因此只需推导出OD//AC，即可得到OD⊥DE，进而证明DE是切线。我们逐一分析各选项是否能推出上述结论，找出无法证明DE是切线的选项即可。
【解析】
要使DE是⊙O的切线，需满足OD⊥DE（切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。已知DE⊥AC，因此只需证明OD//AC，即可得∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE。
对各选项分析如下：
选项A：若DE=DO，仅能说明△ODE是等腰三角形，无法推导得出∠ODE=90°，不能证明DE是⊙O的切线，该条件不正确，符合题意；
选项B：若AB=AC，则∠B=∠C。
∵OD=OB（同为⊙O半径），
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC。结合DE⊥AC可得OD⊥DE，可证DE是切线，不符合题意；
选项C：若CD=DB，且O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。同理可证DE是切线，不符合题意；
选项D：若AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，OD是⊙O的半径，可证DE是切线，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题关键是明确“已知直线垂直于某条线段，证切线只需证半径与该直线平行，进而得到半径垂直待证切线”的思路，同时需熟练运用等腰三角形、中位线的性质推导平行关系。
【难度系数】
0.7